高中一年级数学-23函数的奇偶性课件

要点梳理1.奇函数、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f（x）就叫做偶函数.

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f（x）就叫做奇函数.

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.2.3函数的奇偶性f（-x）=f（x）f（-x）=-f（x）基础知识自主学习2.3函数的奇偶性f（-x）=f（x）f（-x）=-f（2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:（1）考查定义域是否关于______对称；（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：若f（-x）=_______，则f（x）为奇函数；若f（-x）=________，则f（x）为偶函数；若f（-x）=_______且f（-x）=________,则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），则f（x）既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.原点-f（x）f（x）-f（x）f（x）2.判断函数的奇偶性原点-f（x）f（x）-f（x）f（x）3.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______,

偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填“相同”、“相反”）.(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶函数；

②两个偶函数的和、积是_________；

③一个奇函数，一个偶函数的积是_________.奇函数偶函数奇函数相同相反3.奇、偶函数的性质奇函数偶函数奇函数相同相反基础自测1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是（）

A.y=2x-3B.y=-3x2C.y=ln5xD.y=-|x|cosx

解析

A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数.

设y=f(x)=ln5x=xln5,∴f（-x）=-xln5=-f（x）.C基础自测C2.（2008·全国Ⅱ理）函数的图象关于（）

A.y轴对称B.直线y=-x对称

C.坐标原点对称D.直线y=x对称

解析

∵∴f（x）是奇函数.∴f（x）的图象关于原点对称.C2.（2008·全国Ⅱ理）函数的图象关于3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的函数是()A.f(x)=sinxB.f(x)=-|x-1|C.

D.

解析

∵函数是奇函数,排除B、C（B中函数是非奇非偶函数，C中是偶函数），

∵［-1，1］

∴f（x）=sinx在[-1,1]上是增函数,排除A,故选D.D3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递D4.已知f(x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数,

那么a+b的值是（）

A.B.C.D.

解析依题意得B4.已知f(x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶5.（2008·福建理）函数f（x）=x3+sinx+1(x∈R),

若f（a）=2，则f（-a）的值为（）

A.3B.0C.-1D.-2

解析设g(x)=x3+sinx,很明显g(x)是一个奇函数.∴f（x）=g（x）+1.∵f（a）=g（a）+1=2，

∴g（a）=1，

∴g（-a）=-1，∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.B5.（2008·福建理）函数f（x）=x3+sinx+1题型一函数奇偶性的判断【例1】

判断下列函数的奇偶性：

(1)

(2)

判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等或相反.思维启迪题型分类深度剖析思维启迪题型分类深度剖析解

(1)定义域关于原点对称.故原函数是奇函数.(2)≥0且1-x≠0-1≤x<1,定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.解(1)定义域关于

判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:

一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的;

二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.探究提高判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条探知能迁移1

判断函数f(x)=的奇偶性.

解

∵∴-2≤x≤2且x≠0,∴函数f(x)的定义域关于原点对称.∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.4-x2≥0|x+3|≠3,知能迁移1判断函数f(x)=的奇偶性.题型二函数奇偶性的应用【例2】判断下面函数的奇偶性,并求函数的单调区间.

求定义域→判断奇偶性→研究在(0,1)

上的单调性.

解所以函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).∵f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意x,

所以f(x)是奇函数.思维启迪题型二函数奇偶性的应用任取x1,x2∈(0,1),且设x1<x2,则得f(x1)-f(x2)>0，即f(x)在(0,1)内单调递减.由于f(x)是奇函数,所以f(x)在(-1,0)内单调递减.∴f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1).任取x1,x2∈(0,1),且设x1<x2,则探究提高

根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单调性即可.探究提高根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间知能迁移2

已知定义域为R的函数f(x)=

是奇函数.(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.

解

(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，

知能迁移2已知定义域为R的函数f(x)=(2)由(1)知由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k.即对一切t∈R有3t2-2t-k>0.从而判别式Δ=4+12k<0,解得k<(2)由(1)知题型三抽象函数的奇偶性与单调性【例3】(12分)已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)如果x为正实数，f（x）<0,并且f(1)=试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.

(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明,

只需证f(x)+f(-x)=0;(2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇偶性的应用.思维启迪题型三抽象函数的奇偶性与单调性思维启迪(1)证明

∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.4分（2）解方法一设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）<0,∴f(x+y)-f(x)<0,(1)证明∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∴f(x+y)<f(x).6分∵x+y>x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.8分又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.10分∵f(1)=∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f（1）+f（2）]=-3.∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.12分∴f(x+y)<f(x).方法二设x1<x2,且x1,x2∈R.则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减.∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.10分∵f（1）=∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1f（6）=2f（3）=2[f（1）+f（2）]=-3.∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.12分方法二设x1<x2,且x1,x2∈R.

