离散型随机变量的期望与方差课件

离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差1回归课本1.一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布列为则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望或平均值、均值，数学期望又简称为期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…回归课本ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…2离散型随机变量的期望与方差课件33．如果离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1，x2，…，xn，…且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…，设Eξ是随机变量ξ的期望，那么把Dξ＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做随机变量ξ的均方差，简称方差．Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．其中标准差与随机变量本身有相同的单位．3．如果离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1，x2，…，xn4点评：当ξ的所有可能取值为x1，x2，…，xn这n个值时，若p1＝p2＝…＝pn＝，则x1，x2，…，xn的方差就是我们初中学过的方差．因此，现在学的方差是对初中学过的方差作了进一步拓展．点评：当ξ的所有可能取值为x1，x2，…，xn这n个值时，若5离散型随机变量的期望与方差课件6考点陪练1.下面说法中正确的是()A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值答案：C考点陪练72．设ξ是随机变量，a、b是非零常数，则下列等式中正确的是()A．D(aξ＋b)＝a2Dξ＋b B．E(aξ)＝a2EξC．D(aξ)＝a2Dξ D．E(aξ＋b)＝aEξ解析：由公式D(aξ＋b)＝a2Dξ知C项正确．答案：C2．设ξ是随机变量，a、b是非零常数，则下列等式中正确的是83．(2011·福建福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝6.3，则a的值为()A.5 B．6C．7 D．8解析：由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4∴Eξ＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3∴a＝7.故选C.答案：Cξ4a9P0.50.1b3．(2011·福建福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列94．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则Dη等于()A．0 B．1C．2 D．4解析：由ξ＝2η＋3得Dξ＝4Dη，而Dξ＝4，Dη＝1.故选B.答案：B4．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则Dη等10答案：A答案：A11类型一求离散型随机变量的期望解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步骤：①列出离散型随机变量的分布列；②利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…，求出期望值．【典例1】(2011·福州市高中毕业班综合测试卷)口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.(1)ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由．(2)求随机变量ξ的期望Eξ.类型一求离散型随机变量的期望12离散型随机变量的期望与方差课件13[点评]

本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法．问题(1)，对ξ的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地方．利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分布列的数学期望公式即可．[点评]本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机变14探究1：某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率为，科目B每次考试成绩合格的概率为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ.探究1：某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合15解析：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2.(1)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1，注意到A1与B1相互独立．解析：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格16离散型随机变量的期望与方差课件17离散型随机变量的期望与方差课件18类型二离散型随机变量的方差解题准备：求离散型随机变量ξ的期望与方差的方法．(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由期望的定义求Eξ；(5)由方差的定义求Dξ.类型二离散型随机变量的方差19【典例2】编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ.(1)求随机变量ξ的概率分布；(2)求随机变量ξ的数学期望和方差．[分析]

(1)随机变量ξ的意义表示对号入座的学生个数；它的取值只有0、1或3，若2人对号入座第3人必对号入座，所以ξ＝2不存在．由排列知识与等可能事件概率公式易求分布列．(2)直接用随机变量的数学期望和方差计算公式即可．【典例2】编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,320离散型随机变量的期望与方差课件21[点评]

本题是研究对号入座学生个数为离散型随机变量的概率分布列、期望、方差问题，关键是分析对号入座学生个数的情况，以及每种取值下事件所包含的结果数，基本事件的总数．若问题推广为错位入座的学生个数．其变量ξ的概率分布列、期望、方差也可用类似方法解决．[点评]本题是研究对号入座学生个数为离散型随机变量的概率分22探究2：甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ与η的分布列为求：(1)a，b的值；(2)计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲乙的技术状况．：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3探究2：甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机23解析：(1)由概率分布的性质：a＋0.1＋0.6＝1，解得a＝0.3，同理b＝0.4.(2)由(1)知，随机变量ξ与η的分布列分别为：ξ123P0.30.10.6η123P0.30.40.3解析：(1)由概率分布的性质：a＋0.1＋0.6＝1，ξ1224则Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3；Dξ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81.Eη＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2；Dη＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6；所以Eξ＞Eη，Dξ＞Dη说明甲平均得分高，但不如乙稳定．

则Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3；25类型三期望和方差性质的应用解题准备：随机变量的有关知识属于应用数学的范畴，在经济以及其他社会领域应用广泛，这更加突出了“数学来源于社会，又应用于社会”的原则．用离散型随机变量的知识分析和解决实际问题的题目逐步成为高考的热点，复习时应予以高度重视．类型三期望和方差性质的应用26【典例3】一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规则：凡愿意摸彩者，每人交1元钱作为“手续费”，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：摸5个球中彩发放产品有5个白球1个帽子(价值20元)恰有4个白球1张贺卡(价值2元)恰有3个白球纪念品(价值0.5元)其他同乐一次(无任何奖品)【典例3】一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定27试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率；(2)按摸10000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，求出净赚多少钱？(精确到1元)[分析]

在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，他能否赚钱，就看该随机变量的期望是否大于0.试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率；28离散型随机变量的期望与方差课件29[点评]

本例属于随机变量期望的应用问题，解题关键是正确地设出随机变量，由于就一次摸球而言，这个人的收入情况是不确定的，有－19元，－1元，0.5元，1元四种可能，故可将其设为随机变量，然后通过计算这个随机变量的期望值来判断他是否赚钱．即期望值反映的是随机变量的平均取值情况，它是比较两随机变量平均水平的最重要依据．[点评]本例属于随机变量期望的应用问题，解题关键是正确地设30离散型随机变量的期望与方差课件31第三种方案：李师傅的妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由．第三种方案：李师傅的妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将32若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为：若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为：33由上知Dξ＞Dη.这说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥．所以，建议李师傅选择方案二投资较为合理．

由上知Dξ＞Dη.这说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳34快速解题技法据气象台预报，某三座城市A、B、C,10月1日这天下雨的概率分别为0.4、0.5、0.6，且每个城市下与不下雨互不影响．设ξ表示下雨的城市数与不下雨的城市数的差的绝对值．(1)求ξ的分布列及数学期望；(2)设“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求P(A)．快速解题35离散型随机变量的期望与方差课件36其分布列为：ξ13P0.760.24其分布列为：ξ13P0.760.2437离散型随机变量的期望与方差课件38上方

x＝μx＝μ1

μ

上方x＝μx＝μ1μ39越小

越大

越小越大40N(u，σ2)

0.6826

0.9544

0.9974

N(u，σ2)0.68260.95440.997441离散型随机变量的期望与方差课件420.8

0.843离散型随机变量的期望与方差课件44A

A45B

B46A

A47离散型随机变量的期望与方差课件48离散型随机变量的期望与方差课件49离散型随机变量的期望与方差课件50离散型随机变量的期望与方差课件51离散型随机变量的期望与方差课件52离散型随机变量的期望与方差课件53离散型随机变量的期望与方差课件54离散型随机变量的期望与方差课件55C

C56离散型随机变量的期望与方差课件57离散型随机变量的期望与方差课件58离散型随机变量的期望与方差课件59离散型随机变量的期望与方差课件60离散型随机变量的期望与方差课件61离散型随机变量的期望与方差课件62离散型随机变量的期望与方差课件63离散型随机变量的期望与方差课件64返回返回65离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差66回归课本1.一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布列为则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望或平均值、均值，数学期望又简称为期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…回归课本ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…67离散型随机变量的期望与方差课件683．如果离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1，x2，…，xn，…且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…，设Eξ是随机变量ξ的期望，那么把Dξ＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做随机变量ξ的均方差，简称方差．Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．其中标准差与随机变量本身有相同的单位．3．如果离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1，x2，…，xn69点评：当ξ的所有可能取值为x1，x2，…，xn这n个值时，若p1＝p2＝…＝pn＝，则x1，x2，…，xn的方差就是我们初中学过的方差．因此，现在学的方差是对初中学过的方差作了进一步拓展．点评：当ξ的所有可能取值为x1，x2，…，xn这n个值时，若70离散型随机变量的期望与方差课件71考点陪练1.下面说法中正确的是()A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值答案：C考点陪练722．设ξ是随机变量，a、b是非零常数，则下列等式中正确的是()A．D(aξ＋b)＝a2Dξ＋b B．E(aξ)＝a2EξC．D(aξ)＝a2Dξ D．E(aξ＋b)＝aEξ解析：由公式D(aξ＋b)＝a2Dξ知C项正确．答案：C2．设ξ是随机变量，a、b是非零常数，则下列等式中正确的是733．(2011·福建福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝6.3，则a的值为()A.5 B．6C．7 D．8解析：由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4∴Eξ＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3∴a＝7.故选C.答案：Cξ4a9P0.50.1b3．(2011·福建福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列744．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则Dη等于()A．0 B．1C．2 D．4解析：由ξ＝2η＋3得Dξ＝4Dη，而Dξ＝4，Dη＝1.故选B.答案：B4．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则Dη等75答案：A答案：A76类型一求离散型随机变量的期望解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步骤：①列出离散型随机变量的分布列；②利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…，求出期望值．【典例1】(2011·福州市高中毕业班综合测试卷)口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.(1)ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由．(2)求随机变量ξ的期望Eξ.类型一求离散型随机变量的期望77离散型随机变量的期望与方差课件78[点评]

