全微分与偏导数课件

由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义1全增量的概念

),(yx如果函数),(yxfz=在点的某邻域内有定义，任意一点，为函数在点P对应于自变量增量yxDD,的全增量，记为zD，

),(yyxxPD+D+¢为这邻域内的并设则称这两点的函数值之差即全增量的概念),(yx如果函数),(yxfz=2引例：设矩形的长、宽分别用表示，则矩形的面积为若测量时产生的误差为则该矩形面积产生的误差为上式右端包含两部分，它是关于的线性函数;另一部分是当即时,一部分是引例：设矩形的长、宽分别用表示，则矩形的面积为若测量时产生的3是比高阶的无穷小，因此略去高阶无穷小，而用近似表示则其差是一个比高阶的无穷小，称为函数在处的全微分。是比高阶的无穷小，因此略去高阶无穷小，而用近似表示则其差是一4定义

如果函数),(yxfz=在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz-D+D+=D可以表示为其中BA,不依赖于yxDD,而仅与yx,有关，22)()(yxD+D=r，则称函数),(yxfz=在点),(yx可微分，yBxAD+D称为函数),(yxfz=即

dz=yBxAD+D.)(royBxAz+D+D=D,在点),(yx的全微分，记为dz，定义如果函数),(yxfz=在点),(yx的全增量5事实上若函数在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.

),(yxfz=),(yx如果函数在点可微分,

则函数在该点连续。事实上若函数在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微6二、偏导数在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，它的变化率。首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，就是我们下面的偏导数概念。由于多元函数不止一个自变量，对于多元函数同样需要讨论因此二、偏导数在研究一元函数时，从研究函数的变7定义

若存在，设函数在点的某一邻域内有定义，相应地函数有增量处对的偏导数，1.偏导数的定义在点则称此极限为函数记为固定在而在处有增量当时，定义若存在，设函数在点的某一邻域内有定义，相应地函数有增8同理可定义:函数的偏导数为记为在点处对或或即同理可定义:函数的偏导数为记为在点处对或或即9解就是x、y的函数，自变量x的偏导数，如果函数在区域内任一点处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数),(yxfz=对它就称为函数如，设求解就是x、y的函数，自变量x的偏导数，如果函数在区域内任一点10记作同理可以定义函数),(yxfz=对自变量y的偏导数，记作记作同理可以定义函数),(yxfz=对自变量y的偏导数，记作11从偏导数的可以看出，计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，数时，则所以，对的偏导就是的导数。于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。对的偏导如计算视为常数，因为已将故若令从偏导数的可以看出，计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，数12（１）（２）求分界点、不连续点处的偏导数要用有关偏导数的几点说明：偏导数的概念可以推广到二元以上函数，如在处定义求；偏导数是一个整体记号，不能拆分;（3）（１）（２）求分界点、不连续点处的偏导数要用有关偏导数的几点13全微分与偏导数课件14解例1

求

在点处的偏导数．解例1求在点处的偏导数．15解例2求三元函数的偏导数。解例2求三元函数的偏导数。16解当时求例3的偏导数。解当时求例3的偏导数。17由变量的对称性可得当时由变量的对称性可得当时18证

例4已知理想气体的状态方程（R为常数），求证：证例4已知理想气体的状态方程（R为常数），求证：19例5解例5解20按定义可知：按定义可知：21多元函数中在某点偏导数存在

连续。一元函数中在某点可导

连续；但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.2、偏导数存在与连续的关系多元函数中在某点偏导数存在连续22，求例6设其中解，求例6设其中解23同理可得：因点沿直线趋于时，，而点沿轴趋于时，所以不存在，从而在不连续。但极限不存在，。同理可得：因点沿直线趋于时，，而点沿轴趋于时，所以不存在，从24如图3、偏导数的几何意义如图3、偏导数的几何意义25演示几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线的斜率.处的切线对轴在点演示几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线的斜率.处的26偏导数就是曲面被平面所截得的曲线的斜率.处的切线对轴在点偏导数就是曲面被平面所截得的曲线的斜率.处的切线对轴在点27三、可微的条件

定理3.1

（必要条件）则该函数在点),(yx的偏导数xz¶¶、yz¶¶必存在，为),(yx可微分，),(yxfz=在点),(yx的全微分且函数),(yxfz=在点如果函数证因为函数在点可微分,三、可微的条件定理3.1（必要条件）则该函数在点)28总成立,同理可得

ÎD+D+¢),(yyxxP，有当时，上式仍成立，此时总成立,同理可得ÎD+D+¢),(yyxxP，有当时，上式29多元函数的各偏导数存在全微分存在．一元函数在某点的导数存在微分存在．例如，多元函数的各偏导数存在全微分存30则当时，则当时，31多元函数的各偏导数存在并不能保证全证在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理微分存在，说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全32（依偏导数的连续性）其中为的函数,且当时，

