信号与线性系统-8

信号与线性系统-8(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：22，分数：100.00)(1).（分数：2.00）(1).（分数：2.00）正确答案：()解析：解是一个公比为解析：解是一个公比为k=0。(2).2δ(k)-ε(k)（分数：2.00）正确答案：()(3).（分数：2.00）(3).（分数：2.00）正确答案：()解析：解此序列可看做是对连续时间信号(1+sin(2πt))ε(t16形如图(c)所示。(4).k(2)

-kε(k)（分数：2.00）正确答案：()解析：解此序列起始于k=1，其图形如图(d)所示。绘出下列离散信号的图形。（分数：8.00）(1).k[ε(k+4)-ε(k-4)]（分数：2.00）正确答案：()解析：解因故此信号的图形如图(a)所示。解析：解因(2).1-ε(k-4)（分数：2.00）正确答案：()解析：解因故此信号的图形如图(b)所示。解析：解因(3).2

k[ε(-k)-ε(3-k)]（分数：2.00）解析：解因正确答案：()解析：解因故此信号的图形如图(c)所示。(4).(k

2+k+1)[δ(k+1)-2δ(k)]（分数：2.00）解析：解因正确答案：()解析：解因故此信号的图形如图(d)所示。写出图所示序列的函数表达式。（分数：2.00）正确答案：()解析：解(a)由图(a)可知该序列在0≤k≤4时值为2，故可利用单位阶跃序列表示为(b)由图(b)可知该序列是一个以为首项，以为公差的等差右边序列，故其函数表达式为f(k)=2[ε(k)-ε(b)由图(b)可知该序列是一个以为首项，以为公差的等差右边序列，故其函数表达式为(c)可知该序列在-3≤k≤-111≤k≤31，故利用单位阶跃序列可表示为f(k)=[ε(-k-1)-ε(-k-4)]-[ε(k-1)-ε(k-4)](d8+2k8-2k，且k=06，故其函数表达式为f(k)=(8+2k)[ε(-k-1)-ε(-k-4)]+6δ(k)+(8-2k)[ε(k-1)-ε(k-4)]或f(k)=(8+2k)[ε(-k-1)-ε(-k-4)]-2δ(k)+(8-2k)[ε(k)-ε(k-4)]或f(k)=(8+2k)[ε(-k)-ε(-k-4)]-10δ(k)+(8-2k)[ε(k)-ε(k-4)]用归纳法写出下列右边序列的闭式。（分数：8.00）(1).{1，-1，1，-1，…}（分数：2.00）正确答案：()1-1

k，故该序列的闭式为y(k)=(-1)

kε(k)解析：解由于该序列满足，故该序列的闭式为解析：解由于该序列满足，故该序列的闭式为(3).{-2，-1，2，7，14，23，…}（分数：2.00）正确答案：()k

-2，故该序列的闭式为y(k)=(k

2-2)ε(k)(4).{3

2+8，5

2+11，7

2+14，92

+17，…}（分数：2.00）正确答案：()解析：解由于该序列满足(3+2k)

2+3(3+k)-1，故该序列的闭式为y(k)=(4k

2+15k+17)ε(k)(1)sin(k)(2)ej0.4πk(3)sin(0.2πk)+cos(0.3πk)(4)cos(0.512πk)(5)sgn[(-0.23)k](6)sin(πk)ε(k)（分数：2.00）正确答案：()解析：解根据周期信号的定义，对于离散信号f(k)，若存在某个正整数N，使f(k+N)=f(k)，则f(k)是以N为周期的。要使sin(k+N)=sinkN=2πn(n但2πn不是整数，所以sink不是周期信号。ej0.4πk

=cos(0.4πk)+jsin(0.4πk)要使cos[0.4π(k+N)]=cos(0.4πk)0.4πN=2πn(n即N=5n可见存在正整数，使cos[0.4π(k+N)]=cos(0.4πk)所以cos(0.4πk)是周期的，且最小周期N=5。sin(0.4πk)5