探究提高

（1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数.（2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.探究提高（1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函知能迁移3

函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；（3）如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在

(0，+∞)上是增函数，求x的取值范围.

解

（1）∵对于任意x1,x2∈D,

有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，

∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.知能迁移3函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1).∴f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.（3）依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f（16×4）=f（16）+f（4）=3，∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3,∴f((3x+1)(2x-6))≤f(64)(*)(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1)∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴(*)等价于不等式组∴x的取值范围为∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)f(-x)±

f(x)=0=±1(f(x)≠0).方法与技巧思想方法感悟提高方法与技巧思想方法感悟提高3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.失误与防范3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴失误与防范2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x,

均有f(-x)=-f(x).而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推.高中一年级数学-23函数的奇偶性课件一、选择题1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是()A.B.C.D.

解析依题意得B定时检测B定时检测2.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞,0]

上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的取值范围是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)

解析

∵f（x）是偶函数且在

(-∞,0]上是减函数，且f（2）

=f（-2）=0，可画示意图如图所示，由图知f(x)<0的解集为（-2，2）.D2.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞,0]D3.（2009·辽宁理，9）已知偶函数f(x)在区间［0,+∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是（）

A.B.C.D.3.（2009·辽宁理，9）已知偶函数f(x)在区间［0,解析方法一当2x-1≥0,即x≥时，因为f(x)在［0，+∞）上单调递增，故需满足当2x-1<0,即x<时，由于f(x)是偶函数，故f(x)在（-∞,0］上单调递减，此时需满足解析方法一当2x-1≥0,即x≥时，因为f(x)方法二

∵f(x)为偶函数,∴f(2x-1)=f(|2x-1|)又∵f(x)在区间（0，+∞）上为增函数,∴不等式

等价于方法二∵f(x)为偶函数,∴f(2x-1)=f(|2x-4.(2009·陕西文，10)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有

则（）

A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)4.(2009·陕西文，10)定义在R上的偶函数f(x)，对解析对任意x1,x2∈［0,+∞)(x1≠x2),有

则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号，因此函数f(x)在［0，+∞）上是减函数.又f(x)在R上是偶函数，故f(-2)=f(2),由于3>2>1,故有f(3)<f(-2)<f(1).答案

A解析对任意x1,x2∈［0,+∞)(x1≠x2),有5.函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有f(x)+f(-x)=0，

g(x)g(-x)=1,且x≠0,g(x)≠1,则F(x)=()A.是奇函数但不是偶函数

B.是偶函数但不是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数5.函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，且都不是常解析由条件知f(-x)=-f(x),

答案

B解析由条件知f(-x)=-f(x),6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，

f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<的解集是（）

A.(-∞,-1)B.（-∞，-1］

C.（1，+∞）D.［1，+∞）6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，解析当x>0时，1-2-x=>0与题意不符，当x<0时，-x>0，∴f（-x）=1-2x，又∵f（x）为R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=1-2x，∴f（x）=2x-1，∴f（x）=2x-1<∴2x<∴x<-1,∴不等式f(x)<的解集是（-∞，-1）.答案

A解析当x>0时，1-2-x=>0与题意不符，二、填空题7.已知函数y=f(x)为奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)-

f(-3)=____.

解析

∵f(x)为奇函数且f(3)-f(2)=1，

∴f(-2)-f(-3)=f(3)-f(2)=1.1二、填空题18.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0，5]时,

函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为______________.

解析

由原函数是奇函数,所以

y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5，0]上的图象,如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).(-2,0)∪(2,5)8.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0，5]9.（2009·山东理，16）已知定义在R上的奇函数f(x)

满足f(x-4)=-f(x)，且在区间［0，2］上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)，在区间［-8,8］上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.

解析因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x),

所以f(4-x)=f(x).因此，函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x).又因为f(x)

在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间［-2,0］上也是增函数,9.（2009·山东理，16）已知定义在R上的奇函数f(x)如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间［-8，8］上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.答案

-8

如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间［-8，8］上三、解答题10.设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3),(1)证明f(x)是偶函数；

(2)画出这个函数的图象；

(3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；

(4)求函数的值域.(1)证明

∵x∈[-3,3],∴f(x)的定义域关于原点对称。

f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),

即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.三、解答题(2)解当x≥0时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，当x<0时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=(x-1)2-2(0≤x≤3)(x+1)2-2(-3≤x<0).根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图.(2)解当x≥0时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)(3)解函数f(x)的单调区间为[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3].f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上为减函数,在[-1,0),[1,3]上为增函数.(4)解当x≥0时,函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2；当x<0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2，最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为［-2，2］.(3)解函数f(x)的单调区间为11.已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时，

f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.

