九年级数学中考专题复习旋转最值压轴题考前专题提升训练

九年级数学中考复习《旋转最值压轴题》考前专题提升训练（附答案）一．选择题1．如图，将菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转，得菱形AB′C′D′，连接AC，AC′，若∠B＝120°，∠BAD'＝100°，则∠CAC′等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°2．如图，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到菱形AB'C'D'，使点D'落在对角线AC上，连接DD'，B'D'，则下列结论一定正确的是（）A．DD'＝B'D' B．∠DAB'＝90° C．△AB'D'是等边三角形 D．△ABC≌△AD'C'3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是（）A． B． C． D．4．如图，有公共顶点A，B的正五边形ABEFG和正方形ABCD按如图所示位置摆放，连接AC交正五边形于点M，过C作CN∥GF交AD于N点，则∠ACN的度数为（）A．10° B．9° C．11° D．12°5．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，且∠ABC＝∠ABE＝60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A． B．3 C．1 D．26．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝60°，E为BC边的中点，F为AB边上一动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A． B．1 C． D．7．如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一动点，将AE绕点A逆时针旋转30°至点F，连接CF、DF，若∠ABC＝60°，AB＝2，设△CDF的面积为S，则关于S说法正确的是（）A．S＝﹣1 B．S＝ C．﹣1≤S≤ D．≤S≤8．如图，菱形ABCD，E是对角线AC上一点，将线段DE绕点E顺时针旋转角度2α，点D恰好落在BC边上点F处，则∠DAB的度数为（）A．α B．90°﹣α C．180°﹣2α D．2α9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，其中，E，F是点B，C旋转后的对应点，BE，CF相交于点D．若四边形ABDF为菱形，则∠CAE的大小是（）A．90° B．75° C．60° D．45°10．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠A＝60°，点O是对角线BD的中点．如图在点O处放置一个含60°角的三角板OMN，把这个三角板绕点O旋转，斜边ON与边AD交于点F，直角边OM与边DC交于点E，若∠MON＝60°，则四边形OEDF的面积是（）A．随着三角板OMN的位置的变化而变化 B． C． D．11．如图，已知菱形ABCD和菱形AEFG，∠BAD+∠EAG＝180°，AD＝2．AG＝，连接DG，BE．将菱形AEFG绕点A旋转，当∠ABE最大时，S△ADG等于（）A．2 B． C．1 D．12．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为（）A．1+ B．2+ C．3 D．3﹣13．如图，菱形ABCD的形状和大小保持不变，将菱形ABCD绕点B旋转适当角度得到菱形A'BC'D'，边A'D'与AD，DC交于E，F（D，E，F不重合），连接EB，FB．在旋转过程中，下列判断错误的是（）A．EB平分∠AED' B．FB平分∠A'FC C．△DEF的周长是一个定值 D．S△DEF+2S△BEF＝S菱形ABCD14．如图菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（）A．3 B．2 C．4 D．2+2二．填空题15．如图，等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D是AB上一点，AD＝2，BD＝4，E是边BC上的动点，若点E绕点D逆时针旋转30°的对应点是F，连CF，则CF的最小值是．16．如图，正方形ABCD中，，把正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB'C'D'，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为．17．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转，当点A′落在正方形ABCD的对称轴MN上时，A′M的长为．三．解答题18．在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为△ABC外一动点，连接DA，DB，DC．（1）如图1，当△ACD为等边三角形时，求∠ADB的大小；（2）若∠ADB＝135°．①如图2，求的值；②如图3，点E为AC上一点，CE＝3，AE＝1，连接BE，DE，当△BDE的面积最大时，直接写出△ADB的面积．19．如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心，将菱形ABCD逆时针旋转α（0°＜α＜30°）得到菱形AB'C'D'，C'D'交对角线AC于点M，边AB的延长线交B'C'于点N．