4-刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件

4平稳随机过程4平稳随机过程1内容提要平稳过程的概念与性质平稳过程

的各态历经性平稳过程的功率谱密度联合平稳过程内容提要平稳过程的概念与性质24.1平稳过程的概念与性质[定义]设{X(t),tT}是随机过程，若对任意常数和正整数n，t1,t2,…,tnT，t1+,t2+,…,tn+T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))与(X(t1+),X(t2+),…,X(tn+))有相同的联合分布函数，则称{X(t),tT}为严平稳过程，也称狭义平稳过程。严平稳过程4.1平稳过程的概念与性质[定义]设{X(t),t3N阶平稳过程[定义]设{X(t),tT}是随机过程，若对于正整数nN和任意常数，t1,t2,…,tnT，t1+,t2+,…,tn+T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))与(X(t1+),X(t2+),…,X(tn+))有相同的n维联合分布函数，则称{X(t),tT}具有N阶平稳性。（其实，当n=N时条件满足即可）N阶平稳过程[定义]设{X(t),tT}是随机4宽平稳过程[定义]设{X(t),tT}是随机过程，如果

(1){X(t),tT}是二阶矩过程；

(2)对任意tT，mX(t)=E{X(t)}=常数；（均值平稳）

(3)对任意s

,tT，RX

(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(ts)；（自相关平稳）

则称{X(t),tT}为广义平稳过程，简称(宽)平稳过程。宽平稳过程[定义]设{X(t),tT}是随机过程5常用平稳性之间的关系严平稳n阶平稳(n>2)二阶平稳一阶平稳均值平稳自相关平稳广义平稳高斯过程常用平稳性之间的关系严平稳n阶平稳二阶平稳一阶平稳均值平稳6例1——白噪声设{Xn

,n=0,1,2,}是实的互不相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn]=2，试讨论随机序列的平稳性。[解]因为:(1)E[Xn]=0故随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关，因此它是平稳随机序列。例1——白噪声设{Xn,n=0,1,27例2设有状态连续、时间离散的随机过程X(t)=sin(2t)，其中为（0,1）上均匀分布的随机变量，t只取整数值1,2,，试讨论随机过程X(t)的平稳性。[解]因此X(t)是平稳随机过程。例2设有状态连续、时间离散的随机过程X(t)=sin8平稳过程相关函数的性质[定理]设

{X(t),tT}是平稳过程，则其相关函数RX()

具有下列性质：(1)(2)(3)(5)若X(t)=X(t+T)，则有RX()=RX(+T)

；(4)RX()是非负定的，即(6)若X(t)是非周期过程，当时，X(t)与X(t+)相互独立，则实平稳过程的相关函数是偶函数平稳过程相关函数的性质[定理]设{X(t),tT94.2平稳过程的各态历经性对于随机过程X(t,e)，对于每一个固定的tT

，X(t,e)是一个随机变量，

E[X(t)]=mX(t)为统计平均。对于每一个固定的e

，X(t,e)是普通的时间函数，在T上对t取平均，即得时间平均。4.2平稳过程的各态历经性对于随机过程X(t,e)10大数定理（回顾）设独立同分布的随机变量序列{Xn,n=1,2,}，具有E[Xn]=m,D[Xn]=2,(n=1,2,)，则只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能状态——遍历性（或各态历经性、埃尔古德性）大数定理表明，随着时间的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。大数定理（回顾）设独立同分布的随机变量序列{Xn,n11时间均值和时间相关函数[定义]设{X

(t),<t<}为均方连续的平稳过程，则分别称

为该过程的时间均值和时间相关函数。时间均值和时间相关函数[定义]设{X(t),12各态历经性[定义]

如果均方连续的平稳过程

{X

(t),tT}的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。[定义]

设{X

(t),<t<}为均方连续的平稳过程，若

以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若

以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。各态历经性[定义]如果均方连续的平稳过程{X(t),13CX()均值各态历经的充要条件[定理]

设{X

(t),<t<}是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为当X

(t)是实均方连续平稳过程时，充要条件为CX()均值各态历经的充要条件[定理]设{X(t14相关函数各态历经的充要条件[定理]

设{X

(t),<t<}是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为当X

(t)是实均方连续平稳过程时，充要条件为相关函数各态历经的充要条件[定理]设{X(t),150t<时的各态历经性（1）[定理1]

