拉格朗日方程课件

动力学普遍方程拉格朗日方程拉格朗日方程动力学普遍方程拉格朗日方程1引言将达朗伯原理和虚位移原理结合起来推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动，两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题，它是用分析的方法解决动力学问题的出发点，因此它是分析力学的基础。对于解决复杂的非自由质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要比用动力学普遍方程简便得多。引言将达朗伯原理和虚位移原理结合起来21.1动力学普遍方程

设由n个质点组成的质点系，由达朗伯原理知，在质点系运动的任一瞬时，任一质点上作用的主动力，约束反力及其惯性力三者构成形式上的平衡力系，即

对该质点系应用虚位移原理，为此，取质点系的任何一组虚位移，则得设该质点受的是理想约束，则有故1.1动力学普遍方程设由n个质点31.1动力学普遍方程即将上式写成解析式，则有

以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合而得到的结果，称为动力学普遍方程，也称达朗伯——拉格朗日方程。动力学普遍方程可以叙述如下：在理想约束条件下，在任一瞬时作用在质点系上所有的主动力和虚加的惯性力，在该瞬时质点系所处位置的任何虚位移上的元功之和等于零。1.1动力学普遍方程即将上式写成解析式，则有41.1动力学普遍方程例1图示滑轮系统中，动滑轮上悬挂着重为的重物，绳子绕过定滑轮后，挂着重为的重物，设滑轮和绳子的重量不计，求重为的重物下降的加速度。解：以系统为研究对象，系统具有理想约束，系统所受的主动力为、，假想加上惯性力、。其中给系统以虚位移和，由动力学普遍方程，得由运动学关系代入上式得1.1动力学普遍方程例1图示51.1动力学普遍方程例2有两个半径皆为r的轮子，中心用连杆相连，在倾角为的斜面上作纯滚动，如图。设轮重皆为P，对轮心的转动惯量皆为J，连杆重量为Q，求连杆运动的加速度。解：以系统为研究对象，系统具有理想约束，系统所受的主动力有它们的重力。假想加上惯性力，如图。其中1.1动力学普遍方程例2有两61.1动力学普遍方程给连杆以平行斜面移动的虚位移，则轮子有相应的转动虚位移，根据动力学普遍方程即1.1动力学普遍方程给连杆以平行71.2拉格朗日方程

一、拉格朗日方程

设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，具有N个自由度，其位置可由N个广义坐标来确定。则有是广义坐标对式中为质点系的动能；时间的变化率，称为广义速度；是对应广义坐标的广义力。这就是拉格朗日方程，简称拉氏方程。它是由N个二阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分，就可以得出以广义坐标表示的质点的运动方程。1.2拉格朗日方程一、拉格朗日方程81.2拉格朗日方程二、保守系统的拉格朗日方程

在上述条件下，如果质点系所受的主动力都是有势力，就得到保守系统的拉格朗日方程式中为质点系动能和势能之差，称为拉格朗日函数。这就是保守系统的拉格朗日方程。

三、应用拉格朗日方程解题的步骤

1、确定研究对象，（一般以整个系统）判断系统的自由度数目，选取合适的广义坐标。

2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）1.2拉格朗日方程二、保守系统的拉91.2拉格朗日方程

3、计算对应每个广义坐标的广义力；当主动力为有势力时，需要写出用广义坐标表示的势能及拉格朗日函数。

4、计算诸导数：或

5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二阶常微分方程。由2N个初始条件，解得运动方程。1.2拉格朗日方程3、计算对应每个101.2拉格朗日方程

例3在水平面内运动的行星齿轮机构如图。已知动齿轮半径为r，重为P，可视为均质圆盘；曲柄OA重Q，可视为均质杆；定齿轮半径为R。今在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为M，使机构运动。求曲柄的运动方程。解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自由度，取曲柄转角为广义坐标。由运动学关系知，动齿轮的角速度与曲柄的角速度的关系为则系统的动能为1.2拉格朗日方程例3在水平面111.2拉格朗日方程给曲柄以虚位移，则对应的广义力为求诸导数1.2拉格朗日方程给曲柄以虚位移121.2拉格朗日方程由，得即积分得曲柄的运动方程为式中，、分别为初始转角和初始角速度。1.2拉格朗日方程由，得即积分得曲柄的运动方程为式131.2拉格朗日方程

例4如图轮A的质量为，在水平面上只滚动不滑动，定滑轮B的质量为，两轮均为均质圆盘，半径均为R，重物C的质量为，弹簧的弹性系数为，试求系统的运动微分方程。解：以系统为研究对象，系统具有一个自由度。取x为广义坐标，x从重物的平衡位置量起。系统的动能为设系统平衡时弹簧的静伸长为，则有关系式即1.2拉格朗日方程例4如图轮A141.2拉格朗日方程以系统平衡位置为弹力及重物C的零势能位置，则系统的势能为利用前面的关系，整理得代入保守系统的拉格朗日方程得即为系统的运动微分方程。则拉格朗日函数为1.2拉格朗日方程以系统平衡位置为151.2拉格朗日方程

