【班海精品课件】人教版（新）九下-28.1 锐角三角函数 第四课时

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要测量教学楼的高度，小英身高1.6m．她在距离教学楼30m处测得仰角为25°，你能借助计算器估算出教学楼的高度吗?(精确到0.1m)班海——老师智慧教学好帮手班海，老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！感谢您下载使用【班海】教学资源！为什么他们都在用班海？一键发布作业，系统自动精细批改（错在哪？为何错？怎么改？），从此告别批改作业难帮助学生查漏补缺，培养规范答题好习惯，提升数学解题能力快速查看作业批改详情，全班学习情况尽在掌握多个班级可自由切换管理，学生再多也能轻松当老师无需下载，不占内存，操作便捷，永久免费！扫码一键发布数学作业AI智能精细批改(任务-发布任务-选择题目)新课精讲探索新知1知识点用计算器求已知锐角的三角函数值

通过上面的学习，我们知道，当锐角A

是30°，45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角三角函数值；如果锐角A

不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢？

我们可以借助计算器求锐角三角函数值.例如求sin18°，利用计算器的键，并输入角度值18，得到结果sin18°=0.309016994.

又如求tan30°36′,利用键，并输入角的度、分值(可以使用键)，就可以得到结果0.591398351.

因为30°36′=30.6°，所以也可以利用键，并输入角度值30.6，同样得到结果0.591398351.探索新知sintan°′″tan探索新知归

纳利用计算器求锐角三角函数值：1.当锐角的大小以度为单位时，可先按

，

，

键，然后输入角度值(可以是整数，也可以是

小数)，最后按

键，就可以在显示屏上显示出

结果；2.当锐角的大小以度、分、秒为单位时要借助

键计算，按键顺序是：(或

、)、度数、

、分数、

、秒数、

、.sincostan=°′″sincostan°′″°′″°′″=探索新知

例1用计算器求sin16°，cos42°，tan85°，

sin72°38′25″的值．解：如下表：

按键顺序显示结果sin16°0.275637355cos42°0.743144825tan85°11.4300523sin72°38′25″0.954450312sintansin164cos285252738====°′″°′″°′″探索新知总

结要注意不同型号的计算器的操作步骤可能有所不同．典题精讲1用计算器求下列锐角三角函数值：(1)sin20°，cos70°;sin35°,cos55°；

sin15°32′，cos74°28′;(2)tan3°8'，tan80°25′43".(1)sin20°≈0.3420，cos70°≈0.3420；sin35°≈0.5736，cos55°≈0.5736；sin15°32′≈0.2678，cos74°28′≈0.2678.(2)tan3°8′≈0.0547，tan80°25′43″≈5.9304.

解：典题精讲如图，是我们数学课上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算

cos55°，按键顺序正确的是(

)A.B.C.D.利用计算器求sin30°时，依次按键

，则计算器上显示的结果是(

)A．0.5B．0.707C．0.866D．1sin30°′″=cos255×=cos2550=cos255=cos255=CA探索新知2知识点用计算器求已知三角函数值的对应角

如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应锐角的度数.

例如，已知sinA=0.5018,用计算器求锐角A

可以按照下面方法操作：

依次按键

，然后输入函数值0.5018，得到∠A=30.119158

67°(这说明锐角A精确到1°的结果为30°).sin2ndF探索新知

还可以利用

键，进一步得到∠A=30

°07′08.97″(这说明锐角A精确到1′的结果为30°7′，精确到

1"的结果为30°7′9″).2ndF°′″探索新知

归

纳已知锐角三角函数值求锐角的度数：

如果是特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数．求角的度数要先按

键，将

、

、

转化成它们的第二功能键；当三角函数值为分数时，应先化成小数．2ndFsincostan探索新知例2已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：(1)sinA＝0.5168(结果精确到0.01°)；(2)cosA＝0.6753(结果精确到1″)；(3)tanA＝0.189(结果精确到1°)．导引：已知锐角三角函数值，利用计算器求锐

角的度数时要注意先按

键．2ndF探索新知解：(1)依次按键：

显示结果为：31.11784556，∠A≈31.12°.(2)依次按键：

显示结果为：47°31′21.18″，

即∠A≈47°31′21″.(3)依次按键：

显示结果为：10.70265749，即∠A≈11°.sin2ndF0•5168=,2ndFtan0•918=,2ndF°′″cos0•3765=2ndF,探索新知总

结

计算器直接计算出的角的单位是度，而不是度、分、秒，因此若要得到用度、分、秒表示的角度，可以借助和键.2ndF°′″典题精讲已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数：(1)sinA=0.6275，sinB=0.0547;(2)cosA=0.6252，cosB=0.1659；

(3)tanA=4.8425，tanB=0.8816.(1)∠A≈38°51′57″，∠B≈3°8′8″；(2)∠A≈51°18′11″，∠B≈80°27′2″；(3)∠A≈78°19′56″，∠B≈41°23′58″.解：典题精讲已知α为锐角，且tanα＝3.387，下列各值中与α最接近的是(

)A．73°33′

B．73°27′C．16°27′

D．16°21′在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科学计算器求∠A约等于(

)A．24°38′

B．65°22′C．67°23′D．22°37′23AD探索新知3知识点用计算器探究三角函数的性质用计算器求下列各组锐角的三角函数值，从中你能

得出什么猜想？

（1）sin83°，cos7°；

（2）sin56°，cos34°；

（3）sin27°36′，cos62°24′.探索新知2.用计算器求下列各组锐角的三角函数值，从中你能

得出什么猜想？

（1）sin13°，

sin25°，sin36°，sin44°，sin57°，

sin68°，sin79°17′，sin83°27′53″；（2）cos17°34′，cos34°27′53″，cos53°18′，

cos69°57′

3″，cos77°17′

，cos88°17′25″；（3）tan27°34′，tan43°57′28″，tan52°18′15″，

tan67°，tan78°17′，tan85°24′.探索新知1.