对于均方连续平稳过程{X

(t),0

t<}，等式

以概率1成立的充要条件为若X

(t)为实平稳过程，则充要条件为0t<时的各态历经性（1）[定理1]对于均方连续平稳过160t<时的各态历经性（2）[定理2]

对于均方连续平稳过程{X

(t),0

t<}，等式

以概率1成立的充要条件为若X

(t)为实平稳过程，则充要条件为0t<时的各态历经性（2）[定理2]对于均方连续平稳过17例3设有随机相位过程X

(t)

=acos(t+)，a,为常数，为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，试问X

(t)是否为各态历经过程。故X

(t)是为各态历经过程。例3设有随机相位过程X(t)=acos(t+)18各态历经性的重要意义如果一个实平稳过程是各态历经的，则可用其任一样本函数的时间平均代替平稳过程的统计平均，即若样本函数

x

(t)只在有限区间[0,T]上给出，则有各态历经性的重要意义如果一个实平稳过程是各态历经的，则可用其194.3平稳过程的功率谱密度帕塞伐公式：普通时间函数x(t)的谱分析能谱密度功率密度截尾函数：平均功率4.3平稳过程的功率谱密度帕塞伐公式：普通时间函数x(20平稳过程的谱分析设X(t)是均方连续的随机过程，功率谱密度平稳过程的谱分析设X(t)是均方连续的随机过程，功率谱密21功率谱密度[定义]设

{X(t),<t<

}是均方连续的随机过程，称

为X(t)的平均功率。称

为X(t)的功率谱密度，简称谱密度。当X(t)是均方连续的平稳过程时，功率谱密度[定义]设{X(t),<t<22[解][例4]

设有随机过程X(t)=acos(0t+)，其中a,0

为常数，在下列情况下，求X(t)的平均功率

(1)是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量；

(2)是在(0,/2)上服从均匀分布的随机变量。(1)随机过程X(t)是平稳过程，相关函数：平均功率：(2)平均功率：X(t)是非平稳过程[解][例4]设有随机过程X(t)=acos(23功率谱密度的性质设

{X(t),<t<

}是均方连续平稳过程，RX

()为它的相关函数，其功率谱密度sX

()具有如下性质：(1)（维纳-辛钦定理）若，

则sX

()是RX

()的傅里叶变换；当X(t)为实平稳过程时，功率谱密度的性质设{X(t),<t<24谱密度的性质sX

()是的实值非负函数；实平稳过程的谱密度是偶函数；(4)当sX

()是的有理函数时，其形式必为其中a2ni,b2mj

(i=0,2,,2n,j=2,4,,2m)为常数，且a2n>0,m>n，分母无实根。谱密度的性质sX()是的实值非负函数；(4)25sX()单边功率谱单边功率谱——实平稳过程的谱密度

sX

()是偶函数，因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。GX()sX()单边功率谱单边功率谱——实平稳过程的谱密度sX26例5[解]已知平稳过程的相关函数为，其中a>0,0

为常数，求谱密度sX().例5[解]已知平稳过程的相关函数为27常见的平稳过程的相关函数及相应的谱密度参见表7.1（P150）常见的平稳过程的28窄带过程相关函数：窄带随机过程——谱密度限制在很窄的一段频率范围内。谱密度：sX()s012-2-10RX()0窄带过程相关函数：窄带随机过程——谱密度限制在很窄的一段频率29白噪声过程[定义]设

{X(t),<t<

}为实平稳过程，若它的均值为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即sX

()=N0(<<)

，则称X(t)为白噪声过程。相关函数：[定义2]

称均值为零、相关函数RX

()=N0()的实平稳过程为白噪声过程。白噪声过程[定义]设{X(t),<t<304.4联合平稳过程X(t)和Y(t)是两个平稳过程X(t)Y(t)W(t)=X(t)+Y(t)

是否平稳？4.4联合平稳过程X(t)和Y(t)是两个平稳过31联合平稳过程的定义[定义]设

{X(t),tT}和{Y(t),tT}是两个平稳过程，若它们的互相关函数及仅与有关，而与t无关，则称

X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。它们的和W(t)=X(t)+Y(t)也是平稳过程。联合平稳过程的定义[定义]设{X(t),tT}32互相关函数的性质联合平稳过程

X(t)和Y(t)的互相关函数具有性质：(1)(2)对于实平稳过程，互相关函数的性质联合平稳过程X(t)和Y(t)的33联合平稳过程的互谱密度[定义]设X(t)和Y(t)是两个平稳过程，且它们是联合平稳（平稳相关）的，若它们的互相关函数RXY()满足，则称

