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函数的概念剖析

定义：一般地设A、B是两个非空数集，假如依照某一对应法则f，对于A中的每一个元素x，在B中有唯一的元素y与它对应，这样的对应叫做A到B的一个函数，寻常记为y=f(x),x∈A，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域。

刚接触这个概念学生对这个概念一无所知，而这个概念在教学中十分重要，怎样才能理解好这个概念呢？

从概念的关键词出发：（1）A、B是两个非空数集：这句话告诉学生A、B不仅是集合，而且还是数集，且为非空数集，其它的任何集合都不行。并且举例说明，例：平面直角坐标系上的点，与点的坐标是一一对应，它是不是函数？回复：不是函数。由于平面直角坐标系上的点是点集，它不是数集。平面上直线y=x上的点的横坐标与纵坐标的关系，它是函数，由于横坐标与纵坐标是定义在数集上的数。再例如：电影院的位置与电影票的票号是一一对应，位置是一种事物，不是数集，所以它不是函数；电影票上面的号码与坐位上的号码是定义在数集上的，所以它是函数。

对这句话的理解：对于A中的每一个元素x，在B中有唯一y值与它对应〞,

ab

a

b

c

1

2

3

A

B

这个图只要a、b、c表示的是数，那么这个图反映的是一一对应，当然它是函数。由于它符合A中的每一个值a、b、c，在B中有唯一的元素1、2、3与它对应，是函数。

±

±1

±2

±3

1

4

9

A

B

这个图反应的是在集合A中有两个或两个以上的元素对应集合B中唯一的元素。符合定义中的“A中的每一个元素在B中有唯一的元素和它对应〞。这是多对一的一种关系，是函数。

a

a

b

c

1

2

3

4

A

B

这个图反应的是集合A中的每一个元素在B中有唯一的值和它对应，在集合B中可以有多余的元素，也符合“A中的每一个元素在B中有唯一的元素和它对应〞。这一定义。这也是函数。

1

1

4

9

±1

±2

±3

A

B

1493123AB

1

4

9

3

1

2

3

A

B

这个图也违反了函数定义中的“每个x的值有唯一的y值和它对应〞，由于在集合A中元素3找不到y值和它对应。所以它也不是函数。例如函数y=（x∈R）。当x=3时找不到函数值和它对应。所以y=在实数范围内不是函数。

xy

x

y

o

x

y

o

x

y

o

（这也不是函数，由于一个x的值对应二个y的值）（这也不是函数，由于一个x的值对应两个y的值）（这不是函数，由于一个x的值对应二个y的值）

（这也不是函数，由于一个x的值对应二个y的值）

（这也不是函数，由于一个x的值对应两个y的值）

（这不是函数，由于一个x的值对应二个y的值）

x

x

y

o

x

y

o

x

y

o

（这是函数，由于一个y的值对应无数个x的值，这是正弦函数）

（这是函数，由于一个y的值对应无数个x的值，这是正弦函数）

（这是函数，由于这是一个y的值对应二个x的值，这是二次函数）

（这不是函数，由于一个x的值对应二个y的值。）

（这不是函数，由于一个x的值对应二个y的值。）

x

x

y

o

x

y

o

x

y

o

（这是余弦函数，一个y的值对应无数个x的值，符合多对一）

（这是余弦函数，一个y的值对应无数个x的值，符合多

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