j0.4πk是周期的，且周期为5。(2).（分数：2.00）对于sin(0.2πk)sin[0.2π(k+N)]=sin(0.πk)可求得N=10nn=1N=10sin(0.2π(2).（分数：2.00）1 1 1cos(0.3πcos(0.3πcos[0.3π(k+N)]=cos(0.3πk)可求得2n=3cos(0.3πk)220所以对于sin(0.2πk)+cos(0.3πk)，其周期为N1和N2的最小公倍数，亦即20。(4)由cos[0.512π(k+N)]=cos(0.512πk)可得(5)因为取n=32可得N=125，即cos(0.512πk)是周期为125的周期序列。(5)因为所以sgn[(-0.23)k]是周期性信号，周期为2。(6)因为ε(k)是非周期性信号，所以sin(πk)ε(k)是非周期性信号。2min100Hz算机处理，对其抽样以构成离散信号，求最小的理想取样点数。（分数：2.00）正确答案：()

max

=100Hz，由香农抽样定理知，最小抽样频率sminmaxsminmax即最大抽样时间间隔所以在长度为2min的时间里，可得到理想取样点，此即为最小取样点数。1kHz、2kHz、3kHz0.5、10.5、0.25010kHz0～25kHz内的频谱。（分数：2.00）正确答案：()或解析：解理解抽样信号与原信号的频谱之间有如下关系：或5.对信号，以抽样时间间隔分别为及进行理想抽样，试绘出抽样后所得序列的频谱5.对信号，以抽样时间间隔分别为及进行理想抽样，试绘出抽样后所得序列的频谱并作比较。（分数：2.00）正确答案：()由于解析：解原信号f(t)的频谱F(jω)为由于τ=2πBs，可得当抽样时间间隔时，当抽样时间间隔时，ω B，正好是f(t)的最大角频率的两倍，根据香农抽样定理知，频谱s s图(a(b图(a(b(cf(t)的频谱图以及以和进行理想抽样之后的频谱图。可见，频谱发生

时，ω B，小于f(t)的奈奎斯特抽样角频率，所以频谱s s混叠之后，我们已无法再辨认出原信号的频谱了。有人每年年初在银行存款一次，银行利息为β，每年年底所得利息亦转存下一年，试用差分方程表示第k年年初的存款额。（分数：2.00）正确答案：()解析：解第k年年初的存款额包括以下三个部分：①上一年即第(k-1)年年初的存款额y(k-1)；②第(k-1)年年底所得利息βy(k-1)；③第k年年初的存款e(k)。故有y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+e(k)整理得y(k)-(1+β)y(k-1)=e(k)或y(k+1)-(1+β)y(k)=e(k+1)下图表示一离散信号e(kTD/ARC1=R=1Ω，试写出描述y(kT)与e(kT)间关系的差分方程，这里y(kT)为y(t)在离散时间kT处的值组成的2序列。（分数：2.00）正确答案：()式中，为电路的时间常数。代入式中，为电路的时间常数。代入C=1F，R =R =1Ω，可得1 2

-2t

ε(t)且RC电路的零输入响应y zi

-2t

(A为系数)考虑时间段kT≤t≤(k+1)T，D/A转换器的输出为e(t)，且e(t)=e(kT)t=kT

(kT)=Aezi

-2kT从而得A=y

(kT)ezi

2Tk那么在时间段kT≤t≤(k+1)T，有y (t)=yzi

(kT)e-2(t-kT)zi另一方面，在kT≤t≤(k+1)T内，e(t)产生的零状态响应由此可见，y

(kT)=0，即y(kT)=yzs

(kT)zi这样零输入响应y (t)=y(kT)e-2(t-kT)，kT≤t≤(k+1)Tzi于是在kT≤t≤(k+1)T内，在e(t)=e(kT)的激励下，系统的全响应整理得取t=(k+1)T，可得差分方程为整理得连续时间系统中，常用有限时间积分器求取信号的平均值，即试证明可以将上述积分方程转换为下列差分方程来近似求解。（分数：2.00）正确答案：()解析：证明令τ=NT，可得如果时间段T足够小，可认为在T内，x(t)保持区间左端点的值不变，则y(t)可近似为黎曼和，即当t=kT时，即可得y(kT)，通常记为y(k)。所以有一初始状态不为零的离散系统。当激励为e(k)时全响应为当激励为-e(k)时全响应为求当初始状态增加一倍且激励为4e(k)时的全响应。（分数：2.00）正确答案：()解析：解设初始状态不变，当激励为e(k)时，系统的零输入响应为yzi题意根据线性非时变系统的性质，当激励为-e(k)时，全响应为