是X(t)和Y(t)的互功率谱密度，简称互谱密度。联合平稳过程的互谱密度[定义]设X(t)和Y(t34互谱密度的性质(1)(3)(4)若X(t)和

Y(t)相互正交，则(2)Re[sXY()]和Re[sYX()]是的偶函数，而Im[sXY()]和Im[sYX()]是的奇函数；互谱密度的性质(1)(3)(4)若X(t)和Y35联合平稳过程的谱密度若

X(t)和Y(t)相互正交，则设X(t)和Y(t)是两个平稳过程，且它们是平稳相关的，W(t)=X(t)+Y(t)，则联合平稳过程的谱密度若X(t)和Y(t)相互正交，36[例6]

如图所示X(t)是平稳过程，分析过程Y(t)的平稳性。[解]故Y(t)是平稳过程。X(t)Y(t)延迟T[例6]如图所示X(t)是平稳过程，分析过程Y(t)374平稳随机过程4平稳随机过程38内容提要平稳过程的概念与性质平稳过程

的各态历经性平稳过程的功率谱密度联合平稳过程内容提要平稳过程的概念与性质394.1平稳过程的概念与性质[定义]设{X(t),tT}是随机过程，若对任意常数和正整数n，t1,t2,…,tnT，t1+,t2+,…,tn+T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))与(X(t1+),X(t2+),…,X(tn+))有相同的联合分布函数，则称{X(t),tT}为严平稳过程，也称狭义平稳过程。严平稳过程4.1平稳过程的概念与性质[定义]设{X(t),t40N阶平稳过程[定义]设{X(t),tT}是随机过程，若对于正整数nN和任意常数，t1,t2,…,tnT，t1+,t2+,…,tn+T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))与(X(t1+),X(t2+),…,X(tn+))有相同的n维联合分布函数，则称{X(t),tT}具有N阶平稳性。（其实，当n=N时条件满足即可）N阶平稳过程[定义]设{X(t),tT}是随机41宽平稳过程[定义]设{X(t),tT}是随机过程，如果

(1){X(t),tT}是二阶矩过程；

(2)对任意tT，mX(t)=E{X(t)}=常数；（均值平稳）

(3)对任意s

,tT，RX

(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(ts)；（自相关平稳）

则称{X(t),tT}为广义平稳过程，简称(宽)平稳过程。宽平稳过程[定义]设{X(t),tT}是随机过程42常用平稳性之间的关系严平稳n阶平稳(n>2)二阶平稳一阶平稳均值平稳自相关平稳广义平稳高斯过程常用平稳性之间的关系严平稳n阶平稳二阶平稳一阶平稳均值平稳43例1——白噪声设{Xn

,n=0,1,2,}是实的互不相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn]=2，试讨论随机序列的平稳性。[解]因为:(1)E[Xn]=0故随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关，因此它是平稳随机序列。例1——白噪声设{Xn,n=0,1,244例2设有状态连续、时间离散的随机过程X(t)=sin(2t)，其中为（0,1）上均匀分布的随机变量，t只取整数值1,2,，试讨论随机过程X(t)的平稳性。[解]因此X(t)是平稳随机过程。例2设有状态连续、时间离散的随机过程X(t)=sin45平稳过程相关函数的性质[定理]设

{X(t),tT}是平稳过程，则其相关函数RX()

具有下列性质：(1)(2)(3)(5)若X(t)=X(t+T)，则有RX()=RX(+T)

；(4)RX()是非负定的，即(6)若X(t)是非周期过程，当时，X(t)与X(t+)相互独立，则实平稳过程的相关函数是偶函数平稳过程相关函数的性质[定理]设{X(t),tT464.2平稳过程的各态历经性对于随机过程X(t,e)，对于每一个固定的tT

，X(t,e)是一个随机变量，

E[X(t)]=mX(t)为统计平均。对于每一个固定的e

，X(t,e)是普通的时间函数，在T上对t取平均，即得时间平均。4.2平稳过程的各态历经性对于随机过程X(t,e)47大数定理（回顾）设独立同分布的随机变量序列{Xn,n=1,2,}，具有E[Xn]=m,D[Xn]=2,(n=1,2,)，则只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能状态——遍历性（或各态历经性、埃尔古德性）大数定理表明，随着时间的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。大数定理（回顾）设独立同分布的随机变量序列{Xn,n48时间均值和时间相关函数[定义]设{X