（1）当D'M＝B'N时，求α的度数；（2）如图2，对角线B'D'交AC于点H，交AN于点G，延长C'D'交AD于点E，连接EH，若菱形ABCD的周长为正数a，试探索：在菱形ABCD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜30°）的过程中，△EHD'的周长是否为定值，若是，试求出此定值；若不是，请说明理由．20．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N．【观察猜想】（1）线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；【探究证明】（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．21．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接DE、BF，M是BF的中点．【观察猜想】（1）线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；【探究证明】（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．（3）若正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH的最小值．22．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长；（3）拓展应用如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长23．已知点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝，BE＝2．以BE为边向右侧作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α度（0≤α≤90°），连结AE，CG（如图）．（1）求证：△ABE≌△CBG．（2）当点E在BD上时，求CG的长．（3）当∠AEB＝90°时，正方形BEFG停止旋转，求在旋转过程中线段AE扫过的面积．（参考数据：，，，）24．如图1，BM＝BN＝8，∠MBN＝90°，正方形BEFG的顶点E、G分别在线段BN、BM上，且BE＝4，点P、Q分别是边BG、BE的中点，将正方形BEFG绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜90°）．（1）问题发现当α＝0°时，线段MP与NQ之间的位置关系和数量关系为．（2）拓展探究试判断：在旋转过程中，线段MP与NQ之间的关系有无变化？请仅就图2的情况给出证明；（3）问题解决当正方形BEFG旋转至M、P、Q三点共线时，直接写出NQ的长．25．如图（1），正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝12，AE＝6，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转a（0°≤α≤45°）．（1）如图（2），正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE＝DG；（2）在旋转的过程中，当∠BEA＝120°时，试求BE的长；（3）BE的延长线交直线DG于点P，在旋转的过程中，是否存在某时刻BF＝BC？若存在，试求出DP的长；若不存在，请说明理由．

参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠DAD'＝∠BAD'﹣∠BAD＝40°，∵将菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转，得菱形AB′C′D′，∴∠CAC'＝∠DAD'＝40°，故选：B．2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，∵将菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到菱形AB'C'D'，∴AD＝AD'，CD＝C'D'，∠AD'C'＝∠ADC，∴AB＝AD'，BC＝C'D'，∠ABC＝∠AD'C'，∴△ABC≌△AD'C'（SAS），故选：D．3．解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，∴OB＝AB＝1，∴OA＝OB＝，∴AC＝2，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP＝∠EAG＝60°，∴∠CEP+∠ACD＝90°，∴∠CPE＝90°，∴PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3﹣）＝﹣1．故选：A．4．解：延长CN交AG于H，∵五边形ABEFG是正五边形，∴∠G＝∠GAB＝108°，∵CN∥GF，∴∠CHA＝108°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，∴∠GAB＝63°，∴∠ACN＝180°﹣108°﹣63°＝9°．故选：B．5．解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE＝AB＝BC，BF＝BG，EF＝AG，∴△BFG是等边三角形．∴BF＝BG＝FG，∴AG+BG+CG＝EF+FG+CG．根据“两点之间线段最短”，∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，∴∠EBH＝60°，∵BE＝AB＝2，∴BH＝，EH＝3，∴EC＝2EH＝6．