排队论大学课件9多服务窗排队模型

第四章多服务窗排队模型

M/M/n…第一节多服务窗损失制排队模型M/M/n/n第二节多服务窗等待制排队模型M/M/n第三节多服务窗混合制排队模型M/M/n/m第四节多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m1第四章多服务窗排队模型

M/M/n…第一节多服务窗损失制多服务窗排队模型总述M/M/n…的排队模型服务窗个数为多个假定单个服务窗的服务率为，则系统在某状态下的消亡率为j，j是此状态下正在忙的服务窗个数2多服务窗排队模型总述M/M/n…的排队模型21多服务窗损失制排队模型M/M/n/n顾客到达的间隔时间——负指数分布，参数为顾客接受服务的时间——负指数分布，参数为系统有n个服务窗系统最多容纳顾客n个因系统满员造成顾客损失31多服务窗损失制排队模型M/M/n/n顾客到达的间隔时间—1多服务窗损失制排队模型M/M/n/n

0k-121k23(k-1)kn-1nn(n-1)M/M/n/n排队模型的状态流图41多服务窗损失制排队模型M/M/n/n0k-121k1多服务窗损失制排队模型M/M/n/n求平稳分布51多服务窗损失制排队模型M/M/n/n求平稳分布51多服务窗损失制排队模型M/M/n/n目标参量P损称为爱尔兰损失公式，又称爱尔兰B公式，欧洲人称为爱尔兰第一公式

61多服务窗损失制排队模型M/M/n/n目标参量61多服务窗损失制排队模型M/M/n/n爱尔兰B公式的广泛性：我们把一个具有泊松输入的损失制排队系统称为爱尔兰损失制系统，这种损失制系统对于任何服务时间分布，它在统计平衡条件下的状态概率都相同与M/M/n/n相同。即M/M/n/n排队系统的平稳分布＝M/G/n/n排队系统的平稳分布71多服务窗损失制排队模型M/M/n/n爱尔兰B公式的广泛性881多服务窗损失制排队模型M/M/n/n

服务窗占用的均值：服务窗的效率（劳动强度）91多服务窗损失制排队模型M/M/n/n92多服务窗等待制排队模型M/M/n顾客到达的间隔时间——负指数分布，参数为顾客接受服务的时间——负指数分布，参数为系统有n个服务窗系统最多容纳顾客个102多服务窗等待制排队模型M/M/n顾客到达的间隔时间——负2多服务窗等待制排队模型M/M/n0n-121n23(n-1)nn+1n+2nnnn个服务窗全忙服务窗还有空闲112多服务窗等待制排队模型M/M/n0n-121n2多服务窗等待制排队模型M/M/n求平稳分布122多服务窗等待制排队模型M/M/n求平稳分布122多服务窗等待制排队模型M/M/n目标参量P损=0A=Q=1平均等待队长平均服务队长132多服务窗等待制排队模型M/M/n目标参量132多服务窗等待制排队模型M/M/n平均系统队长平均等待时间平均系统内逗留时间142多服务窗等待制排队模型M/M/n平均系统队长142多服务窗等待制排队模型M/M/n来到系统的顾客必须排队等待的概率称为爱尔兰等待公式，又称爱尔兰C公式，欧洲人称为爱尔兰第二公式152多服务窗等待制排队模型M/M/n来到系统的顾客必须排队等等待制排队模型比较0.30.40.40.30.30.40.4*30.3*3M/M/33个M/M/11个M/M/1p00.07480.25(每个子系统）0.25顾客等候概率0.570.750.75Lq1.76.75（整个系统）2.25Ls3.959.00（整个系统）3.00Ws4.39103.33Wq1.897.52.50.40.40.40.3*316等待制排队模型比较0.30.40.40.30.30.40.43多服务窗混合制排队模型M/M/n/m顾客到达间隔时间——负指数分布，参数为顾客接受服务的时间——负指数分布，参数为mnm-n173多服务窗混合制排队模型M/M/n/m顾客到达间隔时间——3多服务窗混合制排队模型M/M/n/m

