北大-行为经济学讲义-第六章-跨期课件

时间贴现和跨期(1)

董志勇博士北京大学经济学院《行为经济学》第六讲时间贴现和跨期(1)董志勇博士《行为经济学》第六讲如果要你考虑今天和明天消费一个苹果，你会偏好今天的一个苹果还是明天的呢？显然大部分人明显希望今天消费，而如果再要你考虑100天后和101天后消费一个苹果，也许答案就没有这么明显了，这其实就说明了人们在今天对明天的关心程度和100天对101天的关心程度是不一致的，也就是说时间的贴现是会变化的。如果要你考虑今天和明天消费一个苹果，你会偏好今天的一个苹果还为什么我今生要吃苦？因为来世可以进入天堂。这是大多数的信仰宗教的人的心态，舍弃今生来换取来生的幸福，实际上，这就是人们的跨期选择。无论吸烟者还是吸毒者或者沉迷于网络游戏的人，其实都有戒的愿望，他们也能理性地认识到，如果上瘾，长期的成本要比获得的收益大得多，可是实际上，理性行为并不能准确描述个体在毒品和香烟消费上的决策，人们在做事时往往都会倾向于拖延。

为什么我今生要吃苦？因为来世可以进入天堂。这是大多数的信仰宗传统贴现模型—DU模型

跨期选择指的是在不同时间段上进行成本收益的权衡.经济学界关于跨期选择及时间贴现的理论已经有了很大的发展，古典西方经济学里面被最广泛接受的是萨缪尔逊（PaulSamuelson，1937）在文章“ANoteonMeasurementofUtility”中提出来的贴现效用模型（TheDiscountedUtilityModel,本文简记为DU模型）。传统贴现模型—DU模型

萨缪尔逊希望通过其DU模型给出跨期选择的一般模型，下面我们来看DU模型具体形式是怎样的。设出决策者对于消费束的跨期偏好，在效用的完备性、传递性及连续性的假定下，跨期效用函数可以表示为进一步的，对于离散时间，萨缪尔逊假定跨期效用函数满足如下形式[1]：

在上述方程中，代表决策者在t+k期的基数即时效用，用来表示决策者的贴现函数，即对各时期的即时效用所加的权数。代表决策者的纯时间偏好率，即贴现率。

[1]更一般的，对于连续时期，跨期贴现效用函数可以表示为：为简单起见，本文只考虑离散时期的跨期贴现效用函数。萨缪尔逊希望通过其DU模型给出跨期选择的一般模型，下面我们来下面我们来看DU模型的特点。

1、贴现率时间上恒定我们知道，任何的贴现函数都可以一般都表示成这种形式：=其中代表在时期n上的贴现率，也就是说，贴现率将随着时期n的变化而发生变化。但是，在DU模型中，我们可以看到，对于所有的n，=，这意味着DU模型中包含着一个重要假定——时间贴现率在每一期均相同。下面我们来看DU模型的特点。1、贴现率时间上恒定时间贴现率恒定的假设意味着决策者的跨期偏好是时间一致（Time-consistent）的,也就是说后期的偏好将可以“证实”（Confirm）前期的偏好。更正规的，我们可以这样写成：我们说跨期偏好是时间一致的，如果决策者面临两个消费束和，且有，当且仅当时，有决策者需要做的就是估计出未来每一期的效用流，然后通过一个统一的折现率折算成现值，静态的效用最大化问题就转化为动态的效用现值最大化问题。时间贴现率恒定的假设意味着决策者的跨期偏好是时间一致（Tim2、正的时间偏好和递减的边际效用在DU模型中，即时效用函数是凹函数，也就是说，边际效用是递减的。这意味着人们将更愿意把消费分散到各个时期，而不是集中于同一个时期。同时，在DU模型中，贴现率是正的，这就说明了时间偏好是正的。与边际效用递减相反，正的时间偏好促使人们更多的在当期消费。2、正的时间偏好和递减的边际效用3、跨期决策时决策者会将新的备择计划和现有的计划结合起来考虑DU模型的一个中心假设就是人们在跨期决策时会将现有的计划与新的备择计划结合起来考虑。比如说，一个人他现有的消费计划为，他面临一个跨期决策X,我们可以将此跨期决策同放弃现有的50000美元以获得5年后的10000美元的跨期决策类似的理解。我们说决策者在跨期决策时会将新的备择计划与现有的计划结合起来考虑，也就是说，人们不会孤立的考虑跨期选择X，而会根据X对将来的各个时期的总消费的影响来作出决策。所以，在评价跨期选择X时，决策者会考虑决策后新的消费路径，只有当〉时，决策者才会接受跨期选择。

