考研交流群-2014自控第1-8章zkyl

自动控制原理第八章非线性控制系统分析8-3

相平面法3相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法。其实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个点的移动轨迹，就可获得系统运动规律的全部信息。相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度及初始条件和参数对系统运动的影响。x

f

(x,

x)1.相平面的基本概念二阶系统的微分方程可由下列微分方程来描述：4相平面：二阶系统的二个变量看作是独,分别以对应于相平面上一个点，称为相点，代表了系统在该时刻的一个状态。立变量，一般是位置量x

和速度量xx、x

为横坐标和纵坐标构成的平面为相平面。而x、x

就叫做运动系统的相变量。在某一时刻t，x、x相轨迹：设初始时刻t0，初始条件x(0)=x0,相点从(x0,

x0

)开始，随着时间的增加，系统的状态不断变化，沿着时间增加的方向，将描述这些状态的相点连接起来，在相平面上就形成了一条轨迹线，这种反映系统状态变化的轨迹线叫相轨迹，如图：x15tt2t3t4x相图：对于某一微分方程，当初始条件不同时，不同的初始条件对应着不同的相轨迹，因此相平面上布满了一簇相轨迹，由这一簇相轨迹组成的相平面图，称作相图。相平面法：用相平面图分析系统的方法为相平面法。6的关系，直接相轨迹的绘制方法解析法解析法是从微分方程中找出x

和x的关系，从而在相平面上绘制相轨迹，当描述系统的微分方程比较简单时，用解释法比较方便。消变量法从

x

f

(x,

x)

中解出x，对x求导得到

x

，从x,x

中消去中间量t

，就得到x

x以t

为参量得参量方程即可。(2)直接积分法x

dx

dx

dx

x

dxdt

dx

dt

dxdtx

dx

f

(x,

x)7g(x)dx

h(x)dx0

0x

xxxh(x)dxg(x)dx

就得到x

x的关系。例：设系统的微分方程为x

x

0，初始条件为x(0)

x0

,x(0)

0

，试绘制系统的相轨迹。0x2

x2

x2

圆解：第法:从微分方程求得x=x0costx

x0

sin

t8第二种方法：x

dx

x

0dxxdx

xdxxx0

1

x2

1

x2

(0)

1

x22

2

20

x2

x2

x

2

圆2)

等倾等倾 是不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹的方法。它对非线性系统尤为重要。9的实质是用图解的方法，先绘出相轨迹的切线方向，然后从初始条件开始，沿切线方向绘制相轨迹。等倾等倾dxdx

f

(x,

x)

x

xdxx

dx

f

(x,x)

相轨迹方程它给出了相轨迹在(x,x)处的斜率。令dx

c等倾线方程fx(x,)

dxx10给定一个α，就可以画出一条直线，在这条线上，当相轨迹通过它时其切线斜率为α，因此把这条线称为等倾线。当α取不同值时，等倾线分布在整个相平面上。线性系统的等倾线是以原点为端点的一组射线，非线性系统的等倾线往往是曲线或折线。在每条等倾线上用小的带箭头的短线来表示α，即切线斜率，当给定初始条件后，可在其所在的等倾线上以切线方向作一线段与第二条等倾线相交，然后再以第二条等倾线的切线方向做线段，与下一条等倾线相交，直到做完。平滑处理后，所得的曲线就是相轨迹。11dx解：

x

dx

x令

dx

dx

x

x例:用等倾绘制x

x

0

的相轨迹。给α=-∞…，-2，-1，-0.5，0，0.5…∞画等倾线。当以（x0,x）为初始条件时，是一个圆。12应沿x的增加的方向由。④一般来说等倾线条数越多，作图精度越高，但条数过多，不但增加了计算量，可能还会引起一些人为的误差积累，故要取得适当，采用平均斜率的方法可以提高作图效率。①x

与x

比例尺一致；②

上半平面

x

0

故x的左向右，下半平面反之。③x轴上，因x

0

绘制等倾线时需注意的问题13相轨迹的运动特性相轨迹在相平面上的运动具有一定的规律，了解其运动特性可以使相平面作图简化。⑴运动方向：上半平面右行，下半平面左行，穿过实轴的相轨迹斜率为