0n-121n23(n-1)nn+1nn个服务窗全忙服务窗还有空闲nmn183多服务窗混合制排队模型M/M/n/m0n-121n3多服务窗混合制排队模型M/M/n/m平稳分布193多服务窗混合制排队模型M/M/n/m平稳分布193多服务窗混合制排队模型M/M/n/m目标参量系统的损失概率P损＝系统的相对通过能力单位时间内损失的顾客数及平均进入系统的顾客数203多服务窗混合制排队模型M/M/n/m目标参量203多服务窗混合制排队模型M/M/n/m平均服务队长平均等待队长平均系统队长213多服务窗混合制排队模型M/M/n/m平均服务队长214多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m顾客源有限——m顾客源m=系统最大顾客数m，任何的需求都可以得到满足，P损=0闭合式排队系统：排队系统内顾客与顾客源中顾客总数是固定的(m-c)mnc个顾客m-c个顾客源224多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m顾客源有限——m4多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m0n-121nm(m-1)(m-2)(m-n+1)23(n-1)n(m-n)n+1nn个服务窗全忙服务窗还有空闲nmn234多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m0n-121nm4多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m求平稳分布244多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m求平稳分布244多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m目标参量254多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m目标参量254多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m例题（120页）内线占用外线，内线上产生电话呼叫，如果外线有空闲的则占有外线，如果没有空闲的外线则排队等待有m条内线和n条外线，采用BCD（BlockedCallDelayed）排队规则内线平均空闲时间：内线平均空闲概率内线m条（顾客源）外线n条（服务窗）264多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m例题（120页）4多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m内线被占用的概率内线占用、不占用的循环周期内线处于等待状态概率闲忙274多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m内线被占用的概率4多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m外线利用率外线损失系数，（空闲、浪费系数）284多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m外线利用率285M/M…排队系统的输出过程输出是与输入同强度的泊松流设排队系统为M/M/n/m(1nm)，设到达的顾客流是参数为的泊松流（在等待制时，进入系统的流是参数为的泊松流；在混合制与损失制时，进入系统的流是参数为(1-pm)的泊松流），如果把混合制与损失制时的损失流也看作系统的输出，则系统的输出是参数为的泊松流。证明略295M/M…排队系统的输出过程输出是与输入同强度的泊松流29队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布的关系设统计平衡条件下，顾客到达时看到的队长为ls-（不包括到达的这个顾客），ls-与平稳队长ls的分布相同吗？平稳分布记做：排队系统30队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布的关系设统计平衡条件下，队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布的关系举例D/D/1排队系统假定顾客到达间隔时间=服务时间=并且到达的间隔时间大于服务时间到达的顾客不需要等待，所以有：系统中最多有一个顾客，看到D/D/1排队系统中：31队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布的关系举例D/D/1排队到达与离开时的队长分布的关系下面我们研究三种时刻队长分布的关系pn-=P(顾客到达时系统中已有n个顾客)Pn=P(N=n)=平稳分布队长为n的概率pn+=P(顾客离开系统时系统还有n个顾客的概率)32到达与离开时的队长分布的关系下面我们研究三种时刻队长分布的关到达与离开时的队长分布的关系G/G/1系统pn-=pn+N(t)tn+1n跟踪N(t)实际走过的一条路线33到达与离开时的队长分布的关系G/G/1系统pn-=pn+N到达与离开时的队长分布的关系假定从状态n上跳到状态n+1的次数为An(t) 从状态n+1下跳到状态n的次数为Dn(t)由于到达与离去是一个一个发生的，并且n->n+1与n+1->n是交错发生的。所以到t时刻为止，An(t)与Dn(t)至多相差1设A(t)、D(t)为从任何状态开始上跳一步的总次数和下跳一步的总次数，在统计平衡条件下，有：34到达与离开时的队长分布的关系假定从状态n上跳到状态n+1的次到达与离开时的队长分布的关系35到达与离开时的队长分布的关系35M/G系统到达时刻看到的的队长分布