3、跨期决策时决策者会将新的备择计划和现有的计划结合起来考虑也可以这样理解，假设决策者的原始拥有为，接受跨期决策X将会增加其拥有，变为X，定义B(E)为决策者在拥有水平为E时的预算集，根据DU模型，决策者将会接受跨期选择X，如果满足：>也可以这样理解，假设决策者的原始拥有为，接受跨期决策X将会增4、各期效用独立DU模型还假定一序列结果的总效用等于各期效用的求和。也就是说，各期的效用都是相互独立的。4、各期效用独立5、各期消费独立DU模型的一个外在假定为决策者在t+k期的状况独立于他在其它期的消费状况。在跨期选择中，在一个时期决策者的效用不会受其前面或后面某期的状况的影响，比如说，决策者对意大利或者泰国旅馆的偏好不会受他昨晚是否在意大利旅馆居住或者他是否期待明天在意大利旅馆居住的影响。用萨缪尔逊的话来说，就是“昨天晚上我所喝的酒或者明天我将会喝的酒将不会对我今天关于酒和牛奶的偏好产生影响。”5、各期消费独立6、即时效用不随时间变化在DU模型中，经常假定即时基数效用不随时间而变化，也就是说，一个人在任何时期中由任何活动所产生的状况都是一样的。很多的经济学家都对这一点提出过质疑，因为很容易看到人的偏好会随时间变化而变化。在DU模型中作此假定纯粹只是为了方便而已。6、即时效用不随时间变化DU模型的“反常”（DUAnomalies）在过去的二十年中，跨期选择的经验性研究已经揭示出了DU模型的不足之处，首先，经验研究发现在不同时期中的贴现率并不是常数，而可能是递减的，这个理论经常被称作双曲线贴现理论（HyperbolicDiscounting），本文将在下面介绍。实际上，在DU模型发展之前，经济学家们就已经开始了对时间贴现和跨期选择的研究，而且，与DU模型不同的是，他们并没有简单的将贴现率规定为常数，他们承认行为学、心理学方面的因素对贴现率的影响。DU模型的“反常”（DUAnomalies）西方经济学的鼻祖——亚当·斯密（AdamSmith）曾经指出，个人的跨期选择不仅会影响到个人的健康、财富、和总的幸福，还可能对国家经济的繁荣有决定影响。苏格兰经济学家约翰·雷（JohnRae）就已经将社会学和心理学方面的因素纳入跨期决策的领域进行分析。指出斯密没有进一步指出这种分配的决定因素是什么，雷强调斯密没有考虑到的因素是“有效积累欲望(TheEffectiveDesireofAccumulation)”，这就是一个心理学方面的词汇了。雷认为跨期决策行为是促进或限制“有效积累欲望”的因素的组合产生的，最重要的两个促进有效积累欲望的因素是“遗产动机”（BequestMotive）和“自我节制倾向”（PropensitytoExerciseSelf-restraint），而限制有效积累欲望的因素主要有生命的不确定性（UncertaintyofHumanLife），以及即时消费的兴奋效用、推迟此可得到的满意所引起的不快等等。西方经济学的鼻祖——亚当·斯密（AdamSmith）曾经指另外，DU模型的不足之处还表现在：收益的折现率高于损失的折现率；小额效用流的折现率高于大额效用流；对延期的事件折现更多；在选择结果序列时，人们更偏好递增序列而非递减序列；效用和消费的独立性不成立，跨期选择时不同时期的选择相互影响等等。另外，DU模型的不足之处还表现在：双曲贴现（HyperbolicDiscounting）术语“双曲贴现”通常被用来描述人们的时间偏好的递减率，即会随着n的增大而减小，目前行为经济学界业已有很多的关于双曲贴现的实证研究。萨勒（RichardThaler，1981）发现，被实验者要求回答和15元无差异的一个月后、一年后和10年后的收入，回答结果是20元、50元和100元，这就意味着一个月期界的年折现率是345％，一年期界的是120％，10年期界的是19％

