线性代数-二次型第五章

§1 一、二次型的概念及矩阵表示考虑方3x2

y13y2

在平面上代表什么曲线将坐标系（Oxy顺时针旋转45°,即22x u 22

22y u 22 yvxou则得曲线在坐标系(Ouv)中yvxou21 v221

从而曲线为一椭圆2定义 将n元二次齐次2f(x1

x2,xn)

xa xa

二次型还可以用矩阵表xx2二次型还可以用矩阵表xx2

2a13x1x3

2an1,nxn1xnn元二次型二次型依其系数是实数或复数而分别称为实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型。aij=aji2aijxixj=aijxixj+ajixj 所 f(x1,x2,…,xn)

jxixj i1j则：f(x1x2xn)=x1(a11x1a12x2a1n+x2(a21x1+a22x2+…+a2nxn)++xn(an1x1+an2x2+…+ann=

,x,…,x

a21a

+a22

+…+a2nxn an1x1+an2x2+…+annxn

a1n

x1 1a21

a22

a2n

x2=(x1,x2,…,xn)

an

ann

xn简记 f=XT 其中

a12

a13

a1n

x1a21A

a22

a23

a2n

X=x231 32 33

3n

x

n n2 nn显 (1)A是对称矩(2)f(x1,x2,…, 称方A为二次f的矩阵，A二次型的秩。x例 写出二次型的矩阵及其矩阵表示式xf

,

,

2

6x2

4x3241解 241

0

x1 1A

0

x2030 030

X x 3x 2

x4则f

x2

x3

x4)

XTAx241例 写出二次型的矩阵和矩阵表示式x241f(x1解

x2

x3

x4)

2x2

3x21A 44

矩阵是矩阵是对角矩03令X

x2

x)T

f

x2

x4)

XTA定义定义只含有平方项f(x,x,x)12na x2a x2 x2称为n元二次型的标准形显然，标准二次型对应的矩阵定义对于线性交

x1=q11y1+q12y2+…+q1nynx2=q21y1+q22y2+…+q2n…xn=qn1y1+qn2y2+…+qnn

Q

q21

q22

q1n q2n

是满秩(可逆)矩阵时

qn2

qnn称线性变换(6)为非退化(或满秩)的线性变换x1=q11x1=q11y1+q12y2+…+q1nynx2=q21y1+q22y2+…+q2n…xn=qn1y1+qn2y2+…+qnn其中

q1n

x1 1

y1 1Qq21

q2n

x2

y2

X

Y

qn2

qnn

xn

yn定定理任一二次fXTAX都通过非退化的线性变换化成标fy2y2y2 其中:y1y2yn是原变量x1x2经满秩的线性变换后得到的新化二次型为标准型的1.配方 2.合同变 3.正交变3例 化二次型f=x12+2x22–x2+4x1x2–3– 为标准形，并写出所作的线性解：f

x12+4x1(x2–x3

+2x22–x32–=x12+4x1(x2–x3)+4(x2––4(x2–x3)2+2x22–x32–=(x1+2x2–2x3)2–2x22+4x2x3–=(x1+2x2–2x3)2–2(x22–2x2x3+x32)–=(x1+2x2–2x3)2–2(x2–x3)2–f=(x1+2x2–2x3)2–f=(x1+2x2–2x3)2–2(x2–x3)2–3x3

y1 1

2x1令 y2=x2–

0x即y20x

1x2y3=2

y3

1 3其中

则：fy122y223y32为标准x

21y 1

1线性变换为x2

1

y2x0 x0 3

1

y 3yx1=y1–即：x2y2x3=

是非退化的线性变 化二次型f=2x1x2+2x1x3–6x2x3为：由于f：由于f中不含平方项，故先通过线性变换来x1=y1+

x 11 11

0y 1x2y1y2x3=

x21x0 x03

1 01 1

y2y3则f2y122y222y1y32y2y36y1y3+6y2=2y12–4y1y3–2y22+8y2=2(y12–2y1y3+y32)–2y32–2y22+8y2=2(y1–y3)2–2(y22–4y2y3+4y32)+6=2(y1–y3)2–2(y2–2y3)2+6z1=y1–zy2y

z1 11

1y 1

即：z2

2y2z3=

z03 z0

1

y3则二次型化为标准f2z122z226z其中x 1

0y 1

01

11z1

1

1x2

1

1 0

1

1 0

2

z2x0 x03

010y 3 010y

1

13z1 z

3z11

1

z20z01 0z01 31因为0

1 1

所以所作的线性变换是定定理任意一个二次型都可以用配方法化成标准注1：化二次型为标准形时，所用的非退化的线性变换不同，标准形的系数不一定相同，因此，二次型的标准形不是唯一的。例如f2x1x22x1x311x 11

