大学现性代数作业

普通高等教育“十五”国家级规划教材线性代数标准化作业吉林大学数学中心2006.9

学院 班级 姓名 学号第一章作业（矩阵的运算与初等变换）1、计算题’10(4)0211002’10(4)021100200oYio1011003 1、2-1-2-30 —3j2、计算下列方阵的嘉：(1)已知a=(1,2,3),4=(1,-1,2),A=arp,求A424±(2)已知上=目031,求/

fe0(F3、通过初等行变换把下列矩阵化为行阶梯形矩阵W 1 0 2±11-12-B3-44上'21 837、2-307-53-25800320,4、用初等变换把下列矩阵化为标准形矩阵:TOC\o"1-5"\h\z’3 2 -1 -3 -1、2 -1 3 1 -3 ；、7 0 5 -1 8,‘1-13-43、3-35-412-23-20、3-34-2"5,利用初等矩阵计算：0丫00丫0b(1)010 1 1k011J1-2-2(2)已知NX=8,其中求X.(12、 (ah\6、设力= ,B=，若矩阵力与5可交换，求a、b的值.J-V 132)7、设48均为〃阶对称矩阵，证明力8+A4是〃阶对称矩阵.学院班级姓名学号第二章作业(方阵的行列式)1、填空题(1)排列52341的逆序数是陀是排列；(2)排列54321的逆序数是，它是排列；1〜9这九数的排列1274/5g9为偶排列，则i,/(4)四阶行列式中含有因子。1W23的项为；(5)一个〃阶行列式。中的各行元素之和为零，则D= .2、计算行列式2xx121x1-132x1x10x展开式中Y与d的系数.3,计算下列各行列式的值:2-I16(1)D=4T50-120-514一2-212121212j_21(4)TOC\o"1-5"\h\zl-47 1(4)1 \+b1 1 1 \-b1 02(5)D=20030 20044、设4阶行列式的第2列元素依次为2,m,k,3,第2列元素的余子式依次为1,-1,1,-1,第4列元素的代数余子式依次为3,1,4,2,且行列式的值为1,求%的值.5、设3阶矩阵aa/=2%其中a，P，冷均为3维的行向量，且⑷=18,归|=2,求0-用.学院 班级姓名 学号第三章作业(可逆矩阵)1、填空题‘100、(1)设4=220,为/的伴随矩阵，则(T)T=;、345,(2)设)为4阶数量矩阵，且0|=16,则A=,/t=，*-；f5200A(001 1)(4)设实矩阵A、=(%”仇且《|工0,%=4(4为%的代数余子式)，则1/I=；(5)设/为二阶方阵，8为三阶方阵，且1/I=工=L，则°.一B忸|2 (2/尸O2、选择题TOC\o"1-5"\h\z(1)设同阶方阵B、C.E满足关系式，8OE,则必有( ).(A)ACB=E,(B)CBA=E',(C)BAC=E,(D)BCA=E.(2)若a3为同阶方阵，且满足46=0,则有( ).(A)/=O或5=0; (B)⑷=0或|5|=0;(C)(4+5)2=/2+52； (D))与6均可逆.(3)若对任意方阵6,C,由/4=/C(4B,。为同阶方阵)能推出B=C,则力满足( ).