双曲贴现（HyperbolicDiscounting）反映递减的贴现率的双曲贴现函数形式要比指数函数形式更好的拟合数据。下面是Laibson等人提出的双曲贴现的函数形式它假定当前期和接下来的一期的每时期贴现率为，而将来任何的两期之间的每时期贴现率为﹤，于是，这个方程假定了当前期和第二期的递减的贴现率，以及这时期之后的不变贴现率。双曲贴现率（Loewenstein&Prelec,1992）：时期以后发生的结果的贴现要加上权数，其中〉0。反映递减的贴现率的双曲贴现函数形式要比指数函数形式更好的拟合下面是指数贴现曲线和双曲贴现曲线的的图形表示。我们将参数分别取为=4和=1。双曲贴现曲线指数贴现曲线下面是指数贴现曲线和双曲贴现曲线的的图形表示。我们将参数分别双曲线贴现模型有如下的优点：首先它简单清楚，对于分析自我控制的问题非常方便。其次，它校准起来也很简便，便于人们作经验分析和预测。Harris和Laibson在2001年曾做过双曲消费型家庭和指数消费型家庭的分析，为双曲贴现理论再次提出了坚实基础。他们在研究中发现，相比于指数消费型家庭，双曲型家庭会持有更低水平的流动性的财富，无论该流动性财富的衡量标准是劳动收入还是股票分红。双曲家庭在信用市场上更大胆的借债，但是在固定资产方面他们却更加积极的进行储蓄。由于双曲家庭持有很低水平的流动资金和很高水平的信用债务，在可预见的收入变化范围内他们无法使消费支出和收入得到平衡。更一般的，双曲模型为人类的一些“自我击败”（Self-Defeating）的行为提供了分析基础，经济学家经常假定理性的单位会为了自己的利益最大化而做出行动。实际上，双曲贴现型的单位可能会有一个理性的预期，但是他们却很少可能会做出有效的选择。双曲贴现模型的提出，对解释储蓄不足、过度消费、拖延损失等“自我击败”行为提供了很好的基础。双曲线贴现模型有如下的优点：首先它简单清楚，对于分析自我控制第二节人生得意须尽欢拖延的实证让我们先看一个发生在经济学家身上的小故事，信息经济学的鼻祖——美国经济学教授阿克洛夫（Akerlof）有个“斯蒂格利茨(Stiglitz）的箱子”的经典故事。斯蒂格利茨在一次离开印度返回美国时，由于民航限制行李数量，留下一箱衣物让阿克洛夫抽空寄回，但当时印度的邮政系统服务很差，效率低，阿克洛夫估计如果寄这个箱子要花掉至少一天的时间，于是“拖延行为”就出现了，阿克洛夫一直在思考，是今天寄呢？还是明天寄？结果日复一日，一直拖了8个月左右，箱子还没有寄过去，最后他干脆做出决定，不寄了，等年底回美国的时候顺便带过去。第二节人生得意须尽欢阿克洛夫从这个例子得出一个结论：每次决定把事情拖延到下期再做的时候，决策者是没有理性预期的。要阻止这类“病态”拖延行为的继续，必须有一个最后通牒的期限。我们可以清楚地意识到，在平时的生活中，类似于阿克洛夫的这种拖延行为是屡见不鲜的，比如说一群经济学专业的大学生，他们就可能为了即时的欢愉，而拖延需要完成的经济学作业，他们可能不愿意承受即刻完成经济学作业所带给他们的效用损失，而宁愿承受拖延后在未来某期再完成作业所带来的损失，在做出此拖延决策时，他们是预期拖延之后在未来期完成作业的效用损失要小于即刻完成作业的效用损失的，或者说，拖延作业的完成所带给当前期的效用要大于带给未来期的效用损失，不然，拖延决策是不可能建立的。阿克洛夫从这个例子得出一个结论：每次决定把事情拖延到下期再做当学生决定拖延时，他们就陷入了阿克洛夫的困境：做出非理性的决策，这种决策导致决策者总是决定把事情拖延到下期再做。这种拖延行为一般是可以持续的进行下去的，因为决策者在每一期都可能决定在拖延一期，怎样才能结束这种拖延呢？正如阿克洛夫所认识到的那样，必须有一个最后通牒的期限。在最后通牒期限的约束下，拖延行为结束了，但是我们显然可以看到，在最后一刻未完成作业而不眠不休的学生，其效用损失要大于采取不拖延决策时的效用损失，这清楚地表明拖延的决策者的非理性。当学生决定拖延时，他们就陷入了阿克洛夫的困境：做出非理性的决我们来看一个更有趣的例子：表6—1三场电影效用指数表星期一星期二星期三电影1电影2电影3效用：5单位效用：10单位效用：15单位我们来看一个更有趣的例子：星期一星期二星期三电影1电影2电影拖延行为的实证在社会生活中是到处存在的，比如说，你可能早就筹划花一天或一个小时高高兴兴和孩子们一起玩玩，却因为工作太多或有要事缠身而一拖再拖。同样，不能在晚上抽时间与家人出去吃顿饭、看场电影或观看体育节目，总以“太忙”为理由拖延。有心做些家务活，如清扫房间、修理门窗、缝缝补补等等，但却迟迟不动手，好像你要是耐心等下去，这些活儿或许就不用做了似的。还有，当上司、朋友、家人、推销员或售货员有错误或误解时，避而不说不愿去澄清事实，与别人交往时遇到的各种问题，一拖一拖，尽管当面把问题讲清楚可能会改善相互的关系，人们可能还是只会消极等待事物的自然转变。人们总喜欢把当下的事情拖延到明日，但是“明日复明日，明日何其多？我生待明日，万事成蹉跎”拖延行为的实证在社会生活中是到处存在的，比如说，你可能早就筹拖延的产生我们首先从很大众化的角度来看拖延行为的产生：首先，拖延能够维持一种自我欺骗效应，对于不愿意做的事情，人们可以通过拖延的方法来摆脱这种头疼的事情所带来的烦恼，从而能创造一种暂时的轻松和安稳感。其次，人们希望通过拖延来等待事情出现转机，甚至等待奇迹的突然出现。还有，人们只愿意考虑当下，认为将来的事情还很远，将来的事就等到将来再考虑吧。人们喜欢即刻的欢愉。人们总是会拖延那些需要立刻付出而将来才会获利的工作，例如修剪草坪；但却会立刻去做那些现在享乐，以后付出的事情，例如看电影。传统经济学家们将这种喜好假定为人们喜欢把随时间成指数变化的效用贴现。指数贴现的一个性质上的重要特征是它暗示着人的偏好与时间具有相一致的特性。但是，人的偏好真的与时间相一致吗？拖延的产生三时间偏好一致吗

因此，和将来相比，人们倾向于今天得到奖励，而这种偏好不同于当将来面对同样延误时，他们可能会有的偏好，所以偏好同时间是不一致的。这种时间变化偏好的正规模型已经逐渐发展起来了。一个简单的两个参数的模型(EdmundPhelps&RobertPollak,1968)便说明了人们即时行乐的喜好，这个模型对指数贴现进行了少许修改。三时间偏好一致吗

因此，和将来相比，人们倾向于今天得到奖

在t时间的暂时偏好为Ut，Ut表示人们在一段时间t中的即时效用：(其中和都位于0到1之间)：参数就好像在指数贴现中一样决定了一个人坚持时间一致性偏好的程度。如果=1，那么这些偏好就是简单的指数贴现。但是当＜1时，这些偏好便体现了我们所看到的时间不一致性。这些偏好是如何捕捉到人们喜爱即时行乐的偏好呢？假设你有机会选择在4月14日做一项需要10小时完成的不喜欢的工作，或是在4月15日花11小时完成同一项工作。假设你认为工作对你的一时效用在任何时间都与工作时间负相等——Ut(10)=-10,Ut(11)=-11。对推迟一天来说，假如=1而=0.8：你会宁愿选择今天获得效用，明天损失部分效用，虽然获得的效用只是失去效用的80%。

