新高考艺术生数学基础复习讲义 考点30 周期性和对称性（教师版含解析）

考点30周期性和对称性知识理解知识理解一．函数的周期性1.周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．二．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．考向分析考向一对称性考向分析【例1】(2021·广东揭阳市·高三一模)已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是()A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数满足，所以函数关于直线对称，因为对任意均有成立，所以函数在上单调递减.由对称性可知在上单调递增.因为，即，所以，即，解得.故选：D.【举一反三】13(2021·浙江)已知函数，且，则下列不等式中成立的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由得图象的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以，故选：C.2.(2019·福建师大二附中)函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】∵在上是增函数，∴在上是增函数，由函数是偶函数，知：在上是减函数，而，由，∴.故选：B考向二周期性【例2】(2021·曲靖市第二中学)已知函数是定义在上的奇函数，，且，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是奇函数，∴，又，∴是周期函数，周期为4．∴．故选：A．【举一反三】1．(2021·山东聊城市)已知定义在R上的奇函数满足，若，则()A． B． C．0 D．2【答案】B【解析】因为定义在R上的奇函数满足，所以所以，所以是周期函数，周期为4所以故选：B2．(2021·安徽合肥市·)已知是R上的奇函数且，当时，，()A． B．2 C． D．98【答案】A【解析】，是以4为周期的函数，，是R上的奇函数，，.故选：A.3．(2021·江西南昌市)若在上是奇函数，且有，当时，则()A．242 B．-242 C．2 D．-2【答案】D【解析】由是定义在上的奇函数，得，又时，，所以，因为对任意都有，所以4为的周期，所以故选：．考向三函数性质的综合运用【例3】(2021·上海松江区)已知函数是定义域为R的奇函数，满足，若，则__________．【答案】1【解析】因为，所以，所以，即函数是周期为4的周期函数.所以,,,所以原式等于故答案为：【举一反三】1．(2021·广东高考模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=A．0 B．-a C．a D．【答案】B【解析】因为函数f(x)所以f(x)关于直线x=1又f(x)是定义在R又由f(1+x)=所以f(x+2)=因此，函数f(x)所以f(4)=f因此f(2)+f(3)+2．(2021·安徽亳州二中)定义在上的函数满足，且，则=__________。【答案】-1【解析】由题意知定义在上的函数满足，得是奇函数，所以，即，赋值得，故，得周期是8，所以3.(2021·四川高考模拟)已知定义域的奇函数的图像关于直线对称,且当时,,则()A． B． C． D．【答案】C【解析】∵f(x)是奇函数，且图象关于x＝1对称；∴f(2﹣x)＝f(x)；又0≤x≤1时，f(x)＝x3；∴．故选：B．4.(2019·永安市第一中学高考模拟)已知fx是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1-A．1B．0C．1D．2019【答案】B【解析】根据题意，函数f(x)满足f(1﹣x)＝f(x+1)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则有f(﹣x)＝f(x+2)，又由函数f(x)为奇函数，则f(﹣x)＝-f(x)，则有f(x)＝-f(x+2)，则f(x+2)=-f(x+4)，可得f(x)=f(x+4)则函数f(x)为周期为4的周期函数，又由f(1)＝1，则f(1)=f(5)=……＝f(2017)＝1，f(-1)=-f(1)=-1，则f(3)=f(7)=……=f(2019)=-1，又f(-2)=f(2)＝-f(2)，则f(2)=0，且f(0)=0，所以f(2)=f(4)＝f(6)＝f(8)＝……＝f(2018)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)＝505-505+0=0；故选：B．强化练习强化练习1．(2021·四川资阳市)定义在R上的偶函数满足,，则()A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】根据题意，函数满足，则，又由为偶函数，则有，则，函数是周期为2的周期函数，故，故选：C.2．(2021·重庆九龙坡区)已知函数的定义域为R且满足，，若，则()A．6 B．0 C． D．【答案】C【解析】因为，所以的周期，因为函数的定义域为R且满足，所以，，所以.故选：C3．(2021·沙坪坝区·重庆南开中学)定义在R上的奇函数满足，且时，，则()A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【解析】因为定义在R上的奇函数满足，所以所以，所以是以4为周期的周期函数所以故选：C4．(2021·河南驻马店市·高三期末(文))已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以图象的对称中心为，且．因为，所以图象的对称轴方程为，故的周期，，，从而，故选：A．5．(2021·湖北武汉市)已知定义域为的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则，，的大小关系是()A． B．C． D．【答案】B【解析】，由此可知函数的周期为4，函数是奇函数，，所以有：，，因为在区间是减函数，，所以，即，故选：B6．(2021·江苏南通市)已知定义在R上的函数满足：，，当时，，其中e是自然对数的底数，则()A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可知，，即，所以函数是一个以4为周期的周期函数，又因为当时，，所以，故选：D.7．(2021·江苏扬州市·扬州中学)已知函数为偶函数，在区间上单调递增，则满足不等式的x的解集是()A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以的图象关于直线对称，因为的图象向右平移1个单位得到的图象，则的图象关于直线对称，又因为在区间，上单调递增，所以在区间上单调递减，所以的函数值越大，自变量与1的距离越大，的函数值越小，自变量与1的距离越小，所以不等式等价于，两边平方，解得，即不等式的解集为．故选：A．8．(2021·邵阳市第十一中学)已知函数满足，且，则下列结论正确的是()A． B． C． D．【答案】CD【解析】由条件，可知函数的周期，因为，则.故选：CD9．(2020·全国课时练习)已知函数是周期函数，10是的一个周期，且，则________.【答案】【解析】因为10是函数的周期，所以．故答案为：．10．(2021·浙江金华市)设是定义在上的函数，对任意实数有，又当时，，则______．【答案】【解析】由，即所以，所以是以4为周期的周期函数.所以故答案为：11．(2021·上海市西南位育中学)已知函数，对任意，都有(为非零实数)，且当时，，则___________.【答案】【解析】当时，，则，对任意，都有(为非零实数)，则，，由可得，，所以，函数是周期为的周期函数，因此，.故答案为：.12．(2021·陕西咸阳市·高三一模(文))若偶函数满足，则____________．【答案】-1【解析】，是周期函数，周期，且函数是偶函数，，故答案为：13．(2021·浙江绍兴市)已知函数是定义域为R的偶函数，且周期为2，当时，，则当时，________.【答案】【解析】当时，，则，因为是定义域为R的偶函数，所以；当时，，则，又的周期为2，所以；故答案为：.14．(2021·上海市杨浦高级中学已知函数，满足，且当时，，则_______________.【答案】【解析】由函数，满足，即得.故答案为：2.15．(2021·福建福州三中高一期末)已知是定义在上的偶函数，且满足，当，，则_____________．【答案】2.5【解析】由，则周期，所以．因为函数为偶函数，则因为当时，，所以