（依偏导数的连续性）其中为的函数,且当时，33同理故函数在点处可微.同理故函数在点处可微.34记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于它的两个叠加原理也适用于二元以上函数的情况．习惯上，自变量的增量分别记作分别称为自变量的微分。偏微分之和这件事原理．称为二元函数的微分符合叠加记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数35解所求全微分例1

计算函数在点)1,2(处的全微分..解所求全微分例1计算函数在点)1,2(处的全微分..36解例2

求函数当时的全微分.解例2求函数当时的全微分.37解所求全微分例3

计算函数的全微分.解所求全微分例3计算函数的全微分.38例4

试证函数在点连续且偏导数存在，不连续，思路：讨论.按有关定义讨论；对于偏导数需分但偏导数在点在点可微.

而例4试证函数在点连续且偏导数存在，不连续，思路：讨论.39证令则同理

)0,0(故函数连续.在点证令则同理)0,0(故函数连续.在点40不存在.所以在不连续.不存在.所以在不连续.41且且42的图形的图形的图形的图形43多元函数连续、可偏导、可微的关系函数连续函数可微偏导数连续函数可偏导多元函数连续、可偏导、可微的关系函数连续函数可微偏导数连续函44四、高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数于是在内、都是的函数。若这两个函数的偏导数存在，的二阶偏导数。则称它们是函数四、高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数于是在内、都是的函数。45纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.46解

设，

求例7解设，求例747原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形观察上48例7

设byeuaxcos=，求二阶偏导数.

解问题：混合偏导数都相等吗？例7设byeuaxcos=，求二阶偏导数.解问题：混合49解按定义可知：当时，例8设求的二阶混合偏导数。解按定义可知：当时，例8设求的二阶50问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？51解方程

验证函数22ln),(yxyxu+=满足拉普拉斯例9定理

若函数的两个二阶混合偏导数这两个二阶混合偏导数必相等．则在该区域内，

连续,及在区域内解方程验证函数22ln),(yxyxu+=满足拉普拉斯52证毕．证毕．53全微分在近似计算中的应用也可写成都较小时，连续，个偏导数yxfyxfyx),(),,(的两在点当二元函数yxPyxfz=),(),(yxDD,且有近似等式全微分在近似计算中的应用也可写成都较小时，连续，个偏导数yx54解由公式得设函数例5

计算的近似值.解由公式得设函数例5计算的近似值.55几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率.轴几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的56几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率.轴几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的57几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率.轴几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的58几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率.轴几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的59几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率.轴几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的60偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率.轴几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率.轴几61偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率.轴几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率.轴几62由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义63全增量的概念

),(yx如果函数),(yxfz=在点的某邻域内有定义，任意一点，为函数在点P对应于自变量增量yxDD,的全增量，记为zD，

),(yyxxPD+D+¢为这邻域内的并设则称这两点的函数值之差即全增量的概念),(yx如果函数),(yxfz=64引例：设矩形的长、宽分别用表示，则矩形的面积为若测量时产生的误差为则该矩形面积产生的误差为上式右端包含两部分，它是关于的线性函数;另一部分是当即时,一部分是引例：设矩形的长、宽分别用表示，则矩形的面积为若测量时产生的65是比高阶的无穷小，因此略去高阶无穷小，而用近似表示则其差是一个比高阶的无穷小，称为函数在处的全微分。是比高阶的无穷小，因此略去高阶无穷小，而用近似表示则其差是一66定义

如果函数),(yxfz=在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz-D+D+=D可以表示为其中BA,不依赖于yxDD,而仅与yx,有关，22)()(yxD+D=r，则称函数),(yxfz=在点),(yx可微分，yBxAD+D称为函数),(yxfz=即

dz=yBxAD+D.)(royBxAz+D+D=D,在点),(yx的全微分，记为dz，定义如果函数),(yxfz=在点),(yx的全增量67事实上若函数在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.