(k)，零状态响应为yzs

(k)。依联立式①、式②，可解得故当初始状态增加一倍且激励为4e(k)时，试列出图所示系统的差分方程。（分数：2.00）正确答案：()解析：解(a)由图(a)可得整理得y(k+1)+ay(k)=be(k)(b)由图(b)可得y(k)=be(k)-ay(k-1)整理得y(k)+ay(k-1)=be(k)(c)设图(c)中第一个加法器的输出为p(k)，则：分析第一个加法器的输入输出，可写出p(k)=e(k)-ap(k-1)+cy(k)①分析第二个加法器的输入输出，可写出y(k)=p(k-2)-by(k-1)②将式②中每一项的序号加1并移项，可得p(k-1)=y(k+1)+by(k)③1p(k)=y(k+2)+by(k+1)④将式③和式④代入式①并整理可得差分方程y(k+2)+(a+b)y(k+1)+(ab-c)y(k)=e(k)(1)试绘出下列离散系统的直接型模拟框图。(1)(2)y(k+2)+5y(k+1)+6e(k)=e(k+1)(3)y(k+2)+3y(k+1)+2y(k-2)=e(k-1)(4)y(k)=5e(k)+7e(k-2)（分数：2.00）正确答案：()解析：解(1)引入辅助函数q(k)，使可知y(k)=-q(k+1)+2q(k)②先画出方程①的直接型模拟框图，如图(a)所示，再在此基础上实现方程②，便得到此离散系统的直接型模拟框图，如图(b)所示。(1(c)所示。先将差分方程变形为y(k+3)=-3y(k+2)-2y(k-1)+e(k)然后根据上式体现的加法器的输入、输出关系，画出系统的直接型模拟框图，如图(d)所示。(e)所示的直接型模拟框图。(1)y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=e(k)+3e(k-1)(2)y(k+2)+2y(k+1)+y(k)=2e(k+1)+4e(k)（分数：2.00）正确答案：()解析：解(1)先将差分方程变成前向差分方程，则有y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=e(k+2)+3e(k+1)然后采用题上题(1)中方法，得直接型模拟框图，如图(a)所示。(2)该差分方程所表示的系统的直接型模拟框图如图(b)所示。求下列齐次差分方程所示系统的零输入响应。（分数：12.00）(1).y(k+1)+2y(k)=0，y(0)=1（分数：2.00）正确答案：()解析：解运用移序算子，原方程可写为Sy(k)+2y(k)=0，即(S+2)y(k)=0由特征方程S+2=0，解得S=-2，故y zi

kε(k)由初始条件得y(0)=C=1，所以y (k)=(-2)zi

ε(k)(2).y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0，y(0)=2，y(1)=1（分数：2.00）正确答案：()解析：解运用移序算子，原方程可写为(S2+3S+2)y(k)=0

2+3S+2=0，解得S

=-2，Sy (k)=[C (-2)ky (k)=[C (-2)k+C(-1)k]ε(k)zi 1 2由初始条件

=-1，所以2解得所以y (k)=[5(-1)解得zi

-3(-2)

k]ε(k)(3).y(k+2)+9y(k)=0，y(0)=4，y(1)=0（分数：2.00）正确答案：()解析：解运用移序算子，原方程可写为(S2+9)y(k)=0

2+9=0，解得S

=3j，S1

=-3j，所以2由初始条件解得y (k)=[C (3j)zi 1由初始条件解得

+C2

k]ε(k)所以(4).y(k+2)+2y(k+1)+2y(k)=0，y(0)=0．y(1)=1（分数：2.00）所以正确答案：()解析：解运用移序算子，原方程可写为(S2+2S+2)y(k)=0

2+2S+2=0，解得S

=-1+j，S1

=-1-j，故2y (k)=[C (-1-j)解得由初始条件zi 1解得由初始条件

+C2

k]ε(k)所以(5).y(k+2)+2y(k+1)+y(k)=0，y(0)=1，y(1)=0（分数：2.00）所以正确答案：()解析：解运用移序算子，原方程可写为(S2+2S+1)y(k)=0