在t时间的暂时偏好为Ut，Ut表示人们在一段时间t中的即时假如今天就是4月14日，你正在考虑要不要去工作。你可以选择今天工作但获得10的负效用，也可以选择将工作拖延到明天，效用值为0.8×(-11)=-8.8。因此，你将会选择拖延。假如你不是4月14日决定何时去工作，而是被老板要求2月1日就决定，那么你又会如何选择呢？由于2月1日做决定使你无论在4月14日还是4月15日工作，通过的变化，工作所带来的效用都贴现了，因此你会选择只需工作10小时的4月14日而不是工作11小时的4月15日。在2月1日的时候，你认为拖延4月份的事情是不值得的。对同一个问题，你2月1日的决定同4月14日的决定4月14日的决定有很大的差异。不考虑具体的预测，指数贴现所得出的结论是：无论在哪一天，你的选择都是相同的。这个事例似乎well-calibrated：在4月14日，我们大多数人都倾向于把工作拖延到4月15日，即使工作量会增多。如果这两天没有实质区别，那么在2月1日可能没有人会选择拖延。假如今天就是4月14日，你正在考虑要不要去工作。你可以选择今四时间偏好不一致的实证行为经济学家的确发现了偏好时间不一致的有利证据，比如，我们来看萨勒所做的实验：表6—2实验报酬设计现在1个月后一年后10年后15元20元50元100元

被实验者要求回答和15元无差异的一个月后、一年后和10年后的收入，回答结果是20元、50元和100元，也就是说，被调查者认为10年后的100元、一年后的50元、一个月之后的20元和现在的15元是无差别的。这意味着一个月期界的年折现率是345％，一年期界的是120％，10年期界的是19％。即被实验者明显表现出时间偏好的不一致，这个结果被后来的众多经验实证研究和实验研究所证实。四时间偏好不一致的实证现在1个月后一年后10年后15元2除了偏好的时间不一致外，行为经济学还发现：收益的折现率高于损失的折现率；小额效用流的折现率高于大额效用流；对延期的事件折现更多；在选择结果序列时，人们更偏好递增序列而非递减序列；效用和消费的独立性不成立，跨期选择时不同时期的选择相互影响等等。行为经济学在对新古典跨期选择模型进行批评的基础上，发展出了自己的一系列模型，比如上面已经介绍过的Laibson的双曲贴现模型就非常著名[1]。在下面我们将看到更多的行为经济学家挑战传统理论的实证和实验。

[1]

弗里德里克等人把莱布森的效用函数表述如下：。除了偏好的时间不一致外，行为经济学还发现：收益的折现率高于损第三节跨期选择行为的实证研究除了上面所描述的人们在跨期选择中的时间偏好的不一致性外，行为经济学家们通过一系列的实验还提出了更多的与古典理论相左的观点。一对延期的事件折现更多我们的研究表明，在人们的跨期选择过程中，延期（Delay）和定期(Date)发生着不同的影响。在这里，延期是指在从当前期开始在一段时期以内的拖延，着重于时期概念。而定期指的是针对未来某一确定时点的跨期决策，着重于时点概念。跨期选择指的是针对不同时期上产生的结果的选择，通常（但并不总是）人们要面临在小而快的结果和大而迟的结果之间的权衡取舍。假设区间限制条件的相似性决定时间贴现，我们将用下面的例子解释什么是区间限制的相似性。第三节跨期选择行为的实证研究对于一个面临跨期决策的决策者来说，从第1到第2个月的时间区间和第12到13个月的时间区间是不一样的，因为，从当前期开始的第一个月到第二个月的时间区间是一个短期概念，在更近的时期内，时间贴现率更高;从当前期开始的第十二个月到第十三个月的时间区间是一个长期概念，在更远的时期内，时间贴现率更低。也就是说，在相当长的时期概念中，相邻的两个月对于决策者来说是无差别的，但是在短期概念中，决策者会比较注重这种差别.对于一个面临跨期决策的决策者来说，从第1到第2个月的时间区间第1→第2月有差别高的时间贴现第12→第13月无差别低的时间贴现

下面对我们所做的实验做一个简略的意义上的描述：实验1：选择一选择二￥1，000￥1，0009月26日（意味着定期）4个月内（意味着延期）

实验对象被给定两种选择，一种是在9月26日得到￥1，000，这里的9月26日是一个时点概念，也就是所谓的定期。另一种选择是在4个月之内得到￥1，000，这里所说的4个月以内是一个时期概念，也就是所谓的延期。实验结果表明，更多的人选择了第一种选择，即在相同的结果下（两种选择所得钱数均为￥1，000），更多的人愿意选择延期。这是因为延期将使得决策者认为有一个更高的贴现率。

第1→第2月有差别高的时间贴现第12→第13月无差别低的时间人们通常偏好于延期还有一个原因，就是因为定期的方式有一个计算成本，人们不愿意为定期的计算而费功夫，比如说，假使一个学生需要交一份作业，他会更希望听到老师要求在一个月之内交上来而不是在某一天交上来。原因很显然，如果规定在某天必须交，学生还需要计算在这天之前必须完成，以及费功夫记住这一个期限，而如果只要求在一个月之内交，学生会感觉自己在这一个月中还有很大的自由选择的余地，他可以决策在这段期限中的任何时候完成作业。