猜想：sin

=cos(90°-).2.（1）猜想：对于锐角A，它的正弦函数(sinA)的函数值随

自变量锐角A

的增大而增大，且sinA必满足

0<sinA<1.

（2）猜想：对于锐角A，它的余弦函数(cosA)的函数值随锐角

A

的增大而减小，且cosA

必满足0<cosA<1.

（3）猜想：对于锐角A，它的正切函数(tanA)的函数值随锐角

A

的增大而增大，且tanA

满足0<tanA.探索新知

归

纳（1）sin

=cos(90°-

).（2）对于锐角A，它的正弦函数(sinA)的函数值随自变

量锐角A

的增大而增大，且sinA必满足0<sinA<1.（3）对于锐角A，它的余弦函数(cosA)的函数值随锐

角A

的增大而减小，且cosA

必满足0<cosA<1.（4）对于锐角A，它的正切函数(tanA)的函数值随锐

角A

的增大而增大，且tanA满足0<tanA.探索新知例3

已知α＋β＝90°.探究：(1)sinα与cosβ的关系；(2)tanα与tanβ的关系．导引：根据α和β互余，可以将α和β放入同一个直角三角

形中，利用锐角三角函数的定义去探究互为余角的两

角的三角函数关系．探索新知解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∠B＝β.

令∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c.(1)∵sinα＝

，cosβ＝

，∴sinα＝cosβ.(2)∵tanα＝

，tanβ＝

，∴tan

α·tanβ＝1.探索新知总

结互为余角的两角的三角函数间的关系：(1)任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即

sinα＝cos(90°－α)或cosα＝sin(90°－α)；(2)任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒

数，即tanα·tan(90°－α)＝1.典题精讲1在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确的是(

)A．sinA＝sinB

B．tanA＝tanBC．sinA＝cosB

D．cosA＝cosBC用计算器比较tan25°，sin27°，cos26°的大小关系是(

)A．tan25°<cos26°<sin27°B．tan25°<sin27°<cos26°C．sin27°<tan25°<cos26°D．cos26°<tan25°<sin27°2C典题精讲用计算器求sin15°，sin25°，sin35°，sin45°，sin55°，sin65°，sin75°，sin85°的值，研究sinα的值随锐角α变化的规律，根据这个规律判断：若

<sinα<

，则(

)A．30°<α<60°B．30°<α<90°C．0°<α<60°D．60°<α<90°3A易错提醒用计算器求sin35°29′的值(结果精确到0.001)．解：sin35°29′≈0.580.易错点：不区分35°29′与35.29°而导致错误.学以致用小试牛刀用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是(

)A．0.90B．0.72C．0.69D．0.66用计算器验证，下列等式正确的是(

)A．sin18°24′＋sin35°36′＝sin54°B．sin65°54′－sin35°54′＝sin30°C．2sin15°30′＝sin31°D．sin72°18′－sin12°18′＝sin47°42′1B2D小试牛刀为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是(

)A.2ndFsin0·25＝B.sin2ndF0·25＝C.sin0·25＝D.2ndFcos0·25＝3A小试牛刀(1)如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的变化而变

化．试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化

的规律．

(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°

这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．小试牛刀(3)比较大小(在横线上填写“＜”“＞”或“＝”)：

若α＝45°，则sinα________cosα；

若α<45°，则sinα________cosα；

若α>45°，则sinα________cosα.(4)利用互为余角的两个角的正弦值和余弦值的关系，试比

较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°.(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的

增大而减小．(2)sin18°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°，cos88°<cos62°<cos50°<cos34°<cos18°.(4)sin10°<cos70°<sin50°<cos30°.解：＜＝＞小试牛刀5如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合，

且点P到BA，BC的距离分别为PE，PF的长)．

(1)若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，试比较PE，PF的大小；

(2)若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α>β，

请比较PE，PF的大小．小试牛刀(1)∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴sin∠EBP＝

＝sin40°，sin∠FBP＝

＝sin20°.又∵sin40°＞sin20°，∴＞

，∴PE＞PF.(2)∵α，β都是锐角，且α＞β，∴sinα＞sinβ.

又∵sin∠EBP＝

＝sinα，sin∠FBP＝

＝sinβ，∴＞

，∴PE＞PF.解：小试牛刀如图①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交

于点D，E，F，G，已知∠CGD＝42°.

(1)求∠CEF的度数；

(2)将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B，交AC边于

点H，如图②所示，点H，B在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC

的长(结果保留两位小数)．

(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)小试牛刀(1)∵∠CGD＝42°，∠C＝90°，∴∠CDG＝90°－42°＝48°.∵DG∥EF，∴∠CEF＝∠CDG＝48°.(2)∵点H，B的读数分别为4，13.4，∴HB＝13.4－4＝9.4(cm)，∴BC＝HBcos42°