∵∠CBE＝120°，∴∠BEF＝30°，∵∠EBF＝∠ABG＝30°，∴EF＝BF＝FG，∴EF＝CE＝2，故选：D．6．解：如图1，记AB与CD的中点分别为点M、N，连接MN、EM，则MN∥BC，∵点E是BC的中点，四边形ABCD是菱形，∴BM＝BE，∵∠B＝60°，∴△BME为等边三角形，∴∠BEM＝60°，∵△EFG是等边三角形，∴EF＝EG，∠FEG＝60°，∴∠BEM+∠MEF＝∠FEG+∠MEF，即∠BEF＝∠MEG，∴△BEF≌△MEG（SAS），∴∠B＝∠GME＝60°，∴∠BEM＝∠GME＝60°，∴GM∥BC，∵MN∥BC，∴点G在MN上运动，∴CG⊥MN时，CG的值最小，如图2所示，∵菱形ABCD的边长为2，CD＝2，∴CN＝1，∵∠BCD＝120°，∠GCB＝90°，∴∠GCN＝30°，在Rt△GCN中，CG＝CN•cos∠GCN＝1×＝．故选：C．7．解：如图，过F作MN⊥AB交BA的延长线于M，交CD于点N，过D作DH⊥BA交BA的延长线于H，过A作AG⊥BD于G，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝2，∴∠ABD＝30°，AB＝CD＝2，BD＝2，CD∥AB，∴∠HAD＝60°，∴AH＝，DH＝＝，∵过F作MN⊥AB交BA的延长线于M，交CD于点N，过D作DH⊥BA交BA的延长线于H，∴四边形DHMN是矩形，∴DH＝MN＝，∵将AE绕点A逆时针旋转30°至点F，∴∠EAF＝∠ABD＝30°，AE＝AF，∵∠BAF＝∠BAE+∠EAF，∠AED＝∠BAE+∠ABD，∴∠BAF＝∠AED，∵过A作AG⊥BD于G，∴∠AMF＝∠AGE＝90°，∴△AMF≌△EGA（AAS），∴FM＝AG，∵S，∴S，∴FM＝AG＝1，∴FN＝MN﹣FM＝，∵CD∥AB，MN⊥AB于M，∴MN⊥CD，∴S＝S，故选：A．8．解：如图，连接BE，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC，∠DAB＝∠DCB，∠ACD＝∠ACB，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE，∠EDC＝∠EBC，∵将线段DE绕点E顺时针旋转角度2α，∴DE＝EF，∠DEF＝2α，∴BE＝DE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∴∠EDC＝∠EBC＝∠EFB，∵∠EFB+∠EFC＝180°，∴∠EDC+∠EFC＝180°，∵∠EDC+∠EFC+∠DEF+∠DCF＝360°，∴∠DCF＝180°﹣2α＝∠DAB，故选：C．9．解：∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，∴∠EAF＝∠BAC＝40°，AB＝AE，∵四边形ABDF为菱形，∴AF∥BE，∴∠FAE＝∠AEB＝40°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝40°，∴∠BAE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠CAE＝60°，故选：C．10．解：过点O作OG∥BC于G．∵菱形ABCD中，∠A＝60°，∴∠C＝60°，∠ABC＝120°，∠DBC＝∠ABD＝∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠DOG＝∠DGO＝60°，∴ODG＝60°，∴OD＝OG＝DG，∵∠EOF＝60°，∴∠EOF＝∠DOG，∴∠FOD＝∠EOG，∵OD＝OG，∠FDO＝∠EGO＝60°，∴△FDO≌△EGO（ASA），∴S△FDO＝S△EGO，∴S四边形OEDF＝S△FDO+S△DOE＝S△EGO+S△DOE＝S△OOG＝＝4．故选：D．11．解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是菱形，∴AD＝AB＝2，AG＝AE＝，当BE⊥AE时，∠ABE的值最大，此时cos∠BAE＝＝，∴∠BAE＝30°，∵∠DAB+∠EAG＝180°，∴∠BAE+∠DAG＝180°，∴∠DAG＝150°，过点G作GT⊥DA交DA的延长线于点T．在Rt△AGT中，AG＝，∠GAT＝30°，∴GT＝AG•sin30°＝S△ADG＝•AD•GT＝×2×＝，故选：D．12．解：如图连接AC，BD相交于O，BC与C'D'于E点．∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°∴∠CAB＝30°＝∠CAD，AC⊥BD，AO＝CO，B0＝DO∵AB＝2∴DO＝1，AO＝DO＝∴AC＝2∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′∴∠D'AB＝30°，AD＝AD'＝2∴A，D'，C三点共线∴CD'＝CA﹣AD'＝2﹣2又∵∠ACB＝30°∴D'E＝﹣1，CE＝D'E＝3﹣∵S阴影部分＝S△ABC﹣S△D'EC∴S阴影部分＝××1﹣×＝3﹣故选：D．13．解：如图，过点B作BH⊥A′D′于H，BM⊥AD于M，BN⊥CD于N．