人们通常偏好于延期还有一个原因，就是因为定期的方式有一个计算实验2：在这个实验中，受调查者被要求在小而快（SS）的结果与大而迟（LL）的结果中作出选择。结果分别被描述成延期和定期的形式。假设实验进行的当天时2003年的5月地点：新加坡国立大学实验2：问题ABCD

SSLLSSLLSSLLSSLL钱数37045052074077014809001200定期9月26，20036月25，20047月25，200311月26200411月2820035月26，20068月29，200311月242004月数413218636316星期数1756978261561365问题A被调查者被以下面的形式来提问：

选择1选择2你将得到370美元450美元在时间9月26，20036月25，2004你将选择□□上面是一个在定期的描述形式下的问题形式，被调查者要求在方框中做出自己的选择。实验中还有被分作月和星期的两种延期形式的问题。被调查者被以下面的形式来提问：

选择1选择2你将得到370美下面是实验数据:在不同的描述上选择LL的人数所占百分比描述问题定期月星期A602914B631807C604332D531821均值N302828注：同一行中拥有相同上标的数据的差异在TukeyHSD检验上不显著。从实验数据可以看出，当结果被描述成定期形式时，人们会比在延期形式下更倾向于选择大而迟的结果LL。下面是实验数据:在不同的描述上选择LL的人数所占百分比我们通过上述实验得出的结论在实际中的应用：----如果你希望人们得到更低的贴现，就应该将时期描述为定期方式。----当描述成定期方式时，投资变得更有吸引力。----如果你希望人们得到更高的贴现，就应该将时期描述为延期方式。

我们通过上述实验得出的结论在实际中的应用：时间贴现和跨期(1)

董志勇博士北京大学经济学院《行为经济学》第六讲时间贴现和跨期(1)董志勇博士《行为经济学》第六讲如果要你考虑今天和明天消费一个苹果，你会偏好今天的一个苹果还是明天的呢？显然大部分人明显希望今天消费，而如果再要你考虑100天后和101天后消费一个苹果，也许答案就没有这么明显了，这其实就说明了人们在今天对明天的关心程度和100天对101天的关心程度是不一致的，也就是说时间的贴现是会变化的。如果要你考虑今天和明天消费一个苹果，你会偏好今天的一个苹果还为什么我今生要吃苦？因为来世可以进入天堂。这是大多数的信仰宗教的人的心态，舍弃今生来换取来生的幸福，实际上，这就是人们的跨期选择。无论吸烟者还是吸毒者或者沉迷于网络游戏的人，其实都有戒的愿望，他们也能理性地认识到，如果上瘾，长期的成本要比获得的收益大得多，可是实际上，理性行为并不能准确描述个体在毒品和香烟消费上的决策，人们在做事时往往都会倾向于拖延。

为什么我今生要吃苦？因为来世可以进入天堂。这是大多数的信仰宗传统贴现模型—DU模型

跨期选择指的是在不同时间段上进行成本收益的权衡.经济学界关于跨期选择及时间贴现的理论已经有了很大的发展，古典西方经济学里面被最广泛接受的是萨缪尔逊（PaulSamuelson，1937）在文章“ANoteonMeasurementofUtility”中提出来的贴现效用模型（TheDiscountedUtilityModel,本文简记为DU模型）。传统贴现模型—DU模型

萨缪尔逊希望通过其DU模型给出跨期选择的一般模型，下面我们来看DU模型具体形式是怎样的。设出决策者对于消费束的跨期偏好，在效用的完备性、传递性及连续性的假定下，跨期效用函数可以表示为进一步的，对于离散时间，萨缪尔逊假定跨期效用函数满足如下形式[1]：

在上述方程中，代表决策者在t+k期的基数即时效用，用来表示决策者的贴现函数，即对各时期的即时效用所加的权数。代表决策者的纯时间偏好率，即贴现率。

[1]更一般的，对于连续时期，跨期贴现效用函数可以表示为：为简单起见，本文只考虑离散时期的跨期贴现效用函数。萨缪尔逊希望通过其DU模型给出跨期选择的一般模型，下面我们来下面我们来看DU模型的特点。

1、贴现率时间上恒定我们知道，任何的贴现函数都可以一般都表示成这种形式：=其中代表在时期n上的贴现率，也就是说，贴现率将随着时期n的变化而发生变化。但是，在DU模型中，我们可以看到，对于所有的n，=，这意味着DU模型中包含着一个重要假定——时间贴现率在每一期均相同。下面我们来看DU模型的特点。1、贴现率时间上恒定时间贴现率恒定的假设意味着决策者的跨期偏好是时间一致（Time-consistent）的,也就是说后期的偏好将可以“证实”（Confirm）前期的偏好。更正规的，我们可以这样写成：我们说跨期偏好是时间一致的，如果决策者面临两个消费束和，且有，当且仅当时，有决策者需要做的就是估计出未来每一期的效用流，然后通过一个统一的折现率折算成现值，静态的效用最大化问题就转化为动态的效用现值最大化问题。时间贴现率恒定的假设意味着决策者的跨期偏好是时间一致（Tim2、正的时间偏好和递减的边际效用在DU模型中，即时效用函数是凹函数，也就是说，边际效用是递减的。这意味着人们将更愿意把消费分散到各个时期，而不是集中于同一个时期。同时，在DU模型中，贴现率是正的，这就说明了时间偏好是正的。与边际效用递减相反，正的时间偏好促使人们更多的在当期消费。2、正的时间偏好和递减的边际效用3、跨期决策时决策者会将新的备择计划和现有的计划结合起来考虑DU模型的一个中心假设就是人们在跨期决策时会将现有的计划与新的备择计划结合起来考虑。比如说，一个人他现有的消费计划为，他面临一个跨期决策X,我们可以将此跨期决策同放弃现有的50000美元以获得5年后的10000美元的跨期决策类似的理解。我们说决策者在跨期决策时会将新的备择计划与现有的计划结合起来考虑，也就是说，人们不会孤立的考虑跨期选择X，而会根据X对将来的各个时期的总消费的影响来作出决策。所以，在评价跨期选择X时，决策者会考虑决策后新的消费路径，只有当〉时，决策者才会接受跨期选择。

