微专题：平面向量与极化恒等式（1）讲义-高一下学期数学人教A版必修4

单元主题：向量一、设定教学目标核心素养：1.直观想象：能够通过图形直观认识数学问题，能够用图形描述和表达熟悉的数学问题、启迪解决这些问题的思路，体会数形结合；2.数学运算：能够在综合运用运算方法解决问题的过程中，体会程序思想的意义和作用；3.数学抽象：能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达；4.数学建模：了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义。课程标准：帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的基本概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。核心问题：1.夯实平面向量基础知识，掌握平面向量问题的解决方法2.掌握平面向量问题的解决方法教学目标：1.熟练掌握平面向量的基础知识，能在解题时灵活应用。2.掌握解决平面向量问题的基本方法：基底法和坐标法，能根据具体情境选择恰当的方法解决问题。3.训练转化化归、数形结合的思想方法，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心数学素养。4.感受数学知识的内在联系。二、确定恰当评估办法任务1：向量概念通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素-----A了解平面向量的意义和两个向量相等的含义，了解平面向量的几何表示和基本要素------B任务2：向量运算掌握平面向量加、减运算即运算规则，理解其几何意义，掌握平面向量数乘运算即运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义-----A不能完全理解上述内容，但能了解，能解决一些相应的基本问题---B任务3：向量基本定理及坐标表示理解平面向量基本定理及其意义，借助平面直角坐标系；掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算；能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角；能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件----A不能完全理解上述内容，但能了解，能解决一些相应的基本问题----B任务4：向量与解三角形会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的应用；借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理；能用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题----A不能完全理解上述内容，但能了解，能解决一些相应的基本问题-----B微专题：平面向量与极化恒等式由于近5年的浙江高考卷中的向量题大部分都与极化恒等式有关，该种形式的平面向量数量积逐渐被广大师生所接受并应用。为了使学生对极化恒等式的适用范围和背景有一个更深刻的了解，在高三教学中可以上一节“不同背景下的极化恒等式”的专题课。例1：已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的取值范围是．解析：，∵，∴．例2：为椭圆上任意一点，为圆：的任意一条直径，则的取值范围是．解析：，由椭圆性质，，∴．例3：在长方体中，，，为对角线的中点，过的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是．解析：，长方体的体对角线长为6，由长方体性质，可知，，∵与互不影响，∴．设计意图：上述3个例题从平面几何到解析几何，再到立体几何，从中体现了极化恒等式的背景与几何的关联很大，在不同的几何问题中，极化恒等式都可以发挥它的作用。3个例题的共同点是所求结果指向性非常明确，都是求共起点的两个向量的数量积的取值范围问题。研究3个例题，不难发现极化恒等式适用的前提是共起点的两个向量的差向量的模长往往是一个定值。在很多试题中，所求结果的指向性与极化恒等式不明显，学生在解题中很难想到用极化恒等式，一旦想到利用极化恒等式，问题的解答既快捷又巧妙。例4：（2015年湖州二模）在中，，则．解析：由题可得，即，即，∴．例5：已知向量满足，则的最小值是．解析：．例6：已知向量及实数满足，若，则的最大值为．解析：∵，∴．设计意图：上述3个例题的背景可以说是“纯向量（仅与向量有关）”背景，尤其是后2个例题表现得更为突出一些。光看3个例题的结论（所求的内容）都不一样，从结论上入手，很难看清3个例题蕴含的共同