高等代数-高代课件

§6

对称矩阵的标准形§7向量到子空间的距离─最小二乘法§8酉空间介绍小结与习题第九章欧氏空间§1

定义与基本性质§2

标准正交基§3

同构§4

正交变换§5

子空间§9.6

对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题一、实对称矩阵的一些性质

x

n

引理1

设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．证：设0

是A的任意一个特征值，则有非零向量

x1

x2

满足A

0

.i其中xi

为x

的共轭复数，nx

x1

x2

,

令0又由A实对称，有

A

A,

A

A,0

(

)

A

A

(

)

(

A

)

(

A)0

(

A

)

(

A

)

(

A

)0

(

)

0

12n

x1

x

x2

x

xn

x

0由于

是非零复向量，必有故0

0

.

0

R.等式，0

0

引理2设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间Rn

上定义一个线性变换

如下：有

(

)

A

,

Rn则对任意

,

Rn

,

(

),

,

(

),或

(

A

)

(

A

).1

2

n

0

0

,

1

,

...,

0

0

0

1

证：取Rn的一组标准正交基，

1

0

任取则

在基

1

,

2

,...,

n

下的矩阵为A，即

(1

,

2

,...,

n

)

(1

,

2

,...,

n

)

A

x1

y1

x2

,

y2

Rn

,

x

y

n

n

X

(

AY

)即

x11

x2

2

...

xn

n

(1

,

2

,...,

n

)X

,

y11

y2

2

...

yn

n

(1

,

2

,...,

n

)Y

,于是

(

)

(1

,

2

,...,

n

)

X

(1

,

2

,...,

n

)

AX

,

(

)

(1

,

2

,...,

n

)Y

(1

,

2

,...,

n

)

AY

,又1

,

2

,...,

n是标准正交基，

X

AY

(

),

(

AX

)Y

(

X

A)Y

,

(

)即有

(

A

)

,

(

)

(

),

,

(

)

(

A

).

Y

,又注意到在Rn

中

X

,

,

V

,

(

),

,

(

),则称

为对称变换．二、对称变换1．定义设

为欧氏空间V中的线性变换，如果满足2．基本性质1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：①实对称矩阵可确定一个对称变换．事实上，设A

Rnn

,A

A,1

,

2

,...,

n

为V的一组标准正交基．

定义V的线性变换

：

(1

,...

n

)

(1

,...

n

)

A则

即为V的对称变换．②对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．事实上，设

为n维欧氏空间V上的对称变换，1

,

2

, ,

n

为V的一组标准正交基，

A

(aij为 在这组基下的矩阵，即

(1

,

2

,

,

n

)

(1

,

2

,

,

n

)

A或n

ani

ni

1,

2, ,

n

(

i

)

a1i1

a2i

2

aki

k

,k

1于是

na

,

(

),

i

j

ki

k j

k

1n

aki

(

k

,

j)k

1j

a

ji

(

ni

ji

,

a

a

ji

,

(

)

kj k

k

1nkj

i

ka

(

,

)k

1i

aij

(

aijij

ji

,i,

j

1,

2,

n,所以A为对称矩阵．由即是对称变换，有

(

i

),

j

i

,

(

j

)2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间．对

W

,任取

W

,证明：设

是对称变换，W为要证

(

)W

,的不变子空间．即证

(

)

W

.由W是子空间，有

(

)W

,

(

),

因此即

(

)

W

,

(

)

W

.故W

也为

的不变子空间．

,

分别是属于

,

的特征向量．则三、实对称矩阵的正交相似对角化正交基下的矩阵，1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的．证：设实对称矩阵A为Rn上对称变换

的在标准

,

是A的两个不同特征值，由

(

)

A

,

(

)

A

,

(

),

,

(

)有(

,

)

(

,

),

(

,

)

(

,

).即又

,

(

,

)

0即

,

正交．２．(定理7)对A

Rnn

,A

A,总有正交矩阵T，使TAT

T

1

AT

diag(

,

,

,

).1

2

n证：设A为Rn上对称变换

在标准正交基下的矩阵．由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证

有n个特征向量作成的标准正交基即可．对Rn

的维数n用归纳法．n=1时，结论是显然的．假设n－1时结论成立，对

Rn

,设其上的对称变换有一单位特征向量1

，其相应的特征值为1

，即

(1

)

11

, |

1

|

1设子空间L(1

)

