误差理论与数据处理第05章最小二乘法课件

第五章

线性参数的最小二乘法处理

5-1第五章

线性参数的最小二乘法处理5-1教学目标最小二乘法是一种在数据处理和误差估计等多学科领域得到广泛应用的数学工具。随着现代数学和计算机技术的发展，最小二乘法成为参数估计、数据处理、回归分析和经验公式拟合中必不可少的手段，并已形成统计推断的一种准则。通过本章的学习，用户可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在组合测量问题的数据处理中的应用。2教学目标最小二乘法是一种在数据处理和误差估计等多学科领域得教学重点和难点最小二乘法原理线性参数的最小二乘法组合测量3教学重点和难点最小二乘法原理3第一节最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。对某量进行测量，得到一组数据,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为测得值落入的概率4第一节最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测测得值同时出现的概率为最可信赖值满足

权因子最小二乘法原理

虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。5测得值同时出现的概率为最可信赖值满足权因子最第二节

正规方程及精度估计

5-6第二节

正规方程及精度估计5-6一、等精度测量线性参数最小二乘法处理

5-7一、等精度测量线性参数最小二乘法处理5-7线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为测量残差方程组

含有随机误差矩阵形式8线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为测量残差方程组含最小二乘法原理式求导正规方程组正规方程组解正规方程9最小二乘法原理式求导正规方程组正规方程组解正规方程9标准差的估计

1、直接测量结果的标准差估计

（加权）未知量个数方程个数残差2、待求量的标准差估计

直接测量量的标准差对角元素误差传播系数

3、待求量与的相关系数

元素10标准差的估计1、直接测量结果的标准差估计（加权）未知量个组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量测得值待解的数学模型待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。11组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量【例8-１】为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量，进行了等权、独立、无系统误差的测量。测得1号电容值，2号电容值，1号和3号并联电容值，2号和3号并联电容值。试用最小二乘法求及其标准偏差。【解】列出测量残差方程组

矩阵形式12【例8-１】为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量正规方程组13正规方程组13正规方程组解即14正规方程组解即14标准差的计算代入残差方程组，计算

15标准差的计算代入残差方程组，计算15

二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理

5-16二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理5-16线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为测量残差方程组

含有随机误差矩阵形式17线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为测量残差方程组含最小二乘法原理式求导正规方程组正规方程组解不等权正规方程18最小二乘法原理式求导正规方程组正规方程组解不等权正规方标准差的估计

1、直接测量结果的标准差估计

（加权）未知量个数方程个数残差2、待求量的标准差估计

直接测量量的标准差对角元素误差传播系数

3、待求量的相关系数

元素19标准差的估计1、直接测量结果的标准差估计（加权）未知量个第三节

组合测量的最小二乘法处理

5-20第三节

组合测量的最小二乘法处理5-20组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量测得值待解的数学模型待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。21组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量【例8-3】

要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求及其标准偏差。22【例8-3】要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离计算步骤【解】列出测量残差方程组

23计算步骤【解】列出测量残差方程组23解出即计算结果24解出即计算结果24代入残差方程组可得估计的标准差

估计的标准差25代入残差方程组可得估计的标准差估计的标准差25第五章

线性参数的最小二乘法处理

5-26第五章

线性参数的最小二乘法处理5-1教学目标最小二乘法是一种在数据处理和误差估计等多学科领域得到广泛应用的数学工具。随着现代数学和计算机技术的发展，最小二乘法成为参数估计、数据处理、回归分析和经验公式拟合中必不可少的手段，并已形成统计推断的一种准则。通过本章的学习，用户可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在组合测量问题的数据处理中的应用。27教学目标最小二乘法是一种在数据处理和误差估计等多学科领域得教学重点和难点最小二乘法原理线性参数的最小二乘法组合测量28教学重点和难点最小二乘法原理3第一节最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。对某量进行测量，得到一组数据,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为测得值落入的概率29第一节最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测测得值同时出现的概率为最可信赖值满足

权因子最小二乘法原理

虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。30测得值同时出现的概率为最可信赖值满足权因子最第二节

正规方程及精度估计

5-31第二节

正规方程及精度估计5-6一、等精度测量线性参数最小二乘法处理

5-32一、等精度测量线性参数最小二乘法处理5-7线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为测量残差方程组

含有随机误差矩阵形式33线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为测量残差方程组含最小二乘法原理式求导正规方程组正规方程组解正规方程34最小二乘法原理式求导正规方程组正规方程组解正规方程9标准差的估计

1、直接测量结果的标准差估计

（加权）未知量个数方程个数残差2、待求量的标准差估计

直接测量量的标准差对角元素误差传播系数

3、待求量与的相关系数

元素35标准差的估计1、直接测量结果的标准差估计（加权）未知量个组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量测得值待解的数学模型待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。36组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量【例8-１】为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量，进行了等权、独立、无系统误差的测量。测得1号电容值，2号电容值，1号和3号并联电容值，2号和3号并联电容值。试用最小二乘法求及其标准偏差。【解】列出测量残差方程组

矩阵形式37【例8-１】为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量正规方程组38正规方程组13正规方程组解即39正规方程组解即14标准差的计算代入残差方程组，计算

40标准差的计算代入残差方程组，计算15

二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理

5-41二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理5-16线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为测量残差方程组

含有随机误差矩阵形式42线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为测量残差方程组含最小二乘法原理式求导正规方程组正规方程组解不等权正规方程43最小二乘法原理式求导正规方程组正规方程组解不等权正规方标准差的估计

1、直接测量结果的标准差估计

（加权）未知量个数方程个数残差2、待求量的标准差估计

直接测量量的标准差对角元素误差传播系数

3、待求量的相关系数

元素44标准差的估计1、直接测量结果的标准差估计（加权）未知量个第三节

组合测量的最小二乘法处理

5-45第三节

组合测量的最小二乘法处理5-20组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量测得值待解的数学模型待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。46组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量【例8-3】

要求检定丝纹尺0，1，2，3