高数课件2-6gauss公式

第六节公式通量与散度Green公式推广Gauss公式公式一、二、通量与散度前面Newton-Lebniz

公式推广到了平面区域的情况，得到了Green

公式。此公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。下面再把Green

公式做进一步推广，这就是下面将要介绍的Gauss

公式，Gauss

公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，同时Gauss

公式也是计算曲面积分的一有效方法。一、Gauss公式定理设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数,则有公式

x

y

z(P

Q

R)dv

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy(

)dvx

y

zP

Q

R

(

P

cos

Q

cos

R

cos

)dS这里是的整个边界曲面的外侧，cos

,cos

,cos

是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.或oxyz123xyD证明首先假设穿过

且平行于坐标轴的直线与的边界曲面的交点恰好为两个设闭区域在面xoy上的投影区域为Dxy

.由1

,2

和3

三部分组成,:1

z

z1

(

x,

y)2

:

z

z

(

x,

y)2以投影区域的边界曲线为准线，母线平行与坐标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分3根据三重积分的计算法2z

(

x,

y

){dz}dxdyxyz1

(

x,

y

)

DRRdv

zz

{R[

x,

y,

z2

(

x,

y)]

R[

x,

y,

z1

(

x,

y)]}dxdy.Dxy根据曲面积分的计算法(1取下侧,2取上侧,3取外侧)

R(

x,

y,

z)dxdy

R[

x,

y,

z1

(

x,

y)]dxdy,1Dxy

R(

x,

y,

z)dxdy

R[

x,

y,

z2

(

x,

y)]dxdy,2Dxy

R(

x,

y,

z)dxdy

0.3于是

R(x,y,z)dxdy

{R[

x,

y,

z2

(

x,

y)]

R[

x,

y,

z1

(

x,

y)]}dxdy,Dxy

z

R

dv

R(

x,

y,

z)dxdy.同理

x

P

dv

P(

x,

y,

z)dydz,

y

Q

dv

Q(

x,

y,

z)dzdx,合并以上三式得：x

y

z

(P

Q

R)dv

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy——————

公式由两类曲面积分之间的关系知()dvP

Q

Rx

y

z

(

P

cos

Q

cos

R

cos

)dS.Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.注1.

若

不满足上述条件，可以引进若干张辅助曲面将

分成几个有限的小区域使之都满足上述条件注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值相等，而符号相反，相加时正好抵消，因此上述公式对这样的区域也成立，故一般地

x

y

z

(P

Q

R)dv

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy2.公式成立的条件

封闭曲面

方向取外侧P

,Q

,R

连续x

y

z(3)根据Gauss

公式，用三重积分来计算曲面积分是比较方便的，但Gauss

公式同时也说明，可用曲面积分来计算三重积分.例1计算曲面积分

(

x

y)dxdy

(

y

z)

xdydz其中Σ为柱面x2

y2

1及平面z

0,z

3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.解

P

(

y

z)x,Q

0,

R

x

y,xzyo

1zP

y

z,

Q

0,

R

0,P

Q

Rx

yGauss原式(

x

y

z

)dv

2

9

(

y

z)dv左右对称2

0

zdv

10d

d

30zdz柱坐标xozy1另解原式

(

)

柱

顶

底柱例1

求

(x

y)dxdy

(y

z)xdydz，Σ：x2+y2=1及z=0、z=3

所围闭区域边界曲面的外侧。柱

xOy顶、底

yOz

(

y

z)

xdydz

(

)(

x

y)dxdy顶

底

2

(

y

z)

xdydz

0柱，前

柱，前，右

左右对称

4

zxdydz

4Dyz2

z

1

y2

(dydz)

9

例2

计算

(

y2

x)dydz

(z2

y)dzdx

(

x2

z)dxdy其中

是曲面z

2

x2

y2

(1

z

2)的上侧解记

0

:

z

1

,

x

y

12

2取下侧oxyzz

=

1

:

0所围成的闭区域由Gauss

公式得

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy

0

0其中P

y2

x,Q

z2

y,

R

x2

z(

0取外侧)

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy

0

(1

1

1)dv

3

体积而曲顶柱体的体积（用柱坐标）21 2r

2V

dv

d

dr

rdz0

0

120

01

d

(1

r

2

)rdr

2或用先重后单法2V

dz1x2

y2

2

z21

dxdy

(2

z)dz

2而

(y2

x)dydz

(z2

y)dzdx

(x2

z)dxdy

0

(

x2

z)dxdy

(

x2

1)dxdy

0D2

DD

[1

(

x2

y2

)d

d

]2

01

2

1

[

d

r

2

rdr

]04

33

92

4

4故原式

3

例

3

计算曲面积分

(x2

cos

y2

cos

z2

cos

)ds,其中Σ为锥面x2

y2

z2介于平面z

0及z

h(h

0)之间的部分的下侧,

cos,cos,cos

是Σ在(x,y,z)处的法向量的方向余弦.xyzoh解

空间曲面在xoy

面上的投影域为Dxy曲面不是封闭曲面,

为利用公式

y2

h2

)补充1

:

z

h

(

x21取上侧

1构成封闭曲面

1围成空间区域

.在上使用

公式,Dxyxyzo

h1

(

x2

cos

y2

cos

z2cos

)dS1h(

x

y

z)dz,x2

y2

2

(

x

y

z)dv

2

dxdyDxyh其中Dxy

{(

x,

y)

|

x

y

h

}.2

2

2

dxdy

x2

y2

(

x

y)dz

0,Dxy

(

x2

cos

y2

cos

z2

cos

)dS1

(h2

x2

y2

)dxdyDxy

(

x2

cos

y2

cos

z2

cos

)dS

z2dS11

h2dxdyDxy故所求积分为

(

x2

cos

y2

cos

z2

cos

)dS2

1

h4

h42

1

h4

.另解xyzoh(

x,

y,z)1x2

y2

（

z）2n下0dS2x3

y3

z32

2x

y

（

z）

z3原式

dS222x

y

（

z）前后、左右对称yx

z

dxdyxy2

21

z2

22(

x

y

)3

(

x2

y2

)2D

：x

2

y2

h22

1

h4dS

z32x

y2

（

z）2前后、左右对称：z

x2

y2xyzoh注①

应用Gauss

公式计算曲面积分时，要求曲面必须是封闭曲面，若不封闭，则需要添加一辅助曲面使其封闭，而在所添加的曲面上，曲面积分应是容易计算的，用Gauss

公式计算三重积分，最后减去所补曲面上的积分值，往往可使计算简化②Gauss

公式要求曲面取外侧这一点也不容忽视，尤其是对非封闭曲面的曲面积分，所添加的辅助曲面的侧一定要和所给曲面的侧相容，若不满足外侧的要求，可利用反向性予以调整（相差一个负号）③可以证明在特殊情况下，

Gauss

公式就是Green

公式二、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为v(x,

y,

z)

P(x,

y,

z)i

Q(x,

y,

z)

j

R(x,

y,

z)

k设

为场中任一有向曲面,

则由对坐标的曲面积分的物理意义可知,

单位时间通过曲面

的流量为

P

d

y

d

z

Q

d

z

d

x

Rdx

d

y由两类曲面积分的关系,流量还可表示为

P

cos

Q

cos

R

cos

d

S

v

n

d

S

P

d

y

d

z

Q

d

z

d

x

Rdx

d

y若

为方向向外的闭曲面,则单位时间通过

的流量为当

>0

时,说明流入

的流体质量少于流出的,表明

内有泉;nn当

<0

时,说明流入

的流体质量多于流出的,表明

内有洞;当

=0

时,说明流入与流出

的流体质量相等.根据

公式,

流量也可表为③为了揭示场内任意点M

处的特性,设

是包含点M且方向向外的任一闭曲面,记

所围域为,在③式两边同除以

的体积

V,

并令

以任意方式缩小至点

M

则有M

Vlim

M

P

Q

R

x

y

z此式反应了流速场在点M

的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.定义:

设有向量场A(x,

y,

z)

P(x,

y,

z)i

Q(x,

y,

z)

j

R(x,

y,

z)

k其中P,Q,R

具有连续一阶偏导数,

是场内的一片有向曲面,其单位法向量n,则称

A

n

d

S

为向量场A

通过有向曲面

的通量(流量).在场中点M(x,y,z)处P

Q

R

记作

div

Ax

y

z称为向量场A

在点M的散度.div

A

0

表明该点处有正源,div

A

0

表明该点处有负源,div

A

0

表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A

处处有div

A

0,则称A

为无源场.例如,匀速场v

(vx

,vy

,vz

)(其中vx

,vy

,vz

为常数),divv

0故它是无源场.说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且应用

计算流速为

v

=

{x,2y,3z}的不可压缩流体在单位时间内穿过围x2

y2

z2

(0

z

a)成的整个封闭曲面表面外侧的流量Φ解：

xdydz

2

ydzdx

3zdxdy公式

(1

2

3)dv

6V

2a3另解设ρ=1

则流量

xdydz

2

ydzdx

3zdxdy

xdydz

2

ydzdx

3zdxdy12

3(1)求1

xdydz

1

2

31

:

x

z2

y2后侧2

:x

z2

y2

前侧3

:

z

a上侧在yoz面上的投影为零两者的在yoz面上投影域同为Dyz

:

z

y

z,0

z

a1

xdydz

xdydz

xdydz

xdydz

1

2

3

xdydz

xdydz

y2

)dydzDyzz

2z23z2

y2

dydz

a31

2

y2

dydz

Dyz

2yzD(2).同理232

ydzdx

2

a3

(3).

3

3zdxdy

3zdxdy

3zdxdyz=a

上侧3

:3

44

:

z

x

y2

2下侧投影域都是Dxy

:

x

y

a2

2

2

y2

dxdyDxy

Dxyx23

3adxdy

3302032

3a

3r dr

ada由(1),(2),(3)得3321

2a思考与练习

为判断下列演算是否正确?1.所围

,x3

y3

z3d

y

d

z