W

,显然W是子空间，则W

也是

子空间，且有W

W

Rn

, dimW

n

1又对

,

W

,

(

),

(

),

,

(

)

,

(

)W

W所以

是

W

上的对称变换．W由归纳假设知

有n－1

个特征向量

,

,W

2

3,n构成W

的一组标准正交基．从而1

,2

,3

,,n

就是

R

的一组标准正交基，n又都是Rn

的特征向量．即结论成立．3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设A

Rnn

,

A

A(i)求出A的所有不同的特征值：1

,2

,,r

R,其重数n1

,n2

,ri

1,

nr必满足ni

n

;(ii)

对每个i

，解齐次线性方程组(i

E

A)X

0求出它的一个基础解系：i1

,i

2

,,in它是A的属于特征值i

的特征子空间

V

的一组基．i把它们按S正交基i1

,i

2

,idt

正交化过程化成V

的一组标准i,in

.(iii)因为1

,2

,...r且rdimWi1,r1

,r

2

,

,rnri1

11

,12

, ,1n

,就是V的一组标准正交基．

V

(i

j)j互不相同，所以Vi

n

,1

r,rn将

11

,12

, ,1n

, ,r1

,r

2

,的分量依次作矩阵T的第1，2，…，n列，则T是正交矩阵，且使T

AT

T

1

AT

为对角形．例1．设A

1

0

1

1

10

1

1

1

1

0

1

1

1

10

求一正交矩阵T使TAT

成对角形．解：先求A的特征值．|

E

A

|

1

1

1

1

11

1

11

1

1

1

1 1

2

10

10

1

1

(

1)3

(

3)A的特征值为1

1（三重）,2

3.01

0

10

0

1

1

1

1

1

1

(

1)3

1

0

10

1

1其次求属于1

1

的特征向量，即求解方程组(

E

AE

A

1得其基础解1

(1,1,0,0)2

(1,0,1,0)3

(1,0,0,1)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

11

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

把它正交化，得1

1

(1,1,0,0

2

2

3再单位化，得1112

2|

|

(

1

,

1

,0,0)222116

6

6|

|

(

1

,

1

,

2

,0)33311

1

1

312

12

12

12|

|1这是特征值

1

1

(三重)的三个单位正交特征向量，也即是特征子空间V

的一组标准正交基．

(

,

,

,

)再求属于2

3

的特征向量，即解方程组A1

01

0

0

2

2

0

0

2

0

23E

4

1

10

1

0

0

0

1

0

0

0得其基础解4

(1,

1,

1,1再单位化得42

2

(

1

,

1

,

这样1

,2

,3

,4

构成R4

的一组标准正交基，它们都是A的特征向量，正交矩阵T

(1

,使得11

.

1T

AT

3

注：①

对于实对称矩阵A，使

TAT

diag(1

,2

,

,n

)成立的正交矩阵不是唯一的．而且对于正交矩阵T,还可进一步要求T

1.事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵TT

AT

diag(1

,2

,

,n

),

T

1取正交矩阵S

diag(1,1,

,1),则T1

T是S正交矩阵且T1

T

S

1,同时有T

'

AT

(TS

)

A(TS

)

S(TAT

)S1

112

1

1

1

1

1

1

n

diag(1

,2

,

,n

)②如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的．③因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：设1

2

n

为实对称矩阵A的所有特征值(i)A为正定的

n0A为半正定的

n

0A为负定（半负定）的

1

0(1

0)(iv)A为不定的

10

且n

0④实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数（重根按重数计）．n－秩(A)是0为A的特征值的重数.四、实二次型的主轴问题解析几何中主轴问题将R2上有心二次曲线或R3上有心二次曲面通过坐标的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.任意n

二次型的正交线性替换化标准形1）正交线性替换如果线性替换

X=CY的矩阵C是正交矩阵，则称之为正交线性替换.f

(

x1

,

x2

,i

1

j1ij

ji

,i,j,

xn

)

ij

xi

x

j

,2）任一n二次型n

n都可以通过正交的线性替换

X

CY

变成平方和

y

2

y

2

...

y

n1

1

2

2

n

n其中平方项的系数

1

,2

,

,n

为A的全部特征值．例2、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是23a

x2

a

y2

a

z2

2a xy

2a xz

2a

yz11

22

33

12

132b1

x

2b2

y

2b3

z

d

0（1）（2）则（1）式可以写成X

'

AX

2B'

X

d

0.令

x

,aA

aaX

y