用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)-详细答案

用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案xxx公司用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1．因式分解法若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x2－9＝0，这个方程可变形为(x＋3)(x－3)＝0，要(x＋3)(x－3)等于0，必须并且只需(x＋3)等于0或(x－3)等于0，因此，解方程(x＋3)(x－3)＝0就相当于解方程x＋3＝0或x－3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y2＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；(3)(2x－1)(x－1)＝1．解：(1)方程可变形为(y＋1)(y＋6)＝0，y＋1＝0或y＋6＝0，∴y1＝－1，y2＝－6．(2)方程可变形为t(2t－1)－3(2t－1)＝0，(2t－1)(t－3)＝0，2t－1＝0或t－3＝0，∴t1＝，t2＝3．(3)方程可变形为2x2－3x＝0．x(2x－3)＝0，x＝0或2x－3＝0．∴x1＝0，x2＝．说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x－a)(x－b)＝c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x－e)(x－f)＝0的形式，这时才有x1＝e，x2＝f，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x－1＝1或x－1＝1．∴x1＝1，x2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t－1)，请同学们思考例2：用适当方法解下列方程：(1)(1－x)2＝；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1；(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解：(1)(1－x)2＝，(x－1)2＝3，x－1＝±，∴x1＝1＋，x2＝1－．(2)移项，得x2－6x＝19，配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x－3)2＝28，x－3＝±2，∴x1＝3＋2，x2＝3－2．(3)移项，得3x2－4x－1＝0，∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x＝，∴x1＝，x2＝．(4)移项，得y2－2y－15＝0，把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0；∴y－5＝0或y＋3＝0，∴y1＝5，y2＝－3．(5)将方程左边因式分解，得(x－3)［5x－(x＋1)］＝0，(x－3)(4x－1)＝0，∴x－3＝0或4x－1＝0，∴x1＝3，x2＝．(6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0，［2(3x＋1)］2－［5(x－2)］2＝0，［2(3x＋1)＋5(x－2)］·［2(3x＋1)－5(x－2)］＝0，(11x－8)(x＋12)＝0，∴11x－8＝0或x＋12＝0，∴x1＝，x2＝－12．说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3:解关于x的方程：(a2－b2)x2－4abx＝a2－b2．解：(1)当a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b｜时，方程为－4abx＝0．当a＝b＝0时，x为任意实数．当｜a｜＝｜b｜≠0时，x＝0．(2)当a2－b2≠0，即a＋b≠0且a－b≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［(a＋b)x＋(a－b)］［(a－b)x－(a＋b)］＝0，∵a＋b≠0且a－b≠0，∴x1＝，x2＝．说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a＝b＝0；②｜a｜＝｜b｜≠0；③｜a｜≠｜b｜．例4:已知x2－xy－2y2＝0，且x≠0，y≠0，求代数式的值．剖析：要求代数式的值，只要求出x、y的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x、y的二次齐次式，所以知道x与y的比值也可．由已知x2－xy－2y2＝0因式分解即可得x与y的比值．解：由x2－xy－2y2＝0，得(x－2y)(x＋y)＝0，∴x－2y＝0或x＋y＝0，∴x＝2y或x＝－y．当x＝2y时，．当x＝－y时，．说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的应用．【同步达纲练习】1．选择题(1)方程(x－16)(x＋8)＝0的根是()A．x1＝－16，x2＝8 B．x1＝16，x2＝－8 C．x1＝16，x2＝8 D．x1＝－16，x2＝－8(2)下列方程4x2－3x－1＝0，5x2－7x＋2＝0，13x2－15x＋2＝0中，有一个公共解是()A．．x＝ B．x＝2 C．x＝1 D．x＝－1(3)方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解为()A．x1＝，x2＝3 B．x＝ C．x1＝－，x2＝－3 D．x1＝，x2＝－3(4)方程(y－5)(y＋2)＝1的根为()A．y1＝5，y2＝－2 B．y＝5 C．y＝－2 D．以上答案都不对(5)方程(x－1)2－4(x＋2)2＝0的根为()A．x1＝1，x2＝－5 B．x1＝－1，x2＝－5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝－1，x2＝5(6)一元二次方程x2＋5x＝0的较大的一个根设为m，x2－3x＋2＝0较小的根设为n，则m＋n的值为()A．1 B．2 C．－4 D．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x2－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是()A．5 B．5或11 C．6 D．11(8)方程x2－3|x－1|＝1的不同解的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．填空题(1)方程t(t＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x的方程x2＋(m＋n)x＋mn＝0的解为__________．(5)方程x(x－)＝－x的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋12x＝0； (2)4x2－1＝0； (3)x2＝7x；(4)x2－4x－21＝0； (5)(x－1)(x＋3)＝12； (6)3x2＋2x－1＝0；(7)10x2－x－3＝0； (8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256； (3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0； (5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9；(7)(1＋)x2－(1－)x＝0；(8)x2－(5＋1)x＋＝0；(9)2x2－8x＝7(精确到0．01)；(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．5．解关于x的方程：(1)x2－4ax＋3a2＝1－2a；(2)x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；(3)x2－2mx－8m2＝0；(4)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0．6．已知x2＋3xy－4y2＝0(y≠0)，试求的值．7．已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值．8．请你用三种方法解方程：x(x＋12)＝864．9．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则y2＝(x2－1)2，原方程化为y2－5y＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝±．当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±．∴原方程的解为x1＝－，x2＝，x3＝－，x4＝．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x4－3x2－4＝0．(2)既然可以将x2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗

参考答案【同步达纲练习】1．(1)B(2)C(3)D(4)D(5)B(6)A(7)A(8)D2．(1)t1＝－7，t2＝4(2)x1＝－，x2＝－2(3)y1＝－1，y2＝－(4)x1＝－m，x2＝－n(5)x1＝，x2＝－13．(1)x1＝0，x2＝－12；(2)x1＝－，x2＝；(3)x1＝0，x2＝7；(4)x1＝7，x2＝－3；(5)x1＝－5，x2＝3；(6)x1＝－1，x2＝；(7)x1＝，x2＝－；(8)x1＝8，x2＝－2．4．(1)x1＝1，x2＝3；(2)x1＝18，x2＝－14；(3)x1＝，x2＝；(4)x1＝3，x2＝－1；(5)t1＝0，t2＝－；(6)y1＝0，y2＝3；(7)x1＝0，x2＝2－3；(8)x1＝，x2＝；(9)x1≈，x2＝－；(10)x1＝－1，x2＝－7．5．(1)x2－4ax＋4a2＝a2－2a＋1，(x－2a)2＝(a－1)2，∴x－2a＝±(a－1)，∴x1＝3a－1，x2＝a＋1．(2)x2＋(5－2k)x＋k2－5k－6＝0，x2＋(5－2k)x＋(k＋1)(k－6)＝0，［x－(k＋1)］［x－(k－6)］＝0，∴x1＝k＋1，x2＝(k－6)．(3)x2－2mx＋m2＝9m2，(x－m)2＝(3m)2∴x1＝4m，x2＝－2m(4)x2＋(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0，(x＋m)［x＋(m＋1)］＝0，∴x1＝－m，x2＝－m－16．(x＋4y)(x－y)＝0，x＝－4y或x＝y当x＝－