(A)/#0； (B)/=0; (C))|。0； (D)/61Ho.(4)若48,(BT+zT)为同阶可逆方阵，则(A)B'+A'；(B)5+4(0(6+/广；(D)B(B+A)'A.3、求下列矩阵的逆矩阵:⑴求A=1-I102-I313-3404、-441J的逆矩阵:’6000001000012000023(2)求/!=的逆矩阵.010000011000、011100,2、,C=34,求解下列矩阵方程：(1)3bAX=X+C；(2)AXB=C.5、设N为〃阶可逆矩阵，将/的第i行和第，行对换后得矩阵8,试证:(1)8可逆；(2)求/及L122 1、6、设/I6、设/I=2求矩阵”的秩。03-13104f7、设矩阵0 0 0、3 0 ° …口 1°，且满足5=(E+/)」(E-N),0-67,求(E+5尸.8、设力为加x〃矩阵，B为〃xm矩阵，且加＞〃，试证/为=0.学院 班级姓名 学号第四章作业(线性方程组与向量组的线性相关性)1、填空题(1)设夕=(3,-4),ai=(1,2),ct2=(T'3),则少表成四，42的线性组合为；(2)设向量组ai=(1,1,0),a2=(1，3,-1),«3=(5,3,/)线性相关，则t=；(3)设向量组囚=(1,1,0),a2=(1,3,-1),a3=(5,3,t)的秩为3,则参数，应满足的条件是；(4)〃元线性方程组eo有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量的个数均为；(5)设〃阶矩阵/的各行元素之和均为零，且R(/)=〃T,则方程组Ax=O的通解为.2、选择题(1)设夕，勾线性相关，少，g，©线性无关，则正确的结论是( ).(A)ai，四2，©线性相关； (B)ai，g、©线性无关；(0g可由A，a2,a3线性表示； (D)4可由外，四2线性表示.(2)设勾，a2,出线性无关，则下列向量组线性相关的是( ).(A)a\,。2，as-©； (B)a”ai+«2，a\+ay,(C)ai+«2，«2+aj,ay+a\', (D)a[a2，af-a、、aj-aj.(3)设〃元线性方程组Nx=O的系数矩阵N的秩为〃-3,且a”a2,©为线性方程组Ax=d的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=O的基础解系为().(C)2a2-«i,—ay-«2，a\-ay,(D)ai+«2+aj,令-畋，川-2a3.TOC\o"1-5"\h\z(4)设©,“2是〃元线性方程组eo的两个不同的解向量，且我(/)=n~\,%为任意常数，则方程组/x=O的通解为( ).(A)ka\', (B)ka± (C)左(四「畋)； (D%®]+a2).(5)设向量组a”a2是方程组4尸0的基础解系，小，伤是方程组Nx=b的两个解向量，鬲，心是任意常数，则方程组/A〃的通解为( ).(A)Aka+七％+4、%； (8)x=kya}+k2(a1-g2)+-1 ;(C)x=kxax+kJ伙—.)+，；%； (D)x=kya]+k2(al+%)+"2"(6)设非齐次线性方程组4r=〃所对应的齐次线性方程组4r=0,则下面结论正确的是( ).(A)若4r=0有唯一解，则4r=〃必有唯一解；(B)若4r=0有唯一解，则4r=b必无解；(C)若4r=0有无穷多个解，则，x=Z»也有无穷多个解；(D)若/卡力有无穷多个解，则华。也有无穷多个解.3、设电，a2,内是4元非齐次线性方程组的三个解向量，且我(4)=3,其中求Ax=b的通解.4、求解齐次线性方程组玉-3x4一/=0,王~x2+2x3-x4+七=0,4百-2x2+6马-5x4+%=0,2n+4x2~2x^+4x4—16x5=0.5、求解非齐次线性方程组再+/+x3+X4+七=3,2xj+x2+3X3+3%+4x5=14,3Xj+4x2+X3—3x4+2x5=-H,再~X2+4x3+8%+4x5=31.6、设向量组(3)当4、6为何值时，夕能由“I，畋，“3，。4线性表示，但表示法不唯一，并写出表示式.

7、已知4阶方阵，=(©,a2»«3，«4)»其中内，«2，«3,a4均为4维的列向量，且“2，©，“4线性无关，«|=2«2-«3,如果夕=©+处+&4，求线性方程组4r叩的通解.8、求向量组8、求向量组因出它的一个极大无关组.9,设非齐次线性方程组4x=b所对应的齐次线性方程组，产0的基础解系为。1，^2，…，品-r，且，/*为4r=8的一个特解，试证《2，…，3-r，"*线性无关.

学院班级姓名第五章作业学院班级姓名第五章作业学号1、填空题(1)/为早零矩阵(4〃=。，左为正整数)，则N的特征值—(2)设，是〃阶方阵，\A\=5,则方阵6=44*的特征值是特征向量是；(3)设4阶方阵/相似5,且/的特征值为A-,则(4)若/是〃阶方阵/的特征方程的单根，则R(/-AE)=；(5)若”阶可逆矩阵A的每行元素之和均为。，则2/“+E的一个特征值2,选择题「2,尸3，令尸=(尸1，尸2,尸3),则PlAP=( ).(A)0,00-1