与队长分布的关系M/G系统有pn-(t)=

pn(t)，即任意时刻，到达的顾客看到的队长分布等于系统队长的分布证明 令A(t,t+∆t)表示在[t,t+∆t)]时间内到达了一个顾客，则

因为输入流是泊松流，所以A(t,t+∆t)发生的概率是∆t+o(∆t)，与N(t)=n这个事件无关。所以36M/G系统到达时刻看到的的队长分布

与队长分布的关系M/G系结论G/G排队系统pn-=pn+即到达的顾客与离开的顾客所看到的队长分布是相等的M/G排队系统中pn-=pn+=pn 即在顾客为泊松流到达的排队系统中，到达的顾客与离开的顾客看到的队长分布与系统的队长分布都相等

37结论G/G排队系统pn-=pn+37多服务窗排队模型例题1某电话交换机有20条线，假定每次用线时间（通话）平均3分钟，不知其分布，通话需求是泊松流，平均每分钟有5个。打不通电话时则不等待（BCC——BlockedCallCleared），求损失概率、平均损失顾客数。B（15，20）＝0.33B（20，15）＝0.04638多服务窗排队模型例题1某电话交换机有20条线，假定每次用线时多服务窗排队系统例题2（课后题16）在一个停车场中只有10个停车位，汽车按平均数为每小时10部的泊松分布到达，停车时间服从平均数为10分钟的指数分布。试求到达的汽车发现没有停车位的概率系统的有效到达率空停车位的期望值39多服务窗排队系统例题2（课后题16）在一个停车场中只有10多服务窗排队系统例题3（课后题9）一理发店有发型师5人，供顾客等候的座位有10个，若顾客以泊松流到达，每小时8人，每一发型师平均要30分钟做一个发型，理发时间服从负指数分布。一顾客到达看到无空座位要站着等候则马上离开。求损失概率平均损失的顾客数平均忙的发型师数量40多服务窗排队系统例题3（课后题9）一理发店有发型师5人，供多服务窗排队系统例题4（课后题11）设有3个修理工负责7台机器，假定停台欲检修的台数为泊松流，修理时间为指数分布。每台机器平均损坏率为每运转一小时发生一次；3个修理工以4台/小时相同的平均修复率修好机器。试求：1）计算停台数为0、1、4的概率2）修理工的平均劳动率3）平均等候检验的停台机器数4）需要修理的平均机器数5）一台机器的平均停工时间41多服务窗排队系统例题4（课后题11）设有3个修理工负责7台多服务窗排队系统例题5（课后题18）某单位电话总机外接中继线有3条（服务窗），机关内有电话20部（顾客），假定每部电话平均隔30分钟要求接一次外线，间隔时间服从负指数分布，接外线一直等到通话完成才结束。假定通话时间服从负指数分布，平均3分钟一次，求一条内线上的平均等待时间及通话率。42多服务窗排队系统例题5（课后题18）某单位电话总机外接中继第四章多服务窗排队模型

M/M/n…第一节多服务窗损失制排队模型M/M/n/n第二节多服务窗等待制排队模型M/M/n第三节多服务窗混合制排队模型M/M/n/m第四节多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m43第四章多服务窗排队模型

M/M/n…第一节多服务窗损失制多服务窗排队模型总述M/M/n…的排队模型服务窗个数为多个假定单个服务窗的服务率为，则系统在某状态下的消亡率为j，j是此状态下正在忙的服务窗个数44多服务窗排队模型总述M/M/n…的排队模型21多服务窗损失制排队模型M/M/n/n顾客到达的间隔时间——负指数分布，参数为顾客接受服务的时间——负指数分布，参数为系统有n个服务窗系统最多容纳顾客n个因系统满员造成顾客损失451多服务窗损失制排队模型M/M/n/n顾客到达的间隔时间—1多服务窗损失制排队模型M/M/n/n

