双曲线及其标准方程练习题及详解

双曲线及其标准方程练习题高二一部数学组刘苏文2017年5月2日一、选择题1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是()A．双曲线B．一条直线C．一条线段D．两条射线x2－y2＝1表示双曲线，则k的取值范围是()2．已知方程1－k1＋kA．－1<k<1B．k>0C．k≥0D．k>1或k<－13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为()A．双曲线的一支B．圆C．抛物线D．双曲线x2y24．以椭圆3＋4＝1的焦点为极点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是22x2y2x2－y＝1B．y－3＝1－4＝1－4＝15．“ab<0”是“曲线ax2＋by2＝1为双曲线”的()A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件6．已知双曲线的两个焦点为F1(－5，0)、F2(5，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是()y2y222y2－＝1－＝1－y＝1D．x－＝132422与双曲线x227．椭圆x＋y2＝12－y＝1有同样的焦点，则的值是()4mm2mA．±1B．1C．－1D．不存在8．已知点F(－4,0)和F(4,0)，曲线上的动点P到F、F距离之差为6，则曲线方程为()1212y2y2－7＝1－7＝1(y>0)y2x2y2y2－7＝1或7－9＝1－7＝1(x>0)9．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是()A．16B．18C．21D．2610．若椭圆x2＋y2＝1(m>n>0)和双曲线x2－y2＝1(a>0，b>0)有同样的焦点，P是两曲线的一个交点，mnab则|PF|·|PF|的值为()12A．m－aB．m－bC22－b．m－a二、填空题11．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________．x2y212．过双曲线3－4＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．x2y2x2y2a＝________.13．假如椭圆4＋a2＝1与双曲线a－2＝1的焦点同样，那么14．一动圆过定点(－4,0)，且与定圆：(－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．ABx三、解答题x2y2A的纵坐标为4，15．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆订交，在第一象限的交点2736求此双曲线的方程．2y2→→16．已知双曲线x－2＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1·MF2＝0，求点M到x轴的距离．答案及详解1、D2、A由题意得(1＋)(1－)>0，∴(－1)(k＋1)<0，∴－1<<1.kkkk3、A设动圆半径为r，圆心为，x2＋y2＝1的圆心为1，圆2＋2－8＋12＝0的圆心为2，OOxyxO由题意得|1|＝r＋1，|2|＝r＋2，∴|2|－|1|＝＋2－－1＝1<|12|＝4，OOOOOOOOrrOO由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．22x24、B由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b＝3，双曲线方程为y－3＝1.5、C<0?曲线2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线?<0.abaxab6、C∵＝5，|1|2＋|2|2＝|12|2＝42，∴(|1|－|2|)2＋2|1|·|2|＝42，cPFPFFFcPFPFPFPFc∴42＝42－4＝16，∴a2＝4，2＝1.acb7、A考证法：当＝±1时，2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.mm对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有同样的焦点．直接法：明显双曲线焦点在x轴上，故2224－m＝m＋2.∴m＝1，即m＝±1.8、D由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F、F为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x2129y27＝1(x>0)9、D|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.10、A设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2m，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a.∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a，∴|PF1|·|PF2|＝m－a.x2y211、7－7＝13512、833∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝7，该弦所在直线方程为x＝7，x＝7164383由x2y22得y＝，∴|y|＝3，弦长为.－＝1333413、1由题意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.14、x22－y＝1(x≤－2)设动圆圆心为(，)，由题意得||－||＝4<||＝8，412PxyPBPAAB由双曲线定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．x2y2其方程为：4－12＝1(x≤－2)．15、椭圆x2222＋y＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y2－x2＝1(>0，>0)，2736abab又点(0,4)在椭圆x2y2＝1上，∴x2Ay2x21615＋0＝15，又点在双曲线2－2＝1上，∴2－2＝1，Ax2736abab22222y2x2又a＋b＝c＝9，∴a＝4，b＝5，所求的双曲线方程为：4－5＝1.16、解法一：设M(xM，yM)，F1(－→→－xM，－yM)3，0)，F2(3，0)，MF1＝(－3－xM，－yM)，MF2＝(3→→3－xM)·(2∵MF1·MF2＝0，∴(－3－xM)＋yM＝0，y22又(，y)在双曲线x2x2yM－＝1上，∴－＝1，MM2M2(－3－x)(2xy＝1MMM232解2