00；(B)「2,尸3，令尸=(尸1，尸2,尸3),则PlAP=( ).(A)0,00-1

00；(B)00；(C)00；(D)00、0(2)与矩阵/=00、0相似的矩阵是(2)(A)0,00、0；2,U(B)0,0o；(D)00、1

2>(3)矩阵/与5相似，则(\A-XE\=\B-XE\;\A-XE\=\B-XE\;A-kE=B-)£；(C)/与5与同一对角阵相似；(D)存在正交阵P,使得-■尸=B(4)〃阶方阵/与某对角矩阵相似，则().(A)R(Z)=〃； (B)/有〃个不同的特征值；(C)/是实对称阵； (D)/有〃个线性无关的特征向量.'00P(5)设矩阵8=010相似Z,则R(N-2E)+R(N-E)=( ).Jo(A)2； (B)3； (04; (D)5.3、计算题(1)设a=(a］，az，…，an)T,(。产0,/?>1),A-a(i求A的特征值和特征向量.(2)设三阶方阵”的特征值为1,-2,3,矩阵5=42-24求①B的特征值；5是否可对角化，若可以，试写出其相似对角形矩阵；求|B|,\A-2E\.(3)在实数域上，设4阶实方阵A有两个不同的特征值，且满足条件44T=2£,⑷<o,求才的两个特征值.(4)设有3阶方阵/满足/-5M+6/=O,且Tr/=5,⑷=0,试求/的特征值，并判定力能否相似于对角矩阵，若能，求出相似的对角矩阵.(5)设A00(5)设A00、a223,q0,00、0相似,b)①求a,b；②求一个可逆矩阵c,使L/C=5.(6)设三阶矩阵/满足/因=闻。=1,2,3),其中列向量二i=(l,2,2)\g(2,-2,1)t,a3=(-2,-l,2)T,试求矩阵4’22(7)设矩阵’22(7)设矩阵7=82、0oa相似于力,求①a；②可逆矩阵P和对角矩阵/，6,4、证明题(1)设实方阵N满足nT4=E,试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1(2)设N是〃阶正交矩阵，且⑷=-1，证明-1是N的一个特征值.学院 班级姓名 学号第六章作业(二次型与对称矩阵)1、填空题二次型y(Xi，X2，Xj,X4)=Xi2+3x2?-右^+太冈+公田-3x2X3的矩阵是则存在可逆矩阵尸，使得尸745,其中P=(4)二次型y(xi，X2，X3)=2x\2+x^+X32-2/X1X2+2X1X3正定时，，应满足的条件是.(5)设/为实对称矩阵，且网#0,则把二次型/=xL4x化为/="4~'y的线性变换是x=y.2、选择题(1)实二次型/=XT/X为正定的充分必要条件是.(A)&(4)=〃； (B)/的负惯性指数为零；(C)0|>0； (D)/的特征值全大于零.A=1111111A=111111111、I1(400<0000000000、000,则/与3的关系为((A)合同且相似;(B)合同但不相似;(C)相似但不合同;(A)合同且相似;(B)合同但不相似;(C)相似但不合同;(D)既不相似也不合同.(3)设矩阵A-24A-24—20-25正定，则相似的对角矩阵为(A)(4)设小10；(B)5为〃阶正定矩阵，则(A)(4)设小10；(B)5为〃阶正定矩阵，则(C):(D)是正定矩阵.7-1(A)k\A+k2(A)k\A+k2B-, (B)A*+B*； (C)Al-B1(5)设/=(劭)”"为实对称矩阵，二次型(D)AB.户Z(卬内+ai2x2+…+ainxn)21=1为正定的充要条件是( ).(A)度|=0;3,(A)度|=0;3,计算题(B)依|r0; (C)磔|>0；(D)因|<0.(1)已知二次型7(Xi，X2，X3)=5x/+5x22+cX32-2X1尤2+6X1X3-6X2X3的秩为2,求c.(2)设二次型/=4xi2+3x22+2x2x3+3x32.①求一个正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换;②用配平方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换;③用合同变换法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换(3)求一正交变换，将二次型加1，X2，X3)=5X|2+5X22+3x32-2X1X2+6X1X36X2X3化为标准形，并指出7(X1，X2，X3)=1表示何种二次曲面.(4)求二次型./(X1，X2，X3)=X12+3X3?+2xiX2+4xiX3+2%2X3的正、负惯性指数及符号差.（5）设〃元二次型J{X\,M，…，X”）=（X1+.1X2）+（方2+。2无3）+…+（X"-i+a”-iX"）〜+（》”+47,两）其中以i=l,2,…,〃）为实数，试问当内，。2，…，。〃-1，。“满足什么条件时，二次型7（X|,X2，…，X"）正定二次型？4、证明题（1）设<X],X2，…，Xn）=x9x是一实二次型，丸，入2，…，4n是/的特征值，且九4《猫.证明对于任一实〃维列向量X有21XTX<x^Ax<AnxTx.(2)设Z是〃阶正定矩阵，证明依+2£|>2".(3)设4…为实矩阵，若火(，)=〃，试证为正定矩阵.(4)设)为〃？阶的正定矩阵，B为mX”实阵，试证6/6正定的充分必要条件是R(5)=〃.学院 班级姓名 学号第七章作业(线性空间)1、下列集合对于给定的运算是否构成实数域R上的线性空间，如果是找出一个基，并求维数.(1)Vo={x=(Oj2,・T")|x2,.7”£R},对于通常向量的加法和数乘；(2)Vi={x=(ln2,”)|x2,…£R},对于通常向量的加法和数乘；(3)全体〃阶实矩阵集合R"",定义加法：VN、5£R"X"A®B=AB-BA数乘：按通常的矩阵数乘.(4) ]a, 对于通常矩阵的加法和数乘；(5)V={X=(X1»X2,…4")1X1+X2+…+X"=0；X1,X2,…3”£R},对于通常向量的加法和数乘.2,全体实反对称矩阵的集合W,对于通常矩阵的加法和数乘是否构成R"*"的子空间？为什么？