⑵

对称：x轴：

f

(x,

x)

f

(x,x)x

轴：f(x,x)

f

(x,x)原点：f

(x,x)

f

(x,x)143.线性系统的相轨迹dcc线性二阶系统的相平面分析标准二阶系统的微分方程可表示为：c

2nc

n

c

02dc

2

c

2

c

n

n

2等倾线方程

c

n

c2n

可见等倾线是通过坐标原点的直线。15对于线性二阶系统，ζ

取值不同，其特征根在s平面上的分布不同，系统的运动规律也不一样。⑴0<ζ<1(欠阻尼）相轨迹为向心螺旋线，最终趋于原点。

0.5

,

n

116⑵

-1<

ζ

<0相轨迹为离心螺旋线，最

终发散到无穷。n17

0.5⑶ζ>1(过阻尼）相轨迹为非周期衰减曲线，最终趋于原点。

1.25

,

n

118⑷

ζ<

-1相轨迹为非周期发散。19⑸

ζ

=0相轨迹为围绕坐标原点的一簇椭圆，椭圆的参数由初始条件及ωn确定。20⑹正反馈系统描述正反馈系统的运动方程c

2

nc

n

c

02s

2

112

n

n是符号相异的两实根，因此系统不稳定，其过渡过程非周期发散，相轨迹趋于无穷。21xx

x

dx

f

(x,

x)

dx

f

(x,

x)(1)奇点若在某点（某些点）上有线性二阶微分系统dxx

0,

f

(x,

x)

0dx则

dx

0dx

022且不定值，这样的点定义为相轨迹的奇点，或称系统的平衡点。4.奇点和奇线线性二阶系统依据其特征根在s平面上分布的不同，可把奇点分为以下六种类型：⑴0<ζ<1,系统有二个具有负实部的共轭复根，奇点为稳定焦点。⑵ζ>1,系统有二个不等的负实根，奇点为稳定节点。⑶-1<ζ<0,系统有一对具有正实部的共轭复根，奇点为不稳定焦点。⑷ζ<-1,系统有二个不等的正实根，奇点为不稳定节点。⑸ζ=0,系统有一对纯虚根，奇点为稳定中点。⑹正反馈系统：系统的特征根为一正一负的实根，奇点称为鞍点。23270xx

x0x

x0x

f

(x的线性二阶微分方程。非线性系统的平衡点类型分析将

f

(x,

x)

在奇点

(x0

,

x0

)

处展开成级数，略去高次项。奇点附近关于x(1)

奇线非线性系统的平衡点可能不止一个，有时可能有无穷多个，这些奇点就会构成奇线。奇线是一种特殊的相轨迹，它将相平面分为具有不同运动特点的区域，最常见的就是极限环。由于非线性系统会出现自激振荡，相应的相平面就会出现一条孤立的封闭曲线，曲线附近的相轨迹渐进趋向于这条封闭曲线，或从曲线附近离开，这些特殊的相轨迹就是极限环。极限环将相平面分为内、外二部分，相轨迹不能穿越极限环。极限环是非线性系统特有现象，它们是相互孤立的，在任何极限环附近都不可能有其它的极限环。极限环上系统的时间响应表现为非线性系统的自激振荡。28根据极限环邻近相轨迹的特点，可将极限环分成以下三种：⑴稳定的极限环29当

t

,如果起始于极限环 和外部的相轨迹均卷向极限环，则该极限环叫做稳定的极限环。极限环发散至极限环，是稳定区域，极限环外部收敛于极限环，是稳定区域，不论起始点在哪，系统运动最终会回到极限环表现为自振荡，而且这种振荡只与系统结构和参数有关，与初始条件无关。30和外部的相轨迹均卷离极限环，则该极限环为不稳定极限环，环内相轨迹收敛于环内的奇点，说明是不稳定区域，环外相轨迹发散至无穷远处，说明是不稳定区域。⑵不稳定的极限环当t

时，起始于极限环31⑶半稳定极限环当t

时，起始于环内（外）的相轨迹卷向极限环，起始于环外（内）的相轨迹卷离极限环，这种极限环叫半稳定的极限环。32例：求奇点和极限环的实例已知非线性系统的微分方程为：x

0.5x

2x

x2

0试求系统的奇点并判断其类型。解：相轨迹方程为：dxxdx

0.5x

2x

x2

令

dx

0dx

0332

0.5x

2x

x

0x

0有

x1

0,

x2

2,

x1

0

x2

2x1

0

x2

0有二个奇点：为判断奇点类型，需要对非线性系统在奇点附近进行微分线性化，即计算各奇点处的一阶偏导数求得它在奇点附近的线性增量方程。(0,0)

(2

2x)

|(0,0)

2x在奇点(0,0)处，f

(x,x)|(0,0)

0.5xf

(

x,

x)

|

x

f

x

f

x

2x

0.5xx

x34x

0.5x

2x

0解得：x1,2

0.25

1.39j系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根，故奇点(0,0)为稳定的焦点。在奇点(-2,0)处，(-2,0)(-2,0)

(2

2x)

|

2xf(

x,

x)

|(-2,0)

