轴对称综合复习资料

轴对称教学目标（1）会找出简单对称图形的对称轴。（2）了解轴对称和轴对称图形的联系与区并了解角的平分线、线段垂直平分线的有关性质（3）理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。教学重难点（1）轴对称的性质及轴对称图形的应用（2）角、线段是轴对称图形（3）角的平分线、线段垂直平分线的有关性质基础知识；（4）轴对称综合运用三：教学知识点1.轴对称图形和轴对称的概念如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形．这条直线叫做这个图形的对称轴．把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称．这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点．轴对称图形是对一个图形而言，而轴对称是两个图形之间的关系．如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它又可看成是一个轴对称图形．关于某条直线对称的两个图形的对应线段相等，对应角相等．如果一个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴．2.线段的垂直平分线线段是轴对称图形，它有两条对称轴，线段的垂直平分线是它的一条对称轴，线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．3.复杂的轴对称图形的对称轴的画法首先找出轴对称图形的任一组对称点，连结对称点；其次画对称点所连线段的垂直平分线，就得到该图形的对称轴．4.轴对称图形的画法在画图形关于某一条直线的对称图形时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．5.等腰三角形和等边三角形有两边相等的三角形叫做等腰三角形．其中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．三条边都相等的三角形是等边三角形（也叫正三角形）．它的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边”，也就是说，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形．三个角都是60°的三角形是等边三角形．可知：有两个角是60°的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．6.角平分线角是图形，是它的对称轴。角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到垂直平分上两端点的距离相等典型例题考点一、轴对称图形及其性质的应用例1、下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A． B．C．D．2、判断下列图形（如图所示）是不是轴对称图形.3、下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并说明理由．答：这个图形是：（写出序号即可）4、下列图形是轴对称图形是（）例1、如图，镜子中号码的实际号码是___________.2.如图所示是一只停泊在平静水面的小船，它的“倒影”应是图中的（）例2.星期天小华去书店买书时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针（粗）与分针（细）的位置如图所示，此时时针表示的时间是．（按12小时制填写）1、如图是某时刻在镜子中看到准确时钟的情况，则实际时间是.练习1．线段是轴对称图形，它有_______条对称轴，正三角形的对称轴有条．2、下列说法正确的是（）A.两个全等的图形一定成轴对称B.两个全等的图形一定是轴对称图形C.两个成轴对称的图形一定全等D.两个成轴对称的图形一定不全等3.下列图形中,是轴对称图形的有__________个:①角;②线段;③等腰三角形;④扇形;⑤三角形;⑥正方形;⑦平行四边形;⑧五边形.A.5个B.6个C.7个D.8个4.下列说法中正确的是（）角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等角是轴对称图形③线段不是轴对称图形线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等A.①②③④B.①②③C.②④D.②③④5.下列说法正确的是（）A.任何一个图形都有对称轴B.两个全等三角形一定关于某直线对称C.若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC≌△DEFD.点A，点B在直线L两旁，且AB与直线L交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线L对称6、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积为． 7．如图，三角形1与_____成轴对称图形，整个图形中共有_____条对称轴．第15题图第16题图、15．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C恰好落在如图C1的位置，若∠DBC=30º，则∠ABC1=________．、16．如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A=35º，∠BCO=30º，那么∠AOB=_______．考点二：等腰三角形和等边三角形1、若等腰三角形的周长为26，一边为11，则腰长为（）．A．11B．7.5C．11或7.5D．以上都不对2.等腰三角形的两边长分别是7cm和3cm，则它的周长是（）A.17cmB.13cmC.17cm或13cmD.以上都不对3.等腰三角形的对称轴是（）A.高线B.顶角平分线所在的直线C.中线D.垂直平分线4.如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.无法判断5．已知等腰的周长为10，若设腰长为，则的取值范围是．6、等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是__________度．7、等腰三角形的两边的边长分别为20和9，则第三边的长是__________．8、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为．9、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长及底边长为________________________．,10、△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.⑴上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)；⑵选择第⑴小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.考点三、线段的垂直平分线的性质例1、如图所示，在中，．（1）尺规作图：作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若分别交及的延长线于点，连结．求证：．例2、已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC．求证：BC=AB+AD2、如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（） A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB3、△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）A．13B．14C．154.Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则（）A．40°B．30°C．20°D．10°5、如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（）A．B．C．D．例2、如图：在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，求∠CAD的度数．1、如图，已知：是等边三角形，分别在AC、BC边上取点E、F，使，BE、AF相交于点D.求证：.2、如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB，求∠A的度数AABCDE如图，已知：在中，，。求：的度数。4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠BAC＝1∶3，求∠B的度数。例3、已知：在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8cm，△ABE的周长是14cm，求AB的长。1、如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC=9cm，△BCE的周长为15cm，求BC的长．2、8-19,已知△ABC中,AB=AC=26,DE是AB的垂直平分线,交AB于点E,交AC于点D,且△BDC的周长为46,则BC=________3、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E，若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为；4、如图，Rt△ABC中，，cm，cm．将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长=cm．5.如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则ΔPMN的周长是(