3、跨期决策时决策者会将新的备择计划和现有的计划结合起来考虑也可以这样理解，假设决策者的原始拥有为，接受跨期决策X将会增加其拥有，变为X，定义B(E)为决策者在拥有水平为E时的预算集，根据DU模型，决策者将会接受跨期选择X，如果满足：>也可以这样理解，假设决策者的原始拥有为，接受跨期决策X将会增4、各期效用独立DU模型还假定一序列结果的总效用等于各期效用的求和。也就是说，各期的效用都是相互独立的。4、各期效用独立5、各期消费独立DU模型的一个外在假定为决策者在t+k期的状况独立于他在其它期的消费状况。在跨期选择中，在一个时期决策者的效用不会受其前面或后面某期的状况的影响，比如说，决策者对意大利或者泰国旅馆的偏好不会受他昨晚是否在意大利旅馆居住或者他是否期待明天在意大利旅馆居住的影响。用萨缪尔逊的话来说，就是“昨天晚上我所喝的酒或者明天我将会喝的酒将不会对我今天关于酒和牛奶的偏好产生影响。”5、各期消费独立6、即时效用不随时间变化在DU模型中，经常假定即时基数效用不随时间而变化，也就是说，一个人在任何时期中由任何活动所产生的状况都是一样的。很多的经济学家都对这一点提出过质疑，因为很容易看到人的偏好会随时间变化而变化。在DU模型中作此假定纯粹只是为了方便而已。6、即时效用不随时间变化DU模型的“反常”（DUAnomalies）在过去的二十年中，跨期选择的经验性研究已经揭示出了DU模型的不足之处，首先，经验研究发现在不同时期中的贴现率并不是常数，而可能是递减的，这个理论经常被称作双曲线贴现理论（HyperbolicDiscounting），本文将在下面介绍。实际上，在DU模型发展之前，经济学家们就已经开始了对时间贴现和跨期选择的研究，而且，与DU模型不同的是，他们并没有简单的将贴现率规定为常数，他们承认行为学、心理学方面的因素对贴现率的影响。DU模型的“反常”（DUAnomalies）西方经济学的鼻祖——亚当·斯密（AdamSmith）曾经指出，个人的跨期选择不仅会影响到个人的健康、财富、和总的幸福，还可能对国家经济的繁荣有决定影响。苏格兰经济学家约翰·雷（JohnRae）就已经将社会学和心理学方面的因素纳入跨期决策的领域进行分析。指出斯密没有进一步指出这种分配的决定因素是什么，雷强调斯密没有考虑到的因素是“有效积累欲望(TheEffectiveDesireofAccumulation)”，这就是一个心理学方面的词汇了。雷认为跨期决策行为是促进或限制“有效积累欲望”的因素的组合产生的，最重要的两个促进有效积累欲望的因素是“遗产动机”（BequestMotive）和“自我节制倾向”（PropensitytoExerciseSelf-restraint），而限制有效积累欲望的因素主要有生命的不确定性（UncertaintyofHumanLife），以及即时消费的兴奋效用、推迟此可得到的满意所引起的不快等等。西方经济学的鼻祖——亚当·斯密（AdamSmith）曾经指另外，DU模型的不足之处还表现在：收益的折现率高于损失的折现率；小额效用流的折现率高于大额效用流；对延期的事件折现更多；在选择结果序列时，人们更偏好递增序列而非递减序列；效用和消费的独立性不成立，跨期选择时不同时期的选择相互影响等等。另外，DU模型的不足之处还表现在：双曲贴现（HyperbolicDiscounting）术语“双曲贴现”通常被用来描述人们的时间偏好的递减率，即会随着n的增大而减小，目前行为经济学界业已有很多的关于双曲贴现的实证研究。萨勒（RichardThaler，1981）发现，被实验者要求回答和15元无差异的一个月后、一年后和10年后的收入，回答结果是20元、50元和100元，这就意味着一个月期界的年折现率是345％，一年期界的是120％，10年期界的是19％