33、所生成的子空间的维数和一个基.4,求数域F上三阶实对称矩阵在通常的矩阵的加法和数乘下构成的线性空间的基与维数.5、设线性空间R"”中一组基求/=,在这组基下的坐标.6,已知1,X,X2,是R[x]4的一组基：⑴证明1,l+x,(1+x)2,(l+x)3也是固幻4的一组基；(2)求由基1,X,X2,到基1,1+X,(1+x)2,(l+x)3的过渡矩阵;(3)求由基1,1+X,(1+X)2,(1+*)3到基1,X,X2,的过渡矩阵;(4)求a^x3+(72%2+a\x+to对于基1，1+x,(1+x)2,(l+x)3的坐标.7、设R3的两组基分别为求R3中的向量。=（0/2,6）T分别在这两组基下的坐标.8、设有两组基币=(0,1,1)T，。2=(1，0,1)T,第=(1,1,0)T；，八=(1,0,0)T,〃2=(l，1，0)T,"3=(1，1，1)T.求(1)由基圣，&2，蜃到基力，”2,小的过渡矩阵G(2)a=5+3牝+5办关于基备，62，蜃的坐标；071+23+3蜃关于基力，"2，43的坐标.9、验证为R3的一个基，并求向量在这组基下的坐标..设R3中由基cti，(X2,<Z3到基>,隹，03的过渡矩阵为TOC\o"1-5"\h\z’11 -PA=1 1.J T1>(1)若基ai=(l,0,0),o(2=(1?1，0),ot3=(l,1,1)i试求基色，Pl，阳,(2)若基。=(0,1,1),-2=(1，o,2),#3=(2，b0),试求基ot],g'«3..在R[X]3中有三组基1,X,X2；x+1,x+/,x2;1,x-x2,x+x2.“在基(1)下的坐标为(1,0,-1)T,“在基(2)下的坐标为Q,1,0)T,7在基(3)下的坐标为(0,-1,1)、求“+2+了在基1,x,d下的坐标，并求由基(2)到基(3)的过渡矩阵.12、已知R3中的两个基分别为-nT出2=-nT出2=且由基西,。2,的到基由，伤，#3的过渡矩阵为'-11-1、C=012,、020,试求。、b、c、尤、y>z.《线性代数A》模拟试卷一、填空题(每小题3分、共计18分)(1)设向量组4=(1,1,1),%=(1,2,3),%=(1,3/)线性相关，则，=.(2)设向量a=(1,3,5),少=(1,抖,令/1=々»,则“=•(3)设/=x：+2为x?+4x；+2后为正定二次型，则，的取值范围是.(4)设/、5均为〃阶方阵，且⑷=2,|B|=-4,则2秒.°i=.(5)设/为五阶方阵，且满足M+/=e,则R(N+E)=(6)设)为〃阶可逆矩阵，将/的第i行和第/行对换后得矩阵&则依5”|=二、单项选择题(每小题3分，共计18分)(1)设〃阶方阵/、B、C满足N5C=E,则下面的结论正确的是( ).(A)ACB=E；(B)CBA=E；(C)BAC=E；(D)BCA=E.(2)设向量/能由ai，a2,a5线性表示，但不能由g，“2线性表示，则下面结论正确的是().(人)。3不能由外，々2线性表示，但能由夕，ai，(Z2线性表示；(8)©不能由外，畋线性表示，也不能山夕，a,,“2线性表示；(C)a-3能由a”做线性表示，但不能由尸，at,畋线性表示；(口)©能由外，即线性表示，.也能由夕，ai，a?线性表示.(3)设/为〃阶方阵，且R(/)=〃/,a\,a?是/x=0的两个不同的解向量%为任意的常数，则4r=0的通解为().(A)ka\', (B)左a2； (C)%(a|-(Z2)； (D)左(如+42).(4)设有4阶方阵/满足条件/+3E|=0,44T=2E,,周＜0,则()为/*的一个特征值.(A)4； (B)-3； (C)1； (D)1.TOC\o"1-5"\h\z3 4(5)已知矩阵任 2 % 学 4 6; 1 00± 甥 1atA=h 4 磕;2 31 P产如 1唾 P2Tl 0(46 95 * 落。# 耻 o"则5=().(A)，尸1尸2； (B)P2P\A\(C)PiP2A,(D)PiJP2.(6)设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、3,第2列元素的余子式依

