版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
关于行列式概念与性质第1页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六§3.1行列式的概念§3.2行列式值的和性质、记算§3.3
若干应用(逆阵公式、克拉默法则等)本章的主要内容重点内容
行列式的计算第2页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六1、概念2、性质§3.1行列式的概念和性质第3页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六一、概念
对任一n阶矩阵用式子或用大写字母
D表示,常把上述表达式称为
A的行列式
(determinant),记作detA
表示一个与
A相联系的数,而把相联系的那个数称为行列式的值.今后,称上述具有n
行n
列的表达式为n
阶行列式.第4页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六定义把删去第i行及第j列后所得的(n–1)阶子矩阵称为对应于元aij
的余子矩阵,并以Sij
记之.
对一n阶矩阵对
n=2,3,…,用以下公式递归地定义
n阶行列式之值:def定义
一阶矩阵
[a11
]的行列式之值定义为数a11
,即det[a11
]defa11第5页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六例设def,计算该行列式的值解因有
S11=[a22],S12=[a21],
故—+第6页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六例设,计算
detA
的值.解def第7页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六若写出计算3阶行列式值的公式为第8页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六以下表的形式记3阶行列式值的计算公式
说明
三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.
结论
n阶行列式的值是
n!个不同项的代数和,其中的每一项都是处于行列式不同行又不同列的n个元之乘积.第9页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六定义
对
n阶行列式
detA,称detSij
为元
aij的余子式
,称为元
aij的代数余子式.例如第10页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六根据该定义,可重新表达行列式的值def其中
A1k
是元
a1k对A或detA
的代数余子式.相当于把行列式按第一行展开注
行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子式.第11页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六定理1
行列式与它的转置行列式相等.说明
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.2、性质定理
对n阶矩阵
A,有
行列式的值也可按第1列展开计算.第12页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六例如推论
若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.定理2
互换行列式的两行(列),行列式值反号.
定理3
行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,
等于用数
k
乘此行列式.第13页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六请问若给n阶行列式的每一个元素都乘以同一数k,等于用
乘以此行列式.思考推论1
对
n阶行列式A
,有
推论2
行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.证第14页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六推论3一行(或列)元素全为0的行列式值等于零.定理4
若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和则D等于下列两个行列式之和例如第15页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六推论把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列(行)对应的元素上去,行列式的值不变.例如
行列式等值变形法则第16页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六定理行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即或表达为若行列式按列展开,有定理
行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即行列式的展开定理第17页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六证将行列式按第i行展开,有如果将行列式中的aij换成akj,那么自然有第18页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六行列式含有两个相同的行,值为0.综上所述,得公式第19页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六注在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n-1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义,但展开定理在理论上是重要的.
利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算:方法计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.第20页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六例
计算行列式解第21页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六定理
设
L是有如下分块形式的
(n+p)阶矩阵其中
A是
n阶矩阵,
B是
p阶矩阵,则有在A、B是方阵时也成立定理
若A、B是两个同阶矩阵,则注意
公式中C的元之具体值对结果无影响.第22页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六例设
证明第23页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六证明对作运算,把化为下三角形行列式设为对作运算,把化为下三角形行列式设为第24页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六证明:对作运算,把化为下三角形行列式对D
的前k行作运算,则第25页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六对作运算,把化为下三角形行列式对D
的后n列作运算,则第26页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六对D
的前k行作运算,再对后n
列作运算,把D
化为下三角形行列式故第27页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六例:设
,D的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记作
Mij
和Aij
,求分析:利用及第28页,共31页,2022年,5月20日,5点44分,星期六解:第29页,共31页,2022年,5月20日,5点44分
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2024广告位租赁合同
- 2023年高性能计算项目安全风险评价报告
- 落地式钢管脚手架工程施工施工工艺技术
- 2024建造师聘用协议书
- 2024房屋买卖合同公积金贷款
- 2024房地产独家委托代理销售合同
- 2024工程建筑材料购销合同范本简单
- 2024工资保密协议员工保密协议书
- 2024劳务出资合伙协议合同
- 2024广告施工合同范文
- 水质检测公司检测报告(模板)
- 2022年尼龙行业发展现状分析
- 人民检察院文书全览
- 外科学教案-肝脏疾病
- 中学青春期性教育(38PPT)
- 去游泳馆游泳有哪些注意事项
- 卷烟零售客户满意度提升措施
- 企业公司组织架构图word模板
- 安全标识标准图册ppt
- 使用维护说明书(往复式索道使用维护说明书)
- 《机械制图》新国家标准
评论
0/150
提交评论