数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件1

广义多项式§6函数逼近/*ApproximationofFunction*/一、函数逼近问题的提法假设是定义在某区间上的函数，现寻求另一个构造简单、计算量小的函数来近似地代替：为区间上的一个线性无关函数系为一组实常数。就是我们前面讨论的多项式逼近若线性无关函数系取广义多项式§6函数逼近/*Approximation1常用的函数系：幂函数系：三角函数系：指数函数系：函数逼近构造思想：要求构造函数在整个区间上与已知函数的误差尽可能小常用的函数系：幂函数系：三角函数系：指数函数系2误差度量标准：其中为权函数（2）（1）对于给定的函数系，寻求一组系数使得函数满足（1）（2）一致逼近逼近误差度量标准：其中为权函数（2）（1）对3二、最佳平方逼近/*BestApproximationinQuadraticNorm*/假设，是[a,b]上的一个线性无关函数系,且,为[a,b]上的一个权函数如果存在一组系数使得广义多项式满足称函数为在[a,b]上关于权函数的最佳平方逼近或最小二乘逼近；特别，若，则称是在[a,b]上的最佳平方逼近.二、最佳平方逼近/*BestApproximationi4由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题记由极值的必要条件即：由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题记由极5记将代入前式：记将代入前式：6令称矩阵是关于函数系的Gram(格拉姆)矩阵易证Gram矩阵为实对称正定矩阵：上述方程组存在唯一解令称矩阵是关于函数系的Gram(格7设由上述方程组的解确定的广义多项式为：对于任意广义多项式下面证明即设由上述方程组的解确定的广义多项式为：对于任意广义多项式下面8记记9

设给定函数 ，则其最佳平方逼近唯一存在，且可以由前述Gram组成的方程组求解构造。注：前述Gram组成的方程组通常称为法方程组最佳平方逼近可以通过求解法方程组而得到Gram矩阵是实对称正定矩阵设给定函数 ，则其最佳平方逼10例1：求函数在上的最佳平方逼近：解：本题的函数系和权函数为：首先计算Gram矩阵：例1：求函数11求解下列法方程组：所求最佳平方逼近为：求解下列法方程组：所求最佳平方逼近为：12数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件113注：例1中的法方程组推广到一般情况即函数系和权函数取为：法方程组的系数矩阵为：n+1阶的Hilbert矩阵病态矩阵注：例1中的法方程组推广到一般情况即函数系和权函数取为：法方14函数系的选择方法如果（正交函数系）/*OrthogonalSystemofFunction*/则称为区间上关于权函数的正交（直交）函数系。特别，若称之为标准（规范）正交函数系/*OrthonormalSystemofFunction*/函数系的选择方法如果（正交函数系）/*Orthogonal15如果取正交函数系：则法方程组的系数矩阵变为对角矩阵。所以方程组的解为：如果取正交函数系：则法方程组的系数矩阵变为对角矩阵。所以方程16常用的几种正交函数系1、三角（Trigonometric）函数系：（或）正交性质常用的几种正交函数系1、三角（Trigonometric172、勒让德（Legendre）多项式系：性质1（递推公式）2、勒让德（Legendre）多项式系：性质1（递推公式）18性质2（正交性质）性质3（最佳逼近性质）或者说明:在区间[-1,1]上，n次首1的Legendre多项式是零函数的最佳平方逼近多项式性质2（正交性质）性质3（最佳逼近性质）或者说明:在区间[-193、切比雪夫（Chebyshev）多项式系：性质1（递推公式）例如：3、切比雪夫（Chebyshev）多项式系：性质1（递推公式20性质3（正交性质）性质2（零点与最值点）在（-1,1）内的n个零点和n+1个最值点为：性质3（正交性质）性质2（零点与最值点）在（-1,1）内的n21性质4（最佳逼近性质）在区间[-1,1]上，n次首1的Chebyshev多项式是零函数的最佳一致逼近证明：反证法如果存在满足：则函数在点集上的函数值符号交错出现!多项式至少有n个零点矛盾！性质4（最佳逼近性质）在区间[-1,1]上，n次首1的Ch22有限区间的转化问题有限区间经过下列变换可变为区间从而可以利用勒让德（Legendre）多项式系或切比雪夫（Chebyshev）多项式系来构造最佳平方逼近。有限区间的转化问题有限区间经过下列变换23三、正交多项式应用举例例2：利用Legendre多项式系，求函数在上的三次最佳平方逼近多项式。解：三、正交多项式应用举例例2：利用Legendre多项式系，求24数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件125数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件126数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件127关于切比雪夫（Chebyshev）多项式系的应用：设Chebyshev级数（）关于切比雪夫（Chebyshev）多项式系的应用：设Che28例3：利用Chebyshev多项式系，求函数在上的五次最佳平方逼近多项式。解：例3：利用Chebyshev多项式系，求函数29所求的五次最佳平方逼近多项式为化为一般多项式的形式：所求的五次最佳平方逼近多项式为化为一般多项式的形式：30数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件131例4：解：例4：解：32数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件133例5：解：例5：解：34方法2：作变量代换方法2：作变量代换35广义多项式§6函数逼近/*ApproximationofFunction*/一、函数逼近问题的提法假设是定义在某区间上的函数，现寻求另一个构造简单、计算量小的函数来近似地代替：为区间上的一个线性无关函数系为一组实常数。就是我们前面讨论的多项式逼近若线性无关函数系取广义多项式§6函数逼近/*Approximation36常用的函数系：幂函数系：三角函数系：指数函数系：函数逼近构造思想：要求构造函数在整个区间上与已知函数的误差尽可能小常用的函数系：幂函数系：三角函数系：指数函数系37误差度量标准：其中为权函数（2）（1）对于给定的函数系，寻求一组系数使得函数满足（1）（2）一致逼近逼近误差度量标准：其中为权函数（2）（1）对38二、最佳平方逼近/*BestApproximationinQuadraticNorm*/假设，是[a,b]上的一个线性无关函数系,且,为[a,b]上的一个权函数如果存在一组系数使得广义多项式满足称函数为在[a,b]上关于权函数的最佳平方逼近或最小二乘逼近；特别，若，则称是在[a,b]上的最佳平方逼近.二、最佳平方逼近/*BestApproximationi39由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题记由极值的必要条件即：由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题记由极40记将代入前式：记将代入前式：41令称矩阵是关于函数系的Gram(格拉姆)矩阵易证Gram矩阵为实对称正定矩阵：上述方程组存在唯一解令称矩阵是关于函数系的Gram(格42设由上述方程组的解确定的广义多项式为：对于任意广义多项式下面证明即设由上述方程组的解确定的广义多项式为：对于任意广义多项式下面43记记44