例5如图，均质圆轮的质量为，半径为R，在水平面上只滚动不滑动。杆长L质量为与轮在圆心A铰接，试求系统的运动微分方程。解：以系统为研究对象，系统具有两个自由度。取x和为广义坐标。系统的动能为整理后得1.2拉格朗日方程例5如图，均质161.2拉格朗日方程系统的势能为则拉格朗日函数为代入拉格朗日方程得整理得（1）1.2拉格朗日方程系统的势能为171.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得整理后得（2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得整理后得（2）181.2拉格朗日方程例6如图轮为均质圆盘，质量为，半径为R，轮心O及重物A只能沿铅直方向运动，重物A的质量为，弹簧刚性系数为，原长为。试求系统的运动微分方程。解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。取x和为广义坐标。系统的动能为系统的广义力为1.2拉格朗日方程例6如图轮为191.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得整理得（1）代入拉格朗日方程得（2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得整理得（1）代201.2拉格朗日方程例7如图，物体A的质量为，B轮质量为，半径为R，在水平面上只滚动不滑动，物体A与水平面无摩擦，弹簧刚性系数为，试求系统的运动微分方程。解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取、为广义坐标。系统的动能为系统的广义力为1.2拉格朗日方程例7如图，物211.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得（1）代入拉格朗日方程得（2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得（1）代入拉格221.2拉格朗日方程例8实心均质圆柱A和质量分布与边缘的空心圆柱B，质量分别为、，半径均为R，两者用通过定滑轮的绳索相连，如图。设圆柱A沿水平面作纯滚动，滚动摩擦不计，圆柱B铅直下降。试求两圆柱的角加速度和质心的加速度。解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取、为广义坐标。系统的动能为系统所受主动力只有重力，且皆为有势力。取过圆柱的水平面为零势面，则系统的势能为1.2拉格朗日方程例8实心均质231.2拉格朗日方程故拉格朗日函数为求诸导数代入拉格朗日方程得（1）1.2拉格朗日方程故拉格朗日函数为求诸导数代入拉格241.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得（2）联立求解方程（1）、（2）得于是角加速度为1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得（2）联立求解251.2拉格朗日方程例9质量为的金属板放置在光滑水平面上，板上有半径为r、质量为的均质圆柱，圆柱在板上作纯滚动而不滑动，今有一水平常力拉动金属板，试求圆柱纯滚的角加速度和金属板的加速度。解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取、为广义坐标。系统的动能为系统的广义力为1.2拉格朗日方程例9质量为261.2拉格朗日方程求诸导数代入拉格朗日方程得（1）代入拉格朗日方程得（2）解得1.2拉格朗日方程求诸导数代入拉格朗日方程得（1）271.1动力学普遍方程例3均质圆柱体A和B质量均为m，半径均为R。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。解：以系统为研究对象，系统所受的主动力有圆柱的重力。设两轮的角加速度为、，轮B质心的加速度为。假想加上惯性力，如图。其中此系统具有两个自由度，取轮A、轮B的转角、为广义坐标。给系统一组虚位移，如图。则由动力学普遍方程得1.1动力学普遍方程例3均质圆柱体A281.1动力学普遍方程将惯性力及（1）式代入上式，得整理得由于虚位移、相互独立，要使上式成立，则有由运动学关系，有联立求解（2）（3）（4）式，得1.1动力学普遍方程将惯性力及（1）式代入上式，29

动力学普遍方程拉格朗日方程拉格朗日方程动力学普遍方程拉格朗日方程30引言将达朗伯原理和虚位移原理结合起来推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动，两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题，它是用分析的方法解决动力学问题的出发点，因此它是分析力学的基础。对于解决复杂的非自由质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要比用动力学普遍方程简便得多。引言将达朗伯原理和虚位移原理结合起来311.1动力学普遍方程

设由n个质点组成的质点系，由达朗伯原理知，在质点系运动的任一瞬时，任一质点上作用的主动力，约束反力及其惯性力三者构成形式上的平衡力系，即

对该质点系应用虚位移原理，为此，取质点系的任何一组虚位移，则得设该质点受的是理想约束，则有故1.1动力学普遍方程设由n个质点321.1动力学普遍方程即将上式写成解析式，则有

以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合而得到的结果，称为动力学普遍方程，也称达朗伯——拉格朗日方程。动力学普遍方程可以叙述如下：在理想约束条件下，在任一瞬时作用在质点系上所有的主动力和虚加的惯性力，在该瞬时质点系所处位置的任何虚位移上的元功之和等于零。1.1动力学普遍方程即将上式写成解析式，则有331.1动力学普遍方程例1图示滑轮系统中，动滑轮上悬挂着重为的重物，绳子绕过定滑轮后，挂着重为的重物，设滑轮和绳子的重量不计，求重为的重物下降的加速度。解：以系统为研究对象，系统具有理想约束，系统所受的主动力为、，假想加上惯性力、。其中给系统以虚位移和，由动力学普遍方程，得由运动学关系代入上式得1.1动力学普遍方程例1图示341.1动力学普遍方程例2有两个半径皆为r的轮子，中心用连杆相连，在倾角为的斜面上作纯滚动，如图。设轮重皆为P，对轮心的转动惯量皆为J，连杆重量为Q，求连杆运动的加速度。解：以系统为研究对象，系统具有理想约束，系统所受的主动力有它们的重力。假想加上惯性力，如图。其中1.1动力学普遍方程例2有两351.1动力学普遍方程给连杆以平行斜面移动的虚位移，则轮子有相应的转动虚位移，根据动力学普遍方程即1.1动力学普遍方程给连杆以平行361.2拉格朗日方程