0k-121k23(k-1)kn-1nn(n-1)M/M/n/n排队模型的状态流图461多服务窗损失制排队模型M/M/n/n0k-121k1多服务窗损失制排队模型M/M/n/n求平稳分布471多服务窗损失制排队模型M/M/n/n求平稳分布51多服务窗损失制排队模型M/M/n/n目标参量P损称为爱尔兰损失公式，又称爱尔兰B公式，欧洲人称为爱尔兰第一公式

481多服务窗损失制排队模型M/M/n/n目标参量61多服务窗损失制排队模型M/M/n/n爱尔兰B公式的广泛性：我们把一个具有泊松输入的损失制排队系统称为爱尔兰损失制系统，这种损失制系统对于任何服务时间分布，它在统计平衡条件下的状态概率都相同与M/M/n/n相同。即M/M/n/n排队系统的平稳分布＝M/G/n/n排队系统的平稳分布491多服务窗损失制排队模型M/M/n/n爱尔兰B公式的广泛性5081多服务窗损失制排队模型M/M/n/n

服务窗占用的均值：服务窗的效率（劳动强度）511多服务窗损失制排队模型M/M/n/n92多服务窗等待制排队模型M/M/n顾客到达的间隔时间——负指数分布，参数为顾客接受服务的时间——负指数分布，参数为系统有n个服务窗系统最多容纳顾客个522多服务窗等待制排队模型M/M/n顾客到达的间隔时间——负2多服务窗等待制排队模型M/M/n0n-121n23(n-1)nn+1n+2nnnn个服务窗全忙服务窗还有空闲532多服务窗等待制排队模型M/M/n0n-121n2多服务窗等待制排队模型M/M/n求平稳分布542多服务窗等待制排队模型M/M/n求平稳分布122多服务窗等待制排队模型M/M/n目标参量P损=0A=Q=1平均等待队长平均服务队长552多服务窗等待制排队模型M/M/n目标参量132多服务窗等待制排队模型M/M/n平均系统队长平均等待时间平均系统内逗留时间562多服务窗等待制排队模型M/M/n平均系统队长142多服务窗等待制排队模型M/M/n来到系统的顾客必须排队等待的概率称为爱尔兰等待公式，又称爱尔兰C公式，欧洲人称为爱尔兰第二公式572多服务窗等待制排队模型M/M/n来到系统的顾客必须排队等等待制排队模型比较0.30.40.40.30.30.40.4*30.3*3M/M/33个M/M/11个M/M/1p00.07480.25(每个子系统）0.25顾客等候概率0.570.750.75Lq1.76.75（整个系统）2.25Ls3.959.00（整个系统）3.00Ws4.39103.33Wq1.897.52.50.40.40.40.3*358等待制排队模型比较0.30.40.40.30.30.40.43多服务窗混合制排队模型M/M/n/m顾客到达间隔时间——负指数分布，参数为顾客接受服务的时间——负指数分布，参数为mnm-n593多服务窗混合制排队模型M/M/n/m顾客到达间隔时间——3多服务窗混合制排队模型M/M/n/m