∵菱形BA′D′C′是由菱形ABCD旋转得到，菱形的每条边上的高相等，∴BM＝BH＝BN，∵BH⊥A′D′于H，BM⊥AD于M，BN⊥CD于N，∴BE平分∠AED′，BF平分∠A′FC，故选项A，B不符合题意，∵∠BME＝∠NHE＝90°，BE＝BE，BM＝BH，∴Rt△BEM≌Rt△BEH（HL），∴EH＝EM，同法可证，FH＝FN，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝DE+EM+DF+FN＝DM+DN，∵∠BMA＝∠BNC＝90°，BM＝BN，BA＝BC，∴Rt△BMA≌Rt△BNC（HL），∴AM＝CN，∵DA＝DC，∴DM＝DN，∴△DEF的周长＝2DM＝定值，故选项C不符合题意，故选：D．14．解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB，∵∠A＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝2，∴GB+GC≥2，∴GB+GC的最小值为2．故选：B．二．填空题15．解：如图，将DB逆时针旋转30°得到DM，连接BM，作射线MF，过点A作AQ⊥BC于Q，过点C作CH⊥MF于H，设DM交BC于G，MF交BC于K，过点G作GN⊥AB于N，∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝AD+BD＝2+4＝6，AQ⊥BC，∴∠ABC＝30°，∴AQ＝AB＝3，∴BQ＝CQ＝＝3，∴BC＝2BQ＝6，∵∠BDM＝∠EDF＝30°，∴∠BDM+∠MDE＝∠MDE+∠EDF，即∠BDE＝∠MDF，∵DB＝DM，DE＝DF，∴△DBE≌△DMF（SAS），∴∠DBE＝∠DMF＝30°，∵∠DMB＝∠DBM＝＝75°，∴∠BKM＝∠CKH＝30°，∠BDG＝∠DBG＝30°，即点F在射线MF上移动，当且仅当CF⊥MF时，CF的值最小，∵GN⊥BD，∴BN＝DN＝2，设GN＝x（x＞0），则BG＝2x，∵BN2+GN2＝BG2，∴22+x2＝（2x）2，解得：x＝，∴BG＝DG＝，∴GM＝4﹣＝GK，∴BK＝BG+GK＝4，∴CK＝BC﹣BK＝6﹣4，在Rt△CKH中，∠CKH＝30°，∴CH＝CK＝×（6﹣4）＝3﹣2，∴CF的最小值为3﹣2；故答案为3﹣2．16．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝，∠B＝90°，∠ACD＝∠ACB＝∠CAD＝45°，∴AC＝AC′＝AB＝2，∵AB，∴CB′＝TB′＝CD＝DT＝2﹣，∴S阴＝S扇形CAC′﹣S△CDT﹣S△CTB′＝﹣×（2﹣）2﹣（2﹣）2＝+4﹣6．故答案为：．17．解：∵将正方形ABCD绕点B顺时针旋转，∴AB＝A'B＝4，∵MN是正方形ABCD的对称轴，∴BN＝2，MN＝4，∴A'N＝＝＝2，∴A'M＝4﹣2，故答案为：4﹣2．三．解答题18．解：（1）∵△ACD为等边三角形，∴∠CDA＝60°＝∠ACD，AC＝CD，∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，∵CA＝CB＝CD，∴∠CDB＝75°，∴∠ADB＝∠ADC+∠CDB＝135°；（2）①如图2，过点B作BE⊥BD，交AD的延长线于E，BF⊥AB，交AC的延长线于F，连接DF，∵∠ADB＝135°，∴∠BDE＝45°，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝AC，∵DB⊥BE，AB⊥BF，∴∠ABF＝∠DBE＝90°，∴∠F＝∠E＝∠EDB＝∠BAC＝45°，∠ABE＝∠DBF，∴DB＝BE，AB＝BF，∴△ABE≌△FBD（SAS），∴∠BDF＝∠BEA＝45°，∴∠EDF＝90°，∵∠BFC＝45°，∠ACB＝90°，∴∠BFC＝∠FBC＝45°，∴BC＝CF，∴BC＝CF＝AC，∴CD＝AC，∴＝；②∵BC＝AC＝CD，∴点A，点B，点D在以点C为圆心，AC为半径的圆上，如图3，设CD与BE交点为H，∴当CD⊥BE时，点D到BE的距离最大，即△BDE的面积有最大值，∵CE＝3，AE＝1，∴AC＝BC＝CD＝4，∴BE＝＝＝5，∵S△BCE＝BE×CH＝×BC×CE，∴CH＝＝，∴EH＝＝＝，∴S△ABD＝S四边形BCED+S△ADE﹣S△ABC，∴S△ABD＝×5×4+×4××﹣×4×4＝．19．解：（1）∵菱形AB'C'D'是由菱形ABCD旋转所得，∴AB'＝AD'，∠AB'N＝∠AD'M，又∵D'M＝BN，∴△AD'M≌△AB'N（SAS），∴∠D'AM＝∠B'AN＝α，又∵AC为菱形ABCD的对角线，且∠BAD＝60°，∴∠CAD＝30°＝∠D'AM+∠D'AD＝2α，∴α＝15°；（2）∵菱形AB'C'D'是由菱形ABCD旋转所得，∴∠B'AG＝∠D'AE＝α，∵菱形ABCD的周长为a，∴AB'＝AD'＝，又∵∠B'AD'＝∠BAD＝60°，∴∠AD'C'＝120°，且∠AD'E＝60°，∴∠AB'G＝∠AD'E＝60°，，∴△AB'G≌△AD'E（ASA），∴B'G＝D'E，AG＝AE，又∠GAH＝∠HAE＝30°，∴△AGH≌△AEH（SAS），∴HE＝HG，∵AB'＝AD'，∠B'AD'＝60°，∴△AB'D'是等边三角形，∴B'D'＝AB'＝，∴△EHD'的周长＝HD'+HE+D'E＝HD'+HG+B'G＝B'D'＝，∴三角形EHD'的周长为定值．20．解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，∴AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°，∴△DAE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠AFB＝90°，在Rt△BAF中，M是BF的中点，∴AM＝FM＝BM＝BF，∴DE＝2AM．