(t),<t<}为均方连续的平稳过程，则分别称

为该过程的时间均值和时间相关函数。时间均值和时间相关函数[定义]设{X(t),49各态历经性[定义]

如果均方连续的平稳过程

{X

(t),tT}的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。[定义]

设{X

(t),<t<}为均方连续的平稳过程，若

以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若

以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。各态历经性[定义]如果均方连续的平稳过程{X(t),50CX()均值各态历经的充要条件[定理]

设{X

(t),<t<}是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为当X

(t)是实均方连续平稳过程时，充要条件为CX()均值各态历经的充要条件[定理]设{X(t51相关函数各态历经的充要条件[定理]

设{X

(t),<t<}是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为当X

(t)是实均方连续平稳过程时，充要条件为相关函数各态历经的充要条件[定理]设{X(t),520t<时的各态历经性（1）[定理1]

对于均方连续平稳过程{X

(t),0

t<}，等式

以概率1成立的充要条件为若X

(t)为实平稳过程，则充要条件为0t<时的各态历经性（1）[定理1]对于均方连续平稳过530t<时的各态历经性（2）[定理2]

对于均方连续平稳过程{X

(t),0

t<}，等式

以概率1成立的充要条件为若X

(t)为实平稳过程，则充要条件为0t<时的各态历经性（2）[定理2]对于均方连续平稳过54例3设有随机相位过程X

(t)

=acos(t+)，a,为常数，为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，试问X

(t)是否为各态历经过程。故X

(t)是为各态历经过程。例3设有随机相位过程X(t)=acos(t+)55各态历经性的重要意义如果一个实平稳过程是各态历经的，则可用其任一样本函数的时间平均代替平稳过程的统计平均，即若样本函数

x

(t)只在有限区间[0,T]上给出，则有各态历经性的重要意义如果一个实平稳过程是各态历经的，则可用其564.3平稳过程的功率谱密度帕塞伐公式：普通时间函数x(t)的谱分析能谱密度功率密度截尾函数：平均功率4.3平稳过程的功率谱密度帕塞伐公式：普通时间函数x(57平稳过程的谱分析设X(t)是均方连续的随机过程，功率谱密度平稳过程的谱分析设X(t)是均方连续的随机过程，功率谱密58功率谱密度[定义]设

{X(t),<t<

}是均方连续的随机过程，称

为X(t)的平均功率。称

为X(t)的功率谱密度，简称谱密度。当X(t)是均方连续的平稳过程时，功率谱密度[定义]设{X(t),<t<59[解][例4]

设有随机过程X(t)=acos(0t+)，其中a,0

为常数，在下列情况下，求X(t)的平均功率

(1)是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量；

(2)是在(0,/2)上服从均匀分布的随机变量。(1)随机过程X(t)是平稳过程，相关函数：平均功率：(2)平均功率：X(t)是非平稳过程[解][例4]设有随机过程X(t)=acos(60功率谱密度的性质设

{X(t),<t<

}是均方连续平稳过程，RX

()为它的相关函数，其功率谱密度sX

()具有如下性质：(1)（维纳-辛钦定理）若，

则sX

()是RX

()的傅里叶变换；当X(t)为实平稳过程时，功率谱密度的性质设{X(t),<t<61谱密度的性质sX

()是的实值非负函数；实平稳过程的谱密度是偶函数；(4)当sX

()是的有理函数时，其形式必为其中a2ni,b2mj

(i=0,2,,2n,j=2,4,,2m)为常数，且a2n>0,m>n，分母无实根。谱密度的性质sX()是的实值非负函数；(4)62sX()单边功率谱单边功率谱——实平稳过程的谱密度

sX

()是偶函数，因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。GX()sX()单边功率谱单边功率谱——实平稳过程的谱密度sX63例5[解]已知平稳过程的相关函数为，其中a>0,0

为常数，求谱密度sX().例5[解]已知平稳过程的相关函数为64常见的平稳过程的相关函数及相应的谱密度参见表7.1（P150）常见的平稳过程的65窄带过程相关函数：窄带随机过程——谱密度限制在很窄的一段频率范围内。谱密度：sX()s012-2-10RX()0窄带过程相关函数：窄带随机过程——谱密度限制在很窄的一段频率66白噪声过程[定义]设

{X(t),<t<

}为实平稳过程，若它的均值为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即sX

()=N0