习题第2章 圆的一般方程 Word版含解析

2．2圆的一般方程时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是()A．以(1，－2)为圆心，eq\r(11)为半径的圆B．以(1,2)为圆心，eq\r(11)为半径的圆C．以(－1，－2)为圆心，eq\r(11)为半径的圆D．以(－1,2)为圆心，eq\r(11)为半径的圆答案：D解析：将x2＋y2＋2x－4y－6＝0整理为标准方程(x＋1)2＋(y－2)2＝11.2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是()A．m＜eq\f(1,2)B．m＜10C．m＞eq\f(1,2)D．m≤eq\f(1,2)答案：A解析：方程x2＋y2－x＋y＋m＝0，变形为(x－eq\f(1,2))2＋(y＋eq\f(1,2))2＝eq\f(1,2)－m，方程表示圆，∴eq\f(1,2)－m＞0，即m＜eq\f(1,2).3．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为()A．2\f(\r(2),2)C．1\r(2)答案：D解析：因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离d＝eq\f(|1＋2－1|,\r(2))＝eq\r(2).4．如果圆x2＋y2＋ax＋by＋c＝0(a、b、c不全为零)与x轴相切于原点，那么()A．a＝c＝0，b≠0B．a＝0，b≠0，c≠0C．b＝c＝0，a≠0D．a＝b＝0，c≠0答案：A5．方程|x|－1＝eq\r(1－y－12)所表示的曲线是()A．一个圆B．两个圆C．一个半圆D．两个半圆答案：D解析：方程可化为(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，又|x|－1≥0，所以x≥1或x≤－1.若x≤－1，方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1；若x≥1，方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.方程表示两个半圆．6．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为()\r(5)B．5C．2eq\r(5)D．10答案：B解析：由题意，得直线l过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以C(2，－4)为圆心，半径等于4的圆，则D＝__________，E＝__________，F＝__________.答案：－484解析：因为圆心C(2，－4)，r＝4，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，整理得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0.∴D＝－4，E＝8，F＝4.8．圆x2＋y2＝4上的点到点A(3,4)的距离的最大值是________，最小值是________．答案：73解析：由题意，知圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2.圆心O(0,0)到点A(3,4)的距离d＝eq\r(0－32＋0－42)＝5，直线OA与圆相交于两点，显然这两点中的其中一个与点A的距离最近，另一个与点A的距离最远，所以距离的最大值为d＋r＝5＋2＝7，最小值为d－r＝5－2＝3.9．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．答案：(－∞，1)解析：由题意，知直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4.将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，所以a－b<1.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的方程．解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.又圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线2x－y－7＝0上，∴2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))－7＝0，即D－eq\f(E,2)＋7＝0.①又点A(0，－4)，B(0，－2)在圆C上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4E＋F＝0,4－2E＋F＝0))，②由①②，解得D＝－4，E＝6，F＝8.∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.11．求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，所以16＋5＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0，由①②③可得D＝－2,E＝0,F＝－12，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.12．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．解：∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋3,x＋3y－15＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝6))，即圆心C为(－3,6)，则半径r＝eq\r(－3＋12＋62)＝2eq\r(10).又|AB|＝eq\r(3＋12＋42)＝4eq\r(2)，∴圆心C到AB的距离d＝eq\r(2\r