∵AM＝FM，∴∠AFB＝∠MAF，又∵∠ADE+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠MAF＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠MAF）＝90°，即AN⊥DN；故答案为DE＝2AM，DE⊥AM．（2）仍然成立，证明如下：延长AM至点H，使得AM＝MH，连接FH，∵M是BF的中点，∴BM＝FM，又∵∠AMB＝∠HMF，∴△AMB≌△HMF（SAS），∴AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，∴AB∥HF，∴∠HFG＝∠AGF，∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形，∴∠DAB＝∠AFG＝90°，AE＝AF，AD＝AB＝FH，∠EAG＝∠AGF，∴∠EAD＝∠EAG+∠DAB＝∠AFG+∠AGF＝∠AFG+∠HFG＝∠AFH，∴△EAD≌△AFH（SAS），∴DE＝AH，又∵AM＝MH，∴DE＝AM+MH＝2AM，∵△EAD≌△AFH，∴∠ADE＝∠FHA，∵△AMB≌△HMF，∴∠FHA＝∠BAM，∴∠ADE＝∠BAM，又∵∠BAM+∠DAM＝∠DAB＝90°，∴∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠DAM）＝90°，即AN⊥DN．故线段DE与AM之间的数量关系是DE＝2AM．线段DE与AM之间的位置关系是DE⊥AM．21．解：（1）如图1，AM交DE于点N，∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，∴AD＝AB，AE＝AF，∠DAE＝∠BAF＝90°，∴△DAE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∵M是BF的中点，∴AM＝BF，∴BF＝2AM，∴DE＝2AM；∵BM＝BF，∴AM＝BM，∴∠MAB＝∠ABF，∴∠MAB＝∠ADE，∴∠MAB+∠AEN＝∠ADE+∠AEN＝90°，∴∠ANE＝90°，∴DE⊥AM，故答案为：DE＝2AM，DE⊥AM．（2）成立，理由如下：如图2，延长AM到点H，使HM＝AM，连接BH，则AH＝2AM，∵∠BMH＝∠FMA，BM＝FM，∴△HMB≌△AMF（SAS），∴∠MBH＝∠MFA，BH＝AF＝AE，∴BH∥AF，∵AF＝GF，∠AFG＝90°，∴∠FAG＝∠FGA＝45°，∴∠ABH＝180°﹣∠FAG＝135°，同理∠EAG＝∠EGA＝45°，∴∠DAE＝45°+90°＝135°，∴∠ABH＝∠DAE，∵AB＝AD，∴△ABH≌△DAE（SAS），∴DE＝AH＝2AM，∠BAH＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAN＝∠BAH+∠DAN＝∠BAD＝90°，∴∠AND＝90°，∴DE⊥AM．（3）如图3，延长DC到点K，使CK＝CD，连接AK交BC于点L，连接KG、GA，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥DK，∵BC垂直平分DK，∴KG＝DG，由翻折得AD＝HG，∠ADG＝∠HGD，∵DG＝GD，∴△ADG≌△HGD（SAS），∴GA＝DH，∴DG+DH＝KG+GA，∵KG+GA≥AK，∴DG+DH≥AK，∴当点G与点L重合时，KG+GA＝AK，此时KG+GA的值最小，∴DG+DH＝AK的值也最小，∵∠ADK＝90°，AD＝4，DK＝2CD＝8，∴AK＝＝＝4，∴DG+DH的最小值为4，故答案为：4．22．解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如图1：延长BE交AD于N，交DG于H，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠ABE+∠ANB＝90°，∴∠ADG+∠DNH＝90°，∴∠DHN＝90°，∴BE⊥DG；（2）如图，当点G在线段DE上时，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB＝10，GE＝AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，∴GE＝5﹣5，∴AE＝＝5﹣5，当点E在线段DG上时，同理可求AE＝5﹣5，故答案为：5﹣5；（3）如图，若点G在线段DE上时，∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，又∵＝，∴△AGD∽△AEB，∴，∠DGA＝∠AEB，∴BE＝DG，∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，∴∠GAE＝∠DEB＝90°，∵DB2＝DE2+BE2，∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），∴BE＝12，∵点M，N分别是BD，DE的中点，∴MN＝BE＝6；如图，当点E在线段DG上时，同理可求：BE＝16，∵点M，N分别是BD，DE的中点，∴MN＝BE＝8，综上所述：MN为6或8，故答案为：6或8．23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵四边形BEFG是正方形，∴BE＝BG，∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠CBG，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（SAS）；（2）解：作EH⊥AB于