3z1由非退化的线性变

1

1

z2x0z x0z3

13化为标准形f2z122z2222 2z1) 2z2 22再作非退化的线性交u 2z

1

3

0u1v 2z2

x2

1 1

1 1

0 v w 6z3

x3 0

1

6w得新标准形fu2v2w 一、矩阵间的合同关系变量X的二次对于二次 f=变量X的二次令非退化线性变换为X=QY 其中：|Q|则 f=(QY)TA(QY

=YT(QT新变量Y可以是对角得 f新变量Y可以是对角

其中：BQTAB，若存在一个使B=QTABA性(i)(i)A反身(ii)AB对称(iii)AB,BA传递证 若B=QTAQ 则(QT)–1BQ–1=A(Q–1TBQ

B若B=Q1TAQ1 C=Q2TBQ2则CQ2T(Q1TAQ1即CQ1Q2)TA(Q1Q2

A结结论：pi是初等矩阵，则 仍是初等矩阵T（1）[p(i，j)]T=p(i，j

1 11j)=

i

=[p(i，j)]

1

j 第i 第j [p(i(k))]T=p(i(k[p(i，j(k))]T=p(j，i(k1 ki P(i

j ==T=

111 11

=

j,i[p(i，j(k

k 11pijk))] Eikj行。pij(k Eikj（1）[p(i，j)]T=p(i，j[p(i(k))]T=p(i(k[p(i，j(k))]T=p(j，i(kp与i pp与i

存在可逆阵Q，使B=QTAQ,由Q可逆,则Q= p2…B

( p2 pm)TA( p2…pmTpm

(P1TAP1

pmpTpTA 表示对A作一次行初等变换11同一类型的列变换结结论：A可经过一系列同一类型的行列初等变BB TmP2T1TAP12mQ= p2… =E p2…即即：E施行A同类型的列初等变换A

进行一系列行列同型的初等变

B E

只进行同类型的列初等变

Q例1fx122x1x24x1x33x22解

x1 1f=( x3)

0

x2

2

0 3xx

2 0

r–

2A

0

0 E 0E 0 1

c2–

0010 010 001 001 r3

02 r3–

0 0c3–

4

c3–

–

B

= 2

3 Q0010 0010001 001

1001

1 3得Q

XQY,f001 f=YT =y12+2y22–001 其中

0 00B=QTAQ 0 – 定定义若实数方AAATATAA为正交矩阵正交矩阵性质：设A、BA–1=A–1也是正交|A|=AB也是正交矩||A|=AB证 |A||AT

=|AAT =|E|=|A|2=1 |A| (AB)(AB

=A(BBT) =AAT=同理：(AB)TABAB为正交矩定理1定理1设矩阵AaijA为正交矩aikajkk1ni=iji=i或akiakknA为正

A的任一行(列)各元素的平方和为1，而任一行(列)各元素与他行(列)对应元素的乘证：必要Aaij为正交阵令AAT=C=(Cij);n

Ci

aikajkk1n i=n而AAT=E 由ATA=E 可

aikaj knakiak nk

i i= i充分设

aikaj nkn

i= i有AAT=E AT=故AAT=ATA=E 即A为正交同理

nnakiak k

i= i也可A为正交2例如： 2

2 22

00 2 为正交 2 2222

1 2 … 推论：

aA=a

… 1

…ann若

A

2,i=(i1,i2,…,in),i=1,2,…, nA为正交 (i,j)

i=0,i12n是一组正交的单位向量若

A= , ,…,

a1ia2i

i=1,2,…,

ani则A为正交 (i,j)

i= i12n是一组定定义若P为正交矩阵，则称线性交XPY为正交变换注1:正交变换是非退化(满秩)的线性变换YTY注2XPY为正交YTYXTYTXTYTPTPY

|Y即正交变换保持向量的长定定理对二次型f=XTAX一定存在正XPY化二次型为f= T= APY=TTT2n分析：如何P11若存在正交P，PTAP=

nPTP1

11PAP P

nP的列向量组为1211A(12n)(12n)

n(A1,A2,…,An)=(11,22,…,n即Ai=ii i=1,2,…,n i标准型中的系1,2,…,n可由A的特征值得出标准型中的系1,2,…,n可由A的特征值得出正交矩P,是由求特征向量1,2n得出且1,2n是正交的单位向量组。引引理实对称方阵A的特征值都是实A的特征值，X是对应的特征向AX=X X两边取共轭 AX=X再两边取转置XTAXXT