)A.3cm

B.4cm

C.5cm

D.6cm例1、如图11，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．图图11例2、在铁路a的同侧有两个工厂A和B，要在铁路边建一货场C，使A、B两厂到货场C的距离和最小，试在图上作出C。AABaB例3、直线l，A，B两点在l的两侧，在l上找一点C，使C到A，B的距离之差最大。AABlBBHGBHGEFB2、图，表示两条相交的公路，现要在的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处点的距离为1000米．（1）若要以的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处点的图上距离；（2）在图中画出物流中心的位置．3、如图，C、D分别在∠AOB的两边上，作点P，使PC＝PD，且点P到∠AOB的两边的距离相等。4．如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．.BA.考点四、线段的角平分线的性质例1、如图，中，，试说明：．2.如图，在△ABC中，D是BC上的一点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，且EF∥BC，若EF交AD于M，EF=12，则DM=3、如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A. B.平分 C. D.垂直平分4.在中，由点向边引高线，垂足落在上，如果，求证：.例2、如图，P是∠BAC内的一点，，垂足分别为点．求证：（1）；（2）点P在∠BAC的角平分线上．如图1，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过D作EF//BC,交AB于E,交AC于F,易证:EF=BE+CF.当D为∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线的交点（如图2）时，或当D为∠ABC的外角平分线和∠ACB的外角平分线的交点（如图3）时，其它条件都不变，EF、BE、CF的关系又如何？请对图2进行证明.AABCDEFHABCDEFGABCDEFG考点五对称点和对称图形的画法BOA例1、画出线段AB的中垂线。例2、画出BOAAABAB例3、画出以下图形的对称轴。例4AB例5、如图，如果△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，那么画出△A1B1C1．如图所示，已知△ABC和直线MN．求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称．（不要求写作法，只保留作图痕迹）ABCEF例6、如图所示，E、F分别是ABCEF例7、在铁路a的同侧有两个工厂A和B，要在铁路边建一货场C，使A、B两厂到货场C的距离和最小，试在图上作出C。AABaB例8、△ABC的顶点A在∠EOD的边OD上，9、直线l，A，B两点在l的两侧，B、C在∠EOD内部，分别以OE、OD在l上找一点C，使C到A，B为对称轴作关于△ABC的对称图形。的距离之差最大。AABlBBBOADEC10、在AB上找一点P，使P到11、在直线MN上找一点P点，使M、N两点的距离相等。到射线OA和OB的距离相等。BOBOANMABMN例9、如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建一个供水站到三个工厂的距离相等，供水站建在哪？AABCAQPl2l1例10、如图，l1、l2AQPl2l1考点六：三角形与轴对称综合问题1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC的长度是多少？2、已知AB=AC，BD=DC，AE平分∠FAC，问：AE与AD是否垂直？为什么？AABCDEF3、已知：如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，EF∥BC交AC于点F，交∠ACB的外角平分线于点G．试判断△EFC的形状，并说明你的理由．4、已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE，求证：AH=2BD．5、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．ADEFBC6、已知：△ABC中，ADEFBC7FEDCBA、如图,E在FEDCBA8、如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。AABCDEM9.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F.求证：CF=2BF.10.已知：如图，△ACD是等边三角形，AE⊥CD于E，AB⊥AC，AC＝AB，AE、BD相交于O.。求证：BC=2OD.11．如图，在等边中，点分别在边上，且，与交于点．（1）求证：；（2）求的度数．.12、已知：如图所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．CENDABM求证：CENDABM13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．(1)求证：AB=CD；(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．五：课后练习一、选择题1、（2009·宜昌中考）如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是()．A．B．C.D.2、（2008·青岛中考）下列图形中，轴对称图形的个数是（）．A． B．C． D．3.已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为A．9B．12C．9或12D．54.下列判断中错误的是（）A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等5.的角平分线AD交BC于点D，，则点D到AB的距离是（）A．1B．2C．3D．46．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，CODPBA将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（）CODPBAA．4 B．5 C．6 D．8ABCDE7.如图，是等腰直角三角形，，，若，垂足分别是．则图中全等的三角形共有（）ABCDEA．2对 B．3对 C．4对 D．5对8.如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（）Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个9.小明将两个全等且有一个角为的直角三角形拼成如图所示的图形，AFCAFCDHBMEGＡ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1ABCDE10.如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BDABCDEA．20°B．25°C．30°D．40°11如图，中，，，垂直平分，则的度数为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．二、填空题12.如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则的度数是．13.如图，在等边中，分别是上的点，且，则 度．14、如图，在中，