双曲贴现（HyperbolicDiscounting）反映递减的贴现率的双曲贴现函数形式要比指数函数形式更好的拟合数据。下面是Laibson等人提出的双曲贴现的函数形式它假定当前期和接下来的一期的每时期贴现率为，而将来任何的两期之间的每时期贴现率为﹤，于是，这个方程假定了当前期和第二期的递减的贴现率，以及这时期之后的不变贴现率。双曲贴现率（Loewenstein&Prelec,1992）：时期以后发生的结果的贴现要加上权数，其中〉0。反映递减的贴现率的双曲贴现函数形式要比指数函数形式更好的拟合下面是指数贴现曲线和双曲贴现曲线的的图形表示。我们将参数分别取为=4和=1。双曲贴现曲线指数贴现曲线下面是指数贴现曲线和双曲贴现曲线的的图形表示。我们将参数分别双曲线贴现模型有如下的优点：首先它简单清楚，对于分析自我控制的问题非常方便。其次，它校准起来也很简便，便于人们作经验分析和预测。Harris和Laibson在2001年曾做过双曲消费型家庭和指数消费型家庭的分析，为双曲贴现理论再次提出了坚实基础。他们在研究中发现，相比于指数消费型家庭，双曲型家庭会持有更低水平的流动性的财富，无论该流动性财富的衡量标准是劳动收入还是股票分红。双曲家庭在信用市场上更大胆的借债，但是在固定资产方面他们却更加积极的进行储蓄。由于双曲家庭持有很低水平的流动资金和很高水平的信用债务，在可预见的收入变化范围内他们无法使消费支出和收入得到平衡。更一般的，双曲模型为人类的一些“自我击败”（Self-Defeating）的行为提供了分析基础，经济学家经常假定理性的单位会为了自己的利益最大化而做出行动。实际上，双曲贴现型的单位可能会有一个理性的预期，但是他们却很少可能会做出有效的选择。双曲贴现模型的提出，对解释储蓄不足、过度消费、拖延损失等“自我击败”行为提供了很好的基础。双曲线贴现模型有如下的优点：首先它简单清楚，对于分析自我控制第二节人生得意须尽欢拖延的实证让我们先看一个发生在经济学家身上的小故事，信息经济学的鼻祖——美国经济学教授阿克洛夫（Akerlof）有个“斯蒂格利茨(Stiglitz）的箱子”的经典故事。斯蒂格利茨在一次离开印度返回美国时，由于民航限制行李数量，留下一箱衣物让阿克洛夫抽空寄回，但当时印度的邮政系统服务很差，效率低，阿克洛夫估计如果寄这个箱子要花掉至少一天的时间，于是“拖延行为”就出现了，阿克洛夫一直在思考，是今天寄呢？还是明天寄？结果日复一日，一直拖了8个月左右，箱子还没有寄过去，最后他干脆做出决定，不寄了，等年底回美国的时候顺便带过去。第二节人生得意须尽欢阿克洛夫从这个例子得出一个结论：每次决定把事情拖延到下期再做的时候，决策者是没有理性预期的。要阻止这类“病态”拖延行为的继续，必须有一个最后通牒的期限。我们可以清楚地意识到，在平时的生活中，类似于阿克洛夫的这种拖延行为是屡见不鲜的，比如说一群经济学专业的大学生，他们就可能为了即时的欢愉，而拖延需要完成的经济学作业，他们可能不愿意承受即刻完成经济学作业所带给他们的效用损失，而宁愿承受拖延后在未来某期再完成作业所带来的损失，在做出此拖延决策时，他们是预期拖延之后在未来期完成作业的效用损失要小于即刻完成作业的效用损失的，或者说，拖延作业的完成所带给当前期的效用要大于带给未来期的效用损失，不然，拖延决策是不可能建立的。阿克洛夫从这个例子得出一个结论：每次决定把事情拖延到下期再做当学生决定拖延时，他们就陷入了阿克洛夫的困境：做出非理性的决策，这种决策导致决策者总是决定把事情拖延到下期再做。这种拖延行为一般是可以持续的进行下去的，因为决策者在每一期都可能决定在拖延一期，怎样才能结束这种拖延呢？正如阿克洛夫所认识到的那样，必须有一个最后通牒的期限。在最后通牒期限的约束下，拖延行为结束了，但是我们显然可以看到，在最后一刻未完成作业而不眠不休的学生，其效用损失要大于采取不拖延决策时的效用损失，这清楚地表明拖延的决策者的非理性。当学生决定拖延时，他们就陷入了阿克洛夫的困境：做出非理性的决我们来看一个更有趣的例子：表6—1三场电影效用指数表星期一星期二星期三电影1电影2电影3效用：5单位效用：10单位效用：15单位我们来看一个更有趣的例子：星期一星期二星期三电影1电影2电影拖延行为的实证在社会生活中是到处存在的，比如说，你可能早就筹划花一天或一个小时高高兴兴和孩子们一起玩玩，却因为工作太多或有要事缠身而一拖再拖。同样，不能在晚上抽时间与家人出去吃顿饭、看场电影或观看体育节目，总以“太忙”为理由拖延。有心做些家务活，如清扫房间、修理门窗、缝缝补补等等，但却迟迟不动手，好像你要是耐心等下去，这些活儿或许就不用做了似的。还有，当上司、朋友、家人、推销员或售货员有错误或误解时，避而不说不愿去澄清事实，与别人交往时遇到的各种问题，一拖一拖，尽管当面把问题讲清楚可能会改善相互的关系，人们可能还是只会消极等待事物的自然转变。人们总喜欢把当下的事情拖延到明日，但是“明日复明日，明日何其多？我生待明日，万事成蹉跎”拖延行为的实证在社会生活中是到处存在的，比如说，你可能早就筹拖延的产生我们首先从很大众化的角度来看拖延行为的产生：首先，拖延能够维持一种自我欺骗效应，对于不愿意做的事情，人们可以通过拖延的方法来摆脱这种头疼的事情所带来的烦恼，从而能创造一种暂时的轻松和安稳感。其次，人们希望通过拖延来等待事情出现转机，甚至等待奇迹的突然出现。还有，人们只愿意考虑当下，认为将来的事情还很远，将来的事就等到将来再考虑吧。人们喜欢即刻的欢愉。人们总是会拖延那些需要立刻付出而将来才会获利的工作，例如修剪草坪；但却会立刻去做那些现在享乐，以后付出的事情，例如看电影。传统经济学家们将这种喜好假定为人们喜欢把随时间成指数变化的效用贴现。指数贴现的一个性质上的重要特征是它暗示着人的偏好与时间具有相一致的特性。但是，人的偏好真的与时间相一致吗？拖延的产生三时间偏好一致吗