解

∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.

当x>0时，-x<0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x），即f（x）=-xlg（2+x）（x>0）.∴f(x)=

即f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R).11.已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时，12.已知函数

(x≠0,常数a∈R).(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f(x)在［2，+∞）上为增函数，求实数a

的取值范围.12.已知函数(解（1）当a=0时，f（x）=x2对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)，有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),∴f(x)为偶函数.当a≠0时，

(x≠0,常数a∈R)，若x=±1，则f(-1)+f(1)=2≠0；∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.综上所述，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f（x)为非奇非偶函数.解（1）当a=0时，f（x）=x2对任意（2）设2≤x1<x2,

要使函数f(x)在x∈［2,+∞）上为增函数，必须f(x1)-f(x2)<0恒成立.∵x1-x2<0,x1x2>4,即a<x1x2(x1+x2)恒成立.又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,∴a的取值范围是（-∞，16］.

返回（2）设2≤x1<x2,返回要点梳理1.奇函数、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f（x）就叫做偶函数.

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f（x）就叫做奇函数.

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.2.3函数的奇偶性f（-x）=f（x）f（-x）=-f（x）基础知识自主学习2.3函数的奇偶性f（-x）=f（x）f（-x）=-f（2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:（1）考查定义域是否关于______对称；（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：若f（-x）=_______，则f（x）为奇函数；若f（-x）=________，则f（x）为偶函数；若f（-x）=_______且f（-x）=________,则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），则f（x）既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.原点-f（x）f（x）-f（x）f（x）2.判断函数的奇偶性原点-f（x）f（x）-f（x）f（x）3.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______,

偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填“相同”、“相反”）.(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶函数；

②两个偶函数的和、积是_________；

③一个奇函数，一个偶函数的积是_________.奇函数偶函数奇函数相同相反3.奇、偶函数的性质奇函数偶函数奇函数相同相反基础自测1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是（）

A.y=2x-3B.y=-3x2C.y=ln5xD.y=-|x|cosx

解析

A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数.

设y=f(x)=ln5x=xln5,∴f（-x）=-xln5=-f（x）.C基础自测C2.（2008·全国Ⅱ理）函数的图象关于（）

A.y轴对称B.直线y=-x对称

C.坐标原点对称D.直线y=x对称

解析

∵∴f（x）是奇函数.∴f（x）的图象关于原点对称.C2.（2008·全国Ⅱ理）函数的图象关于3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的函数是()A.f(x)=sinxB.f(x)=-|x-1|C.

D.

解析

∵函数是奇函数,排除B、C（B中函数是非奇非偶函数，C中是偶函数），

∵［-1，1］

∴f（x）=sinx在[-1,1]上是增函数,排除A,故选D.D3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递D4.已知f(x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数,

那么a+b的值是（）

A.B.C.D.

解析依题意得B4.已知f(x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶5.（2008·福建理）函数f（x）=x3+sinx+1(x∈R),

若f（a）=2，则f（-a）的值为（）

A.3B.0C.-1D.-2

解析设g(x)=x3+sinx,很明显g(x)是一个奇函数.∴f（x）=g（x）+1.∵f（a）=g（a）+1=2，

∴g（a）=1，

∴g（-a）=-1，∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.B5.（2008·福建理）函数f（x）=x3+sinx+1题型一函数奇偶性的判断【例1】

判断下列函数的奇偶性：

(1)

(2)

判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等或相反.思维启迪题型分类深度剖析思维启迪题型分类深度剖析解

(1)定义域关于原点对称.故原函数是奇函数.(2)≥0且1-x≠0-1≤x<1,定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.解(1)定义域关于

判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:

一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的;

二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.探究提高判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条探知能迁移1

判断函数f(x)=的奇偶性.

解

∵∴-2≤x≤2且x≠0,∴函数f(x)的定义域关于原点对称.∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.4-x2≥0|x+3|≠3,知能迁移1判断函数f(x)=的奇偶性.题型二函数奇偶性的应用【例2】判断下面函数的奇偶性,并求函数的单调区间.

求定义域→判断奇偶性→研究在(0,1)

上的单调性.

解所以函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).∵f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意x,

所以f(x)是奇函数.思维启迪题型二函数奇偶性的应用任取x1,x2∈(0,1),且设x1<x2,则得f(x1)-f(x2)>0，即f(x)在(0,1)内单调递减.由于f(x)是奇函数,所以f(x)在(-1,0)内单调递减.∴f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1).任取x1,x2∈(0,1),且设x1<x2,则探究提高

根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单调性即可.探究提高根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间知能迁移2

已知定义域为R的函数f(x)=

是奇函数.(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.