本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法．问题(1)，对ξ的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地方．利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分布列的数学期望公式即可．[点评]本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机变79探究1：某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率为，科目B每次考试成绩合格的概率为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ.探究1：某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合80解析：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2.(1)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1，注意到A1与B1相互独立．解析：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格81离散型随机变量的期望与方差课件82离散型随机变量的期望与方差课件83类型二离散型随机变量的方差解题准备：求离散型随机变量ξ的期望与方差的方法．(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由期望的定义求Eξ；(5)由方差的定义求Dξ.类型二离散型随机变量的方差84【典例2】编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ.(1)求随机变量ξ的概率分布；(2)求随机变量ξ的数学期望和方差．[分析]

(1)随机变量ξ的意义表示对号入座的学生个数；它的取值只有0、1或3，若2人对号入座第3人必对号入座，所以ξ＝2不存在．由排列知识与等可能事件概率公式易求分布列．(2)直接用随机变量的数学期望和方差计算公式即可．【典例2】编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,385离散型随机变量的期望与方差课件86[点评]

本题是研究对号入座学生个数为离散型随机变量的概率分布列、期望、方差问题，关键是分析对号入座学生个数的情况，以及每种取值下事件所包含的结果数，基本事件的总数．若问题推广为错位入座的学生个数．其变量ξ的概率分布列、期望、方差也可用类似方法解决．[点评]本题是研究对号入座学生个数为离散型随机变量的概率分87探究2：甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ与η的分布列为求：(1)a，b的值；(2)计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲乙的技术状况．：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3探究2：甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机88解析：(1)由概率分布的性质：a＋0.1＋0.6＝1，解得a＝0.3，同理b＝0.4.(2)由(1)知，随机变量ξ与η的分布列分别为：ξ123P0.30.10.6η123P0.30.40.3解析：(1)由概率分布的性质：a＋0.1＋0.6＝1，ξ1289则Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3；Dξ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81.Eη＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2；Dη＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6；所以Eξ＞Eη，Dξ＞Dη说明甲平均得分高，但不如乙稳定．

则Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3；90类型三期望和方差性质的应用解题准备：随机变量的有关知识属于应用数学的范畴，在经济以及其他社会领域应用广泛，这更加突出了“数学来源于社会，又应用于社会”的原则．用离散型随机变量的知识分析和解决实际问题的题目逐步成为高考的热点，复习时应予以高度重视．类型三期望和方差性质的应用91【典例3】一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规则：凡愿意摸彩者，每人交1元钱作为“手续费”，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：摸5个球中彩发放产品有5个白球1个帽子(价值20元)恰有4个白球1张贺卡(价值2元)恰有3个白球纪念品(价值0.5元)其他同乐一次(无任何奖品)【典例3】一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定92试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率；(2)按摸10000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，求出净赚多少钱？(精确到1元)[分析]

在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，他能否赚钱，就看该随机变量的期望是否大于0.试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率；93离散型随机变量的期望与方差课件94[点评]

本例属于随机变量期望的应用问题，解题关键是正确地设出随机变量，由于就一次摸球而言，这个人的收入情况是不确定的，有－19元，－1元，0.5元，1元四种可能，故可将其设为随机变量，然后通过计算这个随机变量的期望值来判断他是否赚钱．即期望值反映的是随机变量的平均取值情况，它是比较两随机变量平均水平的最重要依据．[点评]本例属于随机变量期望的应用问题，解题关键是正确地设95离散型随机变量的期望与方差课件96第三种方案：李师傅的妻子认为：投入股市、基金均有风