习题1：离散型随机变量的分布列

离散型随机变量的分布列双基达标限时20分钟1．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是()．A.X－2024P0B.X012PC.X123P－eq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(2,3)D.X123P1g11g21g5解析四个选项均符合“二维表”结构，但C选项中，P(X＝1)＜0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点．C选项不是分布列．答案C2．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下表：ξ1234Peq\f(1,10)peq\f(3,10)eq\f(1,10)则p等于()．\f(1,10)\f(1,5)\f(2,5)\f(1,2)解析eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,10)＋p＝1，解得p＝eq\f(1,2).答案D3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()．A．0\f(1,3)\f(1,2)\f(2,3)解析设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝eq\f(2,3).故p(ξ＝0)＝1－p＝eq\f(1,3).答案B4．若离散型随机变量X的分布列为X01P2a3a则a＝________．解析由离散型随机变量的性质可知2a＋3a＝1，解得a＝eq\f(1,5).答案eq\f(1,5)5．某人投篮的命中率是命不中概率的3倍，以随机变量X表示1次投篮的命中次数，则P(X＝1)＝________．解析设命不中的概率为p，则命中的概率为3p，p＋3p＝1，p＝eq\f(1,4).P(X＝1)是1次投篮中命中的概率，即投篮命中率．答案eq\f(3,4)6．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列．解(1)X的分布列为X00Peq\f(3,7)eq\f(4,7)(2)∵P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，∴X的分布列为X01Peq\f(1,7)eq\f(6,7)综合提高（限时25分钟）7．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于eq\f(Ceq\o\al(1,22)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,22),Ceq\o\al(2,26))的是()．A．P(0＜X≤2)B．P(X≤1)C．P(X＝1)D．P(X＝2)解析本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球．答案B8．随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(c,k（1＋k）)，k＝1，2，3，4，其中c为常数，则P(ξ≥2)等于()．\f(2,3)\f(4,5)\f(3,8)\f(5,6)解析由题意eq\f(c,k（k＋1）)＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－\f(1,k＋1)))因此ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋\f(1,4)－\f(1,5)))＝1即ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))＝1，∴c＝eq\f(5,4).又P(ξ≥2)＝1－P(ξ＜2)＝1－P(ξ＝1)＝1－eq\f(5,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,8).答案C9．设随机变量ξ只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P(ξ＜x)＝eq\f(1,12)，则x的取值范围是____________．解析依题意知，ξ的分布列为ξ567…16Peq\f(1,12)eq\f(1,12)eq\f(1,12)…eq\f(1,12)由分布列知，P(ξ＜x)＝P(ξ＝5)＝eq\f(1,12).故x∈(5，6]．答案(5，6]10．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，ξ023Pabc则这名运动员投中3分的概率是________．解析由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,6)，所以投中3分的概率是eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)11．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算及格，求该考生答对的试题数X的分布列，并求该考生及格的概率．解X＝1，2，3，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)；P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)；P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8)Ceq\o\al(0,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).所以X的分布列为X123Peq\f(1,15)eq\f(7,15)eq\f(7,15)该考生及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(7,15)＋eq\f(7,15)＝eq\f(14,15).12．第26届世界大学生夏季运动会于2022年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．解(1)根据茎叶图，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)，所以选中的“高个子”有12×eq\f(1,6)＝2人，“非高个子”有18×eq\f(1,6)＝3人．用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件eq\o(A,\s\up6(－))表示“没有‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).因此，至少有1人是“高个子”的概率是eq\f(7,10).(2)依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(14,55)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(28,55)，P(ξ＝2)＝eq