解

(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，

知能迁移2已知定义域为R的函数f(x)=(2)由(1)知由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k.即对一切t∈R有3t2-2t-k>0.从而判别式Δ=4+12k<0,解得k<(2)由(1)知题型三抽象函数的奇偶性与单调性【例3】(12分)已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)如果x为正实数，f（x）<0,并且f(1)=试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.

(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明,

只需证f(x)+f(-x)=0;(2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇偶性的应用.思维启迪题型三抽象函数的奇偶性与单调性思维启迪(1)证明

∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.4分（2）解方法一设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）<0,∴f(x+y)-f(x)<0,(1)证明∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∴f(x+y)<f(x).6分∵x+y>x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.8分又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.10分∵f(1)=∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f（1）+f（2）]=-3.∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.12分∴f(x+y)<f(x).方法二设x1<x2,且x1,x2∈R.则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减.∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.10分∵f（1）=∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1f（6）=2f（3）=2[f（1）+f（2）]=-3.∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.12分方法二设x1<x2,且x1,x2∈R.

探究提高

（1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数.（2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.探究提高（1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函知能迁移3

函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；（3）如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在

(0，+∞)上是增函数，求x的取值范围.

解

（1）∵对于任意x1,x2∈D,

有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，

∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.知能迁移3函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1).∴f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.（3）依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f（16×4）=f（16）+f（4）=3，∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3,∴f((3x+1)(2x-6))≤f(64)(*)(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1)∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴(*)等价于不等式组∴x的取值范围为∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)f(-x)±

f(x)=0=±1(f(x)≠0).方法与技巧思想方法感悟提高方法与技巧思想方法感悟提高3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.失误与防范3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴失误与防范2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x,

均有f(-x)=-f(x).而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推.高中一年级数学-23函数的奇偶性课件一、选择题1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是()A.B.C.D.

解析依题意得B定时检测B定时检测2.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞,0]

上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的取值范围是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)

解析

∵f（x）是偶函数且在

(-∞,0]上是减函数，且f（2）

=f（-2）=0，可画示意图如图所示，由图知f(x)<0的解集为（-2，2）.D2.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞,0]D3.（2009·辽宁理，9）已知偶函数f(x)在区间［0,+∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是（）

A.B.C.D.3.（2009·辽宁理，9）已知偶函数f(x)在区间［0,解析方法一当2x-1≥0,即x≥时，因为f(x)在［0，+∞）上单调递增，故需满足当2x-1<0,即x<时，由于f(x)是偶函数，故f(x)在（-∞,0］上单调递减，此时需满足解析方法一当2x-1≥0,即x≥时，因为f(x)方法二

∵f(x)为偶函数,∴f(2x-1)=f(|2x-1|)又∵f(x)在区间（0，+∞）上为增函数,∴不等式

等价于方法二∵f(x)为偶函数,∴f(2x-1)=f(|2x-4.(2009·陕西文，10)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有

则（）

A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)4.(2009·陕西文，10)定义在R上的偶函数f(x)，对解析对任意x1,x2∈［0,+∞)(x1≠x2),有

则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号，因此函数f(x)在［0，+∞）上是减函数.又f(x)在R上是偶函数，故f(-2)=f(2),由于3>2>1,故有f(3)<f(-2)<f(1).答案

A解析对任意x1,x2∈［0,+∞)(x1≠x2),有5.函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有f(x)+f(-x)=0，

g(x)g(-x)=1,且x≠0,g(x)≠1,则F(x)=()A.是奇函数但不是偶函数

B.是偶函数但不是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数5.函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，且都不是常解析由条件知f(-x)=-f(x),

答案

B解析由条件知f(-x)=-f(x),6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，

f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<的解集是（）

A.(-∞,-1)B.（-∞，-1］

C.（1，+∞）D.［1，+∞）6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，解析当x>0时，1-2-x=>0与题意不符，当x<0时，-x>0，∴f（-x）=1-2x，又∵f（x）为R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=1-2x，∴f（x）=2x-1，∴f（x）=2x-1<∴2x<∴x<-1,∴不等式f(x)<的解集是（-∞，-1）.答案

A解析当x>0时，1-2-x=>0与题意不符，二、填空题7.已知函数y=f(x)为奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)-

f(-3)=____.

解析

∵f(x)为奇函数且f(3)-f(2)=1，

∴f(-2)-f(-3)=f(3)-f(2)=1.1二、填空题18.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0，5]时,

函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为______________.

解析

由原函数是奇函数,所以

y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5，0]上的图象,如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).(-2,0)∪(2,5)8.设奇函数f(x)的定义域为