XT

AXX，代入(3),

XTXXT(XTXX0

即为实数引理引理A对应于不同特征值的A不同特征值、分别是属于的特征向量则TATTATTA=T()=T

)T0

故T即引理引理nAk重根A的线性无关特征向量的最大个数恰为k.四、用正交变换化二次型为标准型四、用正交变换化二次型为标准型(化实对称阵为对角阵步骤解特征方|A–E|0n个特征实根12n对每个ii1,2,n)(A–E)X=求出对应于i的特征向若ik重根kiiX,ii

,, XikXi将属于同一特征值单位

X,ii ii

XikXi

正交得正交的单位向量组12取P12n则正交变换X=PY，化二次型为标准11f=YT

n

Y=1y12+2y22+…+n例1：用正交化方法化二次型

2x1x2

2x1x32x1x4 1标准形式为：f3y2y2y212324

2x2

2x2x4

2x3

为标准A

0111

1

10 1特征根特征根1234(3)(

|AE|

11

11

解线性方程

(A+3E)X=即：

1x1

0 1x20

x

0 3 x1 x

3 4

01得基础解系： 1对2=3=4=1 解线性方程组(A–E)X= 1

1x1

0 1 1

1x2

0 1 1

1x

0 3 x 1x

1

0系数矩阵的秩为1，基础解系含有1

1

0 0 ,,X2 X3 ,,

001 01

1 X2X3X4正交1

12 (X,

1,取 = ,

=

–

0

(,

2

10

0 1 312 =2

–(X4,2)

(X4,3)

332 (2

,2

(3

,3

313 31 1 单位

2 2 1

2 21 X1

1 21

2

,|X1

1

|2

22 22

0 0 6 6

1 3

4 43|33

62 2

|4

3 3 0 0

故取正交矩P=(

4

62 62626 6 作正交变XPYx1

2y122111 2211

y26611y26611

y3 y4 111y3 1111 16 24 2y1 6 243 1 3 就将二次f化成标准f=–3 + + + 对于二次fXTAX，经过非退化的线性X=

化成标准fYT其中

B=QT

110 0

00 n则r(ArBr,r为对角线上非零元的个定理1(惯性定理 设二次型f=XTAX的秩为r若有两个非退化的线性变换将f分别化为f=1y12+2y22+…+r (i0,i=1,2,…,rf=l1z12+l2z22+…+lrz (li0,i=1,2,…,r则i中正数个数li中正数个数相同.ff=1 +2 +…+ryr222其中i中正数的个称为二次f的正惯性指数。负数的个g=r–p,称为二次型f的负惯性指数pg称为符号差例如二次f2x1x22x1x31x 1

3 经非退化的线性变换 2

1 1y2 3

y y化成标准型f2y122y226x1

222

36z16还可经非退化的线性

x2 1

166

z2z3 z3600x3 600 化为标准fz12z22推论任一二次fXTAX都可经非退化的rf=z12+z22+…+zp2–z2p+1–…–zr且规范型是唯一的定义 对于二次型f(x1, ,…,xn)=XT如果对于任意一组不全为0的实数c1, ,…,恒有f(c1, ,…,cn)>

A为正定矩阵;恒有f(c1, ,…,cn)<0,则称二次型是负定的恒有f(c1, ,…,cn)0,则称二次型是半正定的恒有f(c1, ,…,cn)0,则称二次型是半负定的恒有f(c1, ,…,cn)有时为正，有时为负则称二次型是不定的定理 设秩为r的n元二次型f=XT经非退化的线性变XQY化为标准f=k1y12+k2y22+…+kr (ki0,i=1,2,…,rf的正惯性指数p1prprnf为正定二次型prn时f为半正定二次型p0rn时，f为负定二次型p0rnf为半负定二次型0prn时，f为不定二次定理

设A为实对称矩阵，则以下4个命题等价（1）fXTAX为正定的（2）A的特征都大于零（3）