一、拉格朗日方程

设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，具有N个自由度，其位置可由N个广义坐标来确定。则有是广义坐标对式中为质点系的动能；时间的变化率，称为广义速度；是对应广义坐标的广义力。这就是拉格朗日方程，简称拉氏方程。它是由N个二阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分，就可以得出以广义坐标表示的质点的运动方程。1.2拉格朗日方程一、拉格朗日方程371.2拉格朗日方程二、保守系统的拉格朗日方程

在上述条件下，如果质点系所受的主动力都是有势力，就得到保守系统的拉格朗日方程式中为质点系动能和势能之差，称为拉格朗日函数。这就是保守系统的拉格朗日方程。

三、应用拉格朗日方程解题的步骤

1、确定研究对象，（一般以整个系统）判断系统的自由度数目，选取合适的广义坐标。

2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）1.2拉格朗日方程二、保守系统的拉381.2拉格朗日方程

3、计算对应每个广义坐标的广义力；当主动力为有势力时，需要写出用广义坐标表示的势能及拉格朗日函数。

4、计算诸导数：或

5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二阶常微分方程。由2N个初始条件，解得运动方程。1.2拉格朗日方程3、计算对应每个391.2拉格朗日方程

例3在水平面内运动的行星齿轮机构如图。已知动齿轮半径为r，重为P，可视为均质圆盘；曲柄OA重Q，可视为均质杆；定齿轮半径为R。今在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为M，使机构运动。求曲柄的运动方程。解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自由度，取曲柄转角为广义坐标。由运动学关系知，动齿轮的角速度与曲柄的角速度的关系为则系统的动能为1.2拉格朗日方程例3在水平面401.2拉格朗日方程给曲柄以虚位移，则对应的广义力为求诸导数1.2拉格朗日方程给曲柄以虚位移411.2拉格朗日方程由，得即积分得曲柄的运动方程为式中，、分别为初始转角和初始角速度。1.2拉格朗日方程由，得即积分得曲柄的运动方程为式421.2拉格朗日方程

例4如图轮A的质量为，在水平面上只滚动不滑动，定滑轮B的质量为，两轮均为均质圆盘，半径均为R，重物C的质量为，弹簧的弹性系数为，试求系统的运动微分方程。解：以系统为研究对象，系统具有一个自由度。取x为广义坐标，x从重物的平衡位置量起。系统的动能为设系统平衡时弹簧的静伸长为，则有关系式即1.2拉格朗日方程例4如图轮A431.2拉格朗日方程以系统平衡位置为弹力及重物C的零势能位置，则系统的势能为利用前面的关系，整理得代入保守系统的拉格朗日方程得即为系统的运动微分方程。则拉格朗日函数为1.2拉格朗日方程以系统平衡位置为441.2拉格朗日方程

例5如图，均质圆轮的质量为，半径为R，在水平面上只滚动不滑动。杆长L质量为与轮在圆心A铰接，试求系统的运动微分方程。解：以系统为研究对象，系统具有两个自由度。取x和为广义坐标。系统的动能为整理后得1.2拉格朗日方程例5如图，均质451.2拉格朗日方程系统的势能为则拉格朗日函数为代入拉格朗日方程得整理得（1）1.2拉格朗日方程系统的势能为461.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得整理后得（2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得整理后得（2）471.2拉格朗日方程例6如图轮为均质圆盘，质量为，半径为R，轮心O及重物A只能沿铅直方向运动，重物A的质量为，弹簧刚性系数为，原长为。试求系统的运动微分方程。解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。取x和为广义坐标。系统的动能为系统的广义力为1.2拉格朗日方程例6如图轮为481.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得整理得（1）代入拉格朗日方程得（2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得整理得（1）代491.2拉格朗日方程例7如图，物体A的质量为，B轮质量为，半径为R，在水平面上只滚动不滑动，物体A与水平面无摩擦，弹簧刚性系数为，试求系统的运动微分方程。解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取、为广义坐标。系统的动能为系统的广义力为1.2拉格朗日方程例7如图，物501.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得（1）代入拉格朗日方程得（2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。1.2拉格朗日方程代入拉格朗日方程得（1）代入拉格511.2拉格朗日方程例8实心均质圆柱A和质量分布与边缘的空心圆柱B，质量分别为、，半径均为R，两者用通过定滑轮的绳索相连，如图。设圆柱A沿水平面作纯滚动，滚动摩擦不计，圆柱B铅直下降。试求两圆柱的角加速度和质心的加速度。解：以系统为研究对象