设给定函数 ，则其最佳平方逼近唯一存在，且可以由前述Gram组成的方程组求解构造。注：前述Gram组成的方程组通常称为法方程组最佳平方逼近可以通过求解法方程组而得到Gram矩阵是实对称正定矩阵设给定函数 ，则其最佳平方逼45例1：求函数在上的最佳平方逼近：解：本题的函数系和权函数为：首先计算Gram矩阵：例1：求函数46求解下列法方程组：所求最佳平方逼近为：求解下列法方程组：所求最佳平方逼近为：47数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件148注：例1中的法方程组推广到一般情况即函数系和权函数取为：法方程组的系数矩阵为：n+1阶的Hilbert矩阵病态矩阵注：例1中的法方程组推广到一般情况即函数系和权函数取为：法方49函数系的选择方法如果（正交函数系）/*OrthogonalSystemofFunction*/则称为区间上关于权函数的正交（直交）函数系。特别，若称之为标准（规范）正交函数系/*OrthonormalSystemofFunction*/函数系的选择方法如果（正交函数系）/*Orthogonal50如果取正交函数系：则法方程组的系数矩阵变为对角矩阵。所以方程组的解为：如果取正交函数系：则法方程组的系数矩阵变为对角矩阵。所以方程51常用的几种正交函数系1、三角（Trigonometric）函数系：（或）正交性质常用的几种正交函数系1、三角（Trigonometric522、勒让德（Legendre）多项式系：性质1（递推公式）2、勒让德（Legendre）多项式系：性质1（递推公式）53性质2（正交性质）性质3（最佳逼近性质）或者说明:在区间[-1,1]上，n次首1的Legendre多项式是零函数的最佳平方逼近多项式性质2（正交性质）性质3（最佳逼近性质）或者说明:在区间[-543、切比雪夫（Chebyshev）多项式系：性质1（递推公式）例如：3、切比雪夫（Chebyshev）多项式系：性质1（递推公式55性质3（正交性质）性质2（零点与最值点）在（-1,1）内的n个零点和n+1个最值点为：性质3（正交性质）性质2（零点与最值点）在（-1,1）内的n56性质4（最佳逼近性质）在区间[-1,1]上，n次首1的Chebyshev多项式是零函数的最佳一致逼近证明：反证法如果存在满足：则函数在点集上的函数值符号交错出现!多项式至少有n个零点矛盾！性质4（最佳逼近性质）在区间[-1,1]上，n次首1的Ch57有限区间的转化问题有限区间经过下列变换可变为区间从而可以利用勒让德（Legendre）多项式系或切比雪夫（Chebyshev）多项式系来构造最