次为1、-1、1、-1,第3列元素的代数余子式依次为3、1、4、2,且行列式的值为1,则加、%的值为().(A)4、2； (B)-4,2； (04.-2； (D)-4、-2.三、计算题(每小题6分，共计36分)1、设三阶方阵/、8满足关系式6Z+84且Oyo

Oyo

=

与

.._••••+一•

O1X0±0中相似，求x,y.用这个基线性表示.3、已知矩阵A=|00求R(A)及A的列向量组的一个极大无关组.求求R(A)及A的列向量组的一个极大无关组.5,已知向量组幻,关，求人.6、设矩阵四、(12分)已知4阶方阵A-(a”as,8，8)，其中出，3a?，a)均为4维的列向量，并且a2,8，8线性无关，而3al=-2a>ray,若#=幽+。2+。3+%，求，x=R的通解.(-211、五、(10分)已知矩阵/=x2y、-413,有三个线性无关的特征向量，A=2是A的二重特征值，求一个正交矩阵尸使FrXAP=A.六、(6分)设有3阶实对称矩阵/满足M一〃=0,已知我(/尸2.①写出用正交变换将二次型/=x%4+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换)；②判断二次型f=xv(A+E)x的正定性；③令B=A+E,试判断B的列向量组的线性相关性.《线性代数C》模拟试卷一、填空题(每小题3分、共计18分)(1)设向量组q=(1,1,1),%=(1,2,3),%=(L3")线性无关,则》.(2)设向量a=(1,3,5),"(1,；,女,令Z=a/,则/"=.(3)设/=x；+2wc2+4x；+2x；为正定二次型，则/的取值范围是.(4)设/、8均为3阶方阵，且⑷=2,网=-4,则|2/5」|=.(5)设/为3阶方阵，且满足A2-A=E,则R[A-E)=.(6)设3阶矩阵/可相似于对角矩阵，且力的每行元素之和都等于3,火(4)=1,则。“+。22+。33="二、单项选择题(每小题3分，共计18分)(1)设〃阶方阵/、B、C满足。18=E,则下面的结论正确的是( ).(A)ACB=E,(B)CBA=E；(C)BAC=E；(D)ABC=E.(2)已知夕可由的，侬，线性表示，而夕不能由ai，般或性表示，则下面结论正确的是( ).(A)as能由a，3夕线性表示，也能由ai，线性表示；(B)a,能由a，s，6线性表示，但不能由a”a?线性表示；(C)不能由a，a2,夕线性表示，