2+2S+1=0，解得S

=S =-1y (k)=[C (-1)k+Ck(-1)y (k)=[C (-1)k+Ck(-1)k]ε(k)zi 1 2由初始条件解得所以所以y (k)=[(-1)k-k(-1)k]ε(k)=(1-k)(-1)kε(k)zi(6).（分数：2.00）解析：解先将原差分方程改写为由特征方程，解得，故由特征方程，解得，故由初始条件解得所以(1)求下列齐次差分方程所示系统的零输入响应。解得所以(1)(2)y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=0，y(-1)=0，y(-2)=1(3)y(k)+2y(k-1)+y(k-2)=0，y(0)=y(-1)=1(4)y(k)-7y(k-1)+16y(k-2)-12y(k-3)=0y(1)=-1，y(2)=-3，y(3)=-5（分数：2.00）正确答案：()解析：解此题所给差分方程均为后向差分方程。求解时可先改写为前向差分方程。S+1/3=0所以解得特征根为S=-1/3所以再利用y(0)确定y(k)中的系数，有再利用y(0)确定y(k)中的系数，有，所以zi由系统的差分方程可知特征方程为ziS2+3S+2=0

=-2，S1

=-12所以y (k)=[C zi 1

k+C 2

k]ε(k)利用原差分方程及所给初始值可迭代出y(0)和y(1)的值为y(0)=-2，y(1)=6，得再利用这两个初始条件，有，得所以y (k)=[2(-1)zi

-4(-2)

k]ε(k)由系统差分方程可知特征方程为S2+2S+1=0

=S =-11 2所以y (k)=[C zi 1

k+C 2

k]ε(k)利用原差分方程及所给初始值求出再由初始条件，有，得再由初始条件，有，得所以y zi

k+2k(-1)

k]ε(k)=(2k+1)(-1)

kε(k)由系统差分方程可知特征方程为S3-7S

2+16S-12=0，即(S-3)(S-2)

2=0

=3，S=S =21 2 3所以y (k)=[C (3)zi 1由初始条件，有

+C 2

k+C 3

k]ε(k)所以y (k)=(3zi

-2

-k·2

k)ε(k)=[3

k-(k+1)2

k]ε(k)求下列差分方程所示系统的单位函数响应。（分数：21.00）(1).y(k+2)-0.6y(k+1)-0.16y(k)=e(k)（分数：3.00）正确答案：()解析：解此系统的转移算子由原教材表7-2可知单位函数响应(2).（分数：3.00）(2).（分数：3.00）

k-1

-(-0.2)

k-1

]ε(k-1)正确答案：()移序算子移序算子1对应的单位函数响应为δ(k-1)。对于系统来说，其单位函数响应(3).y(k+2)-y(k+1)+0.25y(k)=e(k)（分数：3.00）正确答案：()7-27-2的转移算子对应于单位函数响应kvk-1ε(k)，则由移序算子S的作用可知，此系统的单位函数响应h(k)=(k-1)0.5

k-2

ε(k-1)=4(k-1)0.5

kε(k-1)(4).y(k+2)+y(k)=e(k)（分数：3.00）正确答案：()解析：解此系统的转移算子所以单位函数响应为(5).y(k+2)-y(k)=e(k)（分数：3.00）正确答案：()所以单位函数响应为解析：解此系统的转移算子所以单位函数响应为(6).y(k+2)-y(k)=e(k+1)-e(k)（分数：3.00）正确答案：()解析：解此系统的转移算子

k-1

ε(k-1)(7).y(k+2)+2y(k+1)+2y(k)=e(k+1)+2e(k)（分数：3.00）正确答案：()解析：解此系统的转移算子由于所以单位函数响应为由于h(k)也可表示为求图所示系统的单位函数响应。（分数：2.00）正确答案：()解析：解根据系统框图，可写出系统的差分方程为y(k)=0.5x(k-3)+x(k-2)+2x(k-1)当x(k)为单位函数δ(k)时，y(k)即为单位函数响应h(k)，即h(k)=2δ(k-1)+δ(k-2)+0.5δ(k-3)ε(1)证明单位阶跃序列响应r (k)与单位函数响应ε(1)(2)h(k)=rε

(k)-rε

(k-1)（分数：3.00）正确答案：()解析：证明对于因果系统的单位函数响应h(k)及单位阶跃序列响应rεh(k)=h(k)ε(k)，r (k)=r (k)ε(k)ε ε(1)根据单位阶跃序列响应的定义知

来说，有(2)由(1)知，由式①-式②便可得h(k)=rε

(k)-rε

(k-1)求图所示系统的单位函数响应与单位阶跃序列响应。（分数：3.00）正确答案：()解析：解由所给模拟框图可知，该系统的转移算子为从而得系统的单位函数响应为h(k)=8(k-1)+(-1)

k-1

ε(k-1)系统的单位阶跃序列响应为r (k)=h(k)*ε(k)=δ(k-1)*εε

k-1

ε(k-1)*ε(k)