0n-121n23(n-1)nn+1nn个服务窗全忙服务窗还有空闲nmn603多服务窗混合制排队模型M/M/n/m0n-121n3多服务窗混合制排队模型M/M/n/m平稳分布613多服务窗混合制排队模型M/M/n/m平稳分布193多服务窗混合制排队模型M/M/n/m目标参量系统的损失概率P损＝系统的相对通过能力单位时间内损失的顾客数及平均进入系统的顾客数623多服务窗混合制排队模型M/M/n/m目标参量203多服务窗混合制排队模型M/M/n/m平均服务队长平均等待队长平均系统队长633多服务窗混合制排队模型M/M/n/m平均服务队长214多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m顾客源有限——m顾客源m=系统最大顾客数m，任何的需求都可以得到满足，P损=0闭合式排队系统：排队系统内顾客与顾客源中顾客总数是固定的(m-c)mnc个顾客m-c个顾客源644多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m顾客源有限——m4多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m0n-121nm(m-1)(m-2)(m-n+1)23(n-1)n(m-n)n+1nn个服务窗全忙服务窗还有空闲nmn654多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m0n-121nm4多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m求平稳分布664多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m求平稳分布244多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m目标参量674多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m目标参量254多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m例题（120页）内线占用外线，内线上产生电话呼叫，如果外线有空闲的则占有外线，如果没有空闲的外线则排队等待有m条内线和n条外线，采用BCD（BlockedCallDelayed）排队规则内线平均空闲时间：内线平均空闲概率内线m条（顾客源）外线n条（服务窗）684多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m例题（120页）4多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m内线被占用的概率内线占用、不占用的循环周期内线处于等待状态概率闲忙694多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m内线被占用的概率4多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m外线利用率外线损失系数，（空闲、浪费系数）704多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m外线利用率285M/M…排队系统的输出过程输出是与输入同强度的泊松流设排队系统为M/M/n/m(1nm)，设到达的顾客流是参数为的泊松流（在等待制时，进入系统的流是参数为的泊松流；在混合制与损失制时，进入系统的流是参数为(1-pm)的泊松流），如果把混合制与损失制时的损失流也看作系统的输出，则系统的输出是参数为的泊松流。证明略715M/M…排队系统的输出过程输出是与输入同强度的泊松流29队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布的关系设统计平衡条件下，顾客到达时看到的队长为ls-（不包括到达的这个顾客），ls-与平稳队长ls的分布相同吗？平稳分布记做：排队系统72队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布的关系设统计平衡条件下，队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布的关系举例D/D/1排队系统假定顾客到达间隔时间=服务时间=并且到达的间隔时间大于服务时间到达的顾客不需要等待，所以有：系统中最多有一个顾客，看到D/D/1排队系统中：73队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布的关系举例D/D/1排队到达与离开时的队长分布的关系下面我们研究三种时刻队长分布的关系pn-=P(顾客到达时系统中已有n个顾客)Pn=P(N=n)=平稳分布队长为n的概率pn+=P(顾客离开系统时系统还有n个顾客的概率)74到达与离开时的队长分布的关系下面我们研究三种时刻队长分布的关到达与离开时的队长分布的关系G/G/1系统pn-=pn+N(t)tn+1n跟踪N(t)实际走过的一条路线75到达与离开时的队长分布的关系G/G/1系统pn-=pn+N到达与离开时的队长分布的关系假定从状态n上跳到状态n+1的次数为An(t) 从状态n+1下跳到状态n的次数为Dn(t)由于到达与离去是一个一个发生的，并且n->n+1与n+1->n是交错发生的。所以到t时刻为止，An(t)与Dn(t)至多相差1设A(t)、D(t)为从任何状态开始上跳一步的总次数和下跳一步的总次数，在统计平衡条件下，有：76到达与离开时的队长分布的关系假定从状态n上跳到状态n+1的次到达与离开时的队长分布的关系77到达与离开时的队长分布的关系35M/G系统到达时刻看到的的队长分布

与队长分布的关系M/G系统有pn-(t)=

pn(t)，即任意时刻，到达的顾客看到的队长分布等于系统队长的分布证明 令A(t,t+∆t)表示在[t,t+∆t)]时间内到达了一个顾客，则

因为输入流是泊松流，所以A(t,t+∆t)发生的概率是∆t+o(∆t)，与N(t)=n这个事件无关。所以78M/G系统到达时刻看到的的队长