),(yxfz=),(yx如果函数在点可微分,

则函数在该点连续。事实上若函数在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微68二、偏导数在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，它的变化率。首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，就是我们下面的偏导数概念。由于多元函数不止一个自变量，对于多元函数同样需要讨论因此二、偏导数在研究一元函数时，从研究函数的变69定义

若存在，设函数在点的某一邻域内有定义，相应地函数有增量处对的偏导数，1.偏导数的定义在点则称此极限为函数记为固定在而在处有增量当时，定义若存在，设函数在点的某一邻域内有定义，相应地函数有增70同理可定义:函数的偏导数为记为在点处对或或即同理可定义:函数的偏导数为记为在点处对或或即71解就是x、y的函数，自变量x的偏导数，如果函数在区域内任一点处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数),(yxfz=对它就称为函数如，设求解就是x、y的函数，自变量x的偏导数，如果函数在区域内任一点72记作同理可以定义函数),(yxfz=对自变量y的偏导数，记作记作同理可以定义函数),(yxfz=对自变量y的偏导数，记作73从偏导数的可以看出，计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，数时，则所以，对的偏导就是的导数。于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。对的偏导如计算视为常数，因为已将故若令从偏导数的可以看出，计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，数74（１）（２）求分界点、不连续点处的偏导数要用有关偏导数的几点说明：偏导数的概念可以推广到二元以上函数，如在处定义求；偏导数是一个整体记号，不能拆分;（3）（１）（２）求分界点、不连续点处的偏导数要用有关偏导数的几点75全微分与偏导数课件76解例1

求

在点处的偏导数．解例1求在点处的偏导数．77解例2求三元函数的偏导数。解例2求三元函数的偏导数。78解当时求例3的偏导数。解当时求例3的偏导数。79由变量的对称性可得当时由变量的对称性可得当时80证

例4已知理想气体的状态方程（R为常数），求证：证例4已知理想气体的状态方程（R为常数），求证：81例5解例5解82按定义可知：按定义可知：83多元函数中在某点偏导数存在

连续。一元函数中在某点可导

连续；但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.2、偏导数存在与连续的关系多元函数中在某点偏导数存在连续84，求例6设其中解，求例6设其中解85同理可得：因点沿直线趋于时，，而点沿轴趋于时，所以不存在，从而在不连续。但极限不存在，。同理可得：因点沿直线趋于时，，而点沿轴趋于时，所以不存在，从86如图3、偏导数的几何意义如图3、偏导数的几何意义87演示几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线的斜率.处的切线对轴在点演示几何意义:偏导数就是曲面被平面所截得的曲线的斜率.处的88偏导数就是曲面被平面所截得的曲线的斜率.处的切线对轴在点偏导数就是曲面被平面所截得的曲线的斜率.处的切线对轴在点89三、可微的条件

定理3.1

（必要条件）则该函数在点),(yx的偏导数xz¶¶、yz¶¶必存在，为),(yx可微分，),(yxfz=在点),(yx的全微分且函数),(yxfz=在点如果函数证因为函数在点可微分,三、可微的条件定理3.1（必要条件）则该函数在点)90总成立,同理可得

ÎD+D+¢),(yyxxP，有当时，上式仍成立，此时总成立,同理可得ÎD+D+¢),(yyxxP，有当时，上式91多元函数的各偏导数存在全微分存在．一元函数在某点的导数存在微分存在．例如，多元函数的各偏导数存在全微分存92则当时，则当时，93多元函数的各偏导数存在并不能保证全证在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理微分存在，说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全94（依偏导数的连续性）其中为的函数,且当时，

（依偏导数的连续性）其中为的函数,且当时，95同理故函数在点处可微.同理故函数在点处可微.96记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于它的两个叠加原理也适用于二元以上函数的情况．习惯上，自变量的增量分别记作分别称为自变量的微分。偏微分之和这件事原理．称为二元函数的微分符合叠加记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数97解所求全微分例1

计算函数在点)1,2(处的全微分..解所求全微分例1计算函数在点)1,2(处的全微分..98解例2

求函数当时的全微分.解例2求函数当时的全微分.99解所求全微分例3

计算函数的全微分.解所求全微分例3计算函数的全微分.100例4

试证函数在点连续且偏导数存在，不连续，思路：讨论.按有关定义讨论；对于偏导数需分但偏导数在点在点可微.

而例4试证函数在点连续且偏导数存在，不连续，思路：讨论.101证令则同理

)0,0(故函数连续.在点证令则同理)0,0(故函数连续.在点102不存在.所以在不连续.不存在.所以在不连续.103且且104的图形的图形的图形的图形105多元函数连续、可偏导、可微的关系函数连续函数可微偏导数连续函数可偏导多元函数连续、可偏导、可微的关系函数连续函数可微偏导数连续函106四、高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数于是在内、都是的函数。若这两个函数的偏导数存在，的二阶偏导数。则称它们是函数四、高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数于是在内、都是的函数。107纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.108解

设，

求例7解设，求例7109原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形观察上110例7

设byeuaxcos=，求二阶偏导数.

解问题：混合偏导数都相等吗？例7设byeuaxcos=，求二阶偏导数.解问题：混合111解按定义可知：