因此，和将来相比，人们倾向于今天得到奖励，而这种偏好不同于当将来面对同样延误时，他们可能会有的偏好，所以偏好同时间是不一致的。这种时间变化偏好的正规模型已经逐渐发展起来了。一个简单的两个参数的模型(EdmundPhelps&RobertPollak,1968)便说明了人们即时行乐的喜好，这个模型对指数贴现进行了少许修改。三时间偏好一致吗

因此，和将来相比，人们倾向于今天得到奖

在t时间的暂时偏好为Ut，Ut表示人们在一段时间t中的即时效用：(其中和都位于0到1之间)：参数就好像在指数贴现中一样决定了一个人坚持时间一致性偏好的程度。如果=1，那么这些偏好就是简单的指数贴现。但是当＜1时，这些偏好便体现了我们所看到的时间不一致性。这些偏好是如何捕捉到人们喜爱即时行乐的偏好呢？假设你有机会选择在4月14日做一项需要10小时完成的不喜欢的工作，或是在4月15日花11小时完成同一项工作。假设你认为工作对你的一时效用在任何时间都与工作时间负相等——Ut(10)=-10,Ut(11)=-11。对推迟一天来说，假如=1而=0.8：你会宁愿选择今天获得效用，明天损失部分效用，虽然获得的效用只是失去效用的80%。

在t时间的暂时偏好为Ut，Ut表示人们在一段时间t中的即时假如今天就是4月14日，你正在考虑要不要去工作。你可以选择今天工作但获得10的负效用，也可以选择将工作拖延到明天，效用值为0.8×(-11)=-8.8。因此，你将会选择拖延。假如你不是4月14日决定何时去工作，而是被老板要求2月1日就决定，那么你又会如何选择呢？由于2月1日做决定使你无论在4月14日还是4月15日工作，通过的变化，工作所带来的效用都贴现了，因此你会选择只需工作10小时的4月14日而不是工作11小时的4月15日。在2月1日的时候，你认为拖延4月份的事情是不值得的。对同一个问题，你2月1日的决定同4月14日的决定4月14日的决定有很大的差异。不考虑具体的预测，指数贴现所得出的结论是：无论在哪一天，你的选择都是相同的。这个事例似乎well-calibrated：在4月14日，我们大多数人都倾向于把工作拖延到4月15日，即使工作量会增多。如果这两天没有实质区别，那么在2月1日可能没有人会选择拖延。假如今天就是4月14日，你正在考虑要不要去工作。你可以选择今四时间偏好不一致的实证行为经济学家的确发现了偏好时间不一致的有利证据，比如，我们来看萨勒所做的实验：表6—2实验报酬设计现在1个月后一年后10年后15元20元50元100元

被实验者要求回答和15元无差异的一个月后、一年后和10年后的收入，回答结果是20元、50元和100元，也就是说，被调查者认为10年后的100元、一年后的50元、一个月之后的20元和现在的15元是无差别的。这意味着一个月期界的年折现率是345％，一年期界的是120％，10年期界的是19％。即被实验者明显表现出时间偏好的不一致，这个结果被后来的众多经验实证研究和实验研究所证实。四时间偏好不一致的实证现在1个月后一年后10年后15元2除了偏好的时间不一致外，行为经济学还发现：收益的折现率高于损失的折现率；小额效用流的折现率高于大额效用流；对延期的事件折现更多；在选择结果序列时，人们更偏好递增序列而非递减序列；效用和消费的独立性不成立，跨期选择时不同时期的选择相互影响等等。行为经济学在对新古典跨期选择模型进行批评的基础上，发展出了自己的一系列模型，比如上面已经介绍过的Laibson的双曲贴现模型就非常著名[1]。在下面我们将看到更多的行为经济学家挑战传统理论的实证和实验。

[1]

弗里德里克等人把莱布森的效用函数表述如下：。除了偏好的时间不一致外，行为经济学还发现：收益的折现率高于损第三节跨期选择行为的实证研究除了上面所描述的人们在跨期选择中的时间偏好的不一致性外，行为经济学家们通过一系列的实验还提出了更多的与古典理论相左的观点。一对延期的事件折现更多我们的研究表明，在人们的跨期选择过程中，延期（Delay）和定期(Date)发生着不同的影响。在这里，延期是指在从当前期开始在一段时期以内的拖延，着重于时期概念。而定期指的是针对未来某一确定时点的跨期决策，着重于时点概念。跨期选择指的是针对不同时期上产生的结果的选择，通常（但并不总是）人们要面临在小而快的结果和大而迟的结果之间的权衡取舍。假设区间限制条件的相似性决定时间贴现，我们将用下面的例子解释什么是区间限制的相似性。第三节跨期选择行为的实证研究对于一个面临跨期决策的决策者来说，