习题3：计数原理全章综合测试题

单元测评(二)计数原理(B卷)(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：1,2,3，…，9中共5个奇数，4个偶数，当所取4个数中分别有4个，2个，0个偶数时，其和为偶数，故共有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(4,5)＝66种不同取法．答案：D2．从集合M＝{0,1,2}到集合N＝{1,2,3,4}的不同映射的个数是()A．81个 B．64个C．24个 D．12个解析：依题意可知不同的映射有43＝64(个)．答案：B3．由数字0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有()A．72 B．60C．48 D．52解析：只考虑奇偶相间，则有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)种不同的排法，其中0在首位的有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种不符合题意，所以共有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝60个．答案：B4．某次文艺汇演，要将A，B，C，D，E，F这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号123456节目如果A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有()A．192种B．144种C．96种D．72种解析：第一步，将C，D，E，F全排，共有Aeq\o\al(4,4)种排法，产生5个空，第二步，将A，B捆绑有2种方法，第三步，将A，B插入除2号空位和3号空位之外的空位，有Ceq\o\al(1,3)种．所以一共有144种方法．答案：B5．(x2＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－1))5的展开式的常数项是()A．－3B．－2C．2D．3解析：第一个因式取x2，第二个因式取含eq\f(1,x2)的项得：1×Ceq\o\al(4,5)(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取常数项得：2×(－1)5＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3.答案：D6．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()金榜题名种B．72种C．64种D．84种解析：方法一：第一类：用4种颜色涂，有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24(种)．第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色：有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,3)＝48(种)．第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色有Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12(种)．共有24＋48＋12＝84(种)．方法二：第一类，区域金与名同色，从4色中选1色，有Ceq\o\al(1,4)种方法，其余区域榜、题各有3种方法，有4×3×3＝36种方法．第二类：区域金与名不同色，区域金有4种方法，区域名有3种方法，区域榜、题各有2种方法，共有4×3×2×2＝48种方法．根据分类加法计数原理共有36＋48＝84种方法．答案：D7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12种安排方案．答案：A8．从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A．36种B．12种C．18种D．48种解析：分两类：若小张或小赵入选，则有选法Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝24种；若小张、小赵都入选，则有选法Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12种，共有选法36种，选A.答案：A9．绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗(如图)．规定：每串臭豆腐只能由左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，不同的吃法有()A．6种B．12种C．20种D．40种解析：方法一：(树形图)如图所示，为先吃A的情况，共有10种，如果先吃D，情况相同，所以不同的吃法有20种．方法二：依题意，本题属定序问题，所以eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(3,3)·A\o\al(3,3))＝20种．答案：C10．在图中，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读(不能跳读)，共有不同的读法种数是()构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来A．250B．240C．252D．300解析：方法一：解本题相当于在图中先在始点标上1，再在上半部两腰的各点旁标上1，然后从上到下依次逐点累加，图中间每一点处的数等于它肩上两数的和，一直计算到下面最后一点．由此可见，共有252种不同读法．方法二：考虑到杨辉三角，第n行第k个数为Ceq\o\al(k－1,n)，252是第10行第6个数，所以应为Ceq\o\al(5,10)＝252种．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．客厅里4个座位上依次坐着4人，现作如下调整：一人位置不变，其余三人位置均相互调换，则不同的调整方案的种数为__________．解析：由题意得不同的调整方案有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)＝8种．答案：812．Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(5,6)的值为__________．解析：∵Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(6,6)＝26＝64，∴Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(5,6)＝64－2＝62.答案：62\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)))6的展开式中x3的系数为__________(用数字作答)．解析：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(x2)6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)x12－3r，令12－3r＝3，∴r＝3，所以展开式中x3的系数为Ceq\o\al(3,6)＝20.答案：2014．如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格线从点A到点B的不同路径之中，最短路径有__________条．解析：总览全局：把质点沿网格线从点A到点B的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，因此，本题的结论是：Ceq\o\al(3,7)＝35.答案：35三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同的方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分类加法计数原理，共有6＋7＋8＝21种不同的选法．(4分)(2)每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分步乘法计数原理，共有6×7×8＝336种不同的选法．(8分)(3)分三类，每类又分两步．第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146种不同选法．(12分)16．(12分)已知(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5的展开式的常数项，并且(a2＋1)n的展开式中系数最大的项等于54，求a的值．解：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5展开式的常数项为Ceq\o\al(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))4＝16，(a2＋1)n展开式的系数之和2n＝16，n＝4.(6分)∴(a2＋1)n展开式的系数最大的项为Ceq\o\al(2,4)(a2)2×12＝6a4＝54，∴a＝±eq\r(3).(12分)17．(12分)某班要从5名男生3名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数：(1)所安排的女生人数必须少于男生人数；(2)其中的男生甲必须是课代表，但不能担任数学课代表；(3)女生乙必须担任语文课代表，且男生甲必须担任课代表，但又不能担任数学课代表．解：(1)所安排的女生人数少于男生人数包括三种情况，一是2个女生，二是1个女生，三是没有女生，依题意得(Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,5))Aeq\o\al(5,5)＝5520种．(4分)(2)先选出4人，有Ceq\o\al(4,7)种方法，连同甲在内，5人担任5门不同学科的课代表，甲不担任数学课代表，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)种方法，∴方法数为Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360种．(8分)(3)由题意知甲和乙两个人确定担任课代表，需要从余下的6人中选出3个人，有Ceq\o\al(3,6)＝20种结果，女生乙必须担任语文课代表，则女生乙就不需要考虑，其余的4个人，甲不担任数学课代表，∴甲有3种选择，余下的3个人全排列共有3Aeq\o\al(3,3)＝18；综上可知共有20×18＝360种．(12分)18．(14分)已知(eq\r(3,x)＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．解：由题意22n－2n＝992，解得n＝5.(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T6＝T5＋1＝Ceq\o\al(5,10)(2x)5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝－8064.(6分)(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，则Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(2x)10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq\o\al(r,10)210－rx10－2r，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,10)210－r≥C\o\