0.5xf(

x,

x)

|

x

f

x

f

x

2x

0.5xx

xx

0.5x

-

2x

0解得：x1

1.69,

x2

1.19系统在奇点(-2,0)处有一正一负二个实根，故奇点(-2,0)为鞍点。356.非线性系统的相平面分析常见的非线性特性多数可以用分段线性来近似，对这类系统进行相平面分析的一般方法如下：首先用几条分界线将向平面环分为几个线性区域，然后按各段的微分方程画出各区域的相轨迹，最后将各区域的相轨迹连成实的连续曲线，这就是完整的相轨迹曲线。通常把各线性区域的分界线称为开关线或转换线，在开关线上相轨迹发生改变的点为转换点。在分区绘制相轨迹时，首先要确定奇点的位置和类型，每个区域都有一个奇点，如果奇点位于区域内，称这种奇点为实奇点，否则，为虚奇点。在二阶非线性控制系统中，只能有一个实奇点，其余的都为虚奇点。36Ks(Ts

1)remcko系统初始状态为零，输入为r(t)

R

*1(t)试绘制偏差e

的相平面图。371、具有死区特性的非线性控制系统具有死区特性的非线性系统如图：Ks(Ts

1)remckoe(t)

系统微分方程：Tc(t)

c(t)

Km(t)k

(e(t)

)

,m(t)

0

,e(t)

k

(e(t)

)

,e(t)

e(t)

r(t)

c(t)38(I

)

:e

e(t)

(II

)

:(III

)

:Te

e

Kke

Tr

r

Kk

,Te

e

Tr

r,Te

e

Kke

Tr

r

Kk

,

e

(I

)

:(II

)

:(III

)

:e

e(t)

T

(e

)

(e

)

Kk(e

)

0

,Te

e

0

,T

(e

)

(e

)

Kk(e

)

0

,

e

r(t)

r(t)

0由39，得给定参数T

1,K则：区域I：(I

)

:(II

)

:(III

)

:e

e(t)

(e

)

(e

)

(e

)

0

,e

e

0

,(e

)

(e

)

(e

)

0

,

e

奇点(,

0)

为稳定焦点，

0.540区域II：

奇点为(x,

0),

x

(,

)

，相轨迹沿直线收敛；区域III

：奇点

(,

0)

为稳定焦点，

0.5eT

1

,

K

1

,

k

1

,

0.4e41T

1

,

K

3

,

k

1

,

0.4ee42T

1

,

K

3

,

k

1

,

0.2ee43eT

1,

K

10

,

k

1

,

0.2e44T=1,K=4,e0=M0=0.2

，若系统开始处于零初始状态，试做出r(t)=R*1(t)时系统的相平面图。Ks(Ts

1)remcM045e0o2、具有饱和特性的非线性控制系统设具有饱和特性的非线性控制系统如图：

0

00M e

e解：根据结构图，有：Tc(t)

c(t)

Km(t)

M0

e

e0且m(t)

ke e

e00

0

e(t)

r(t)

c(t)因此，以e

为输出列写系统的运动方程：Te

e

KM0

Tr

r e

e0

Te

e

Ke

Tr

r

e

e

Te

e

KM

Tr

r e

e046

1eMk

0开关线为e

成三个区域。当和e

e0

两条直线，将e

e

平面分00

0r(t)

R

*1(t)时，r

r

0，所以Te

e

KM0

0

e

e0

Te

e

Ke

0

e

e

Te

e

KM

0

e

e

e

KMde

Tede0

T

1所以等倾线方程：e

KM

0047T

1

e

KMdede

e

KM

0Te

0

区，有：①在e

e0

区，有：②同理e

e0

KeT

1de

e

e在

e

e

区，有：de

e

Ke

则渐近于在e<-e0区，相轨迹渐近于e

KM0

直线，在e>e0区，e

KM0零初始条件下：c(0)

c(0)

0,r(0)

R,r(0)

0,e(0)

Re(0)

0，R取2。相轨迹最后进入

e

e0区后，不再进入其他区，经过有限次震荡后，收敛于原点，稳态误差为零。49从饱和特性可以看出：如果系统固有部分具有良好的阻尼特性，系统进入中间区域后，呈现出超调量、调节时间、振荡次数等方面都比较好的特性，而且没有极限环，不产生自激振荡。饱和点的大小决定分区切换次数的多少，饱和点值大，线性工作区就大，分区切换次数就少，非线性振荡次数就少，饱和非线性对系统的影响就少。50，3、继电器非线性特性控制系统(1)具有死区特性的继电器设具有死区继电器特性的控制系统，当r(t)=1(t)，分析系统的性能。

M e

hM e

hTc

c

m

且

m

0

e

hKs(Ts

1)remcoMh51Te

e

KM

e

hTe

e

KM

e

he

h

Te

e

0又e(t)

r(t)

c(t)e>h区：deT

1e

KMTede

e

KM

KMT

1de

Tee

de

e

KM

e<-h区：无奇点，等倾线为一簇平行于e轴的直线，相轨迹趋近于α=0,e

KM直线无奇点，α为一簇平行于e轴的直线，相轨迹渐近于α=0，e

KM

的直线。52de

e

1|e|<h区：de

Te

T

相轨迹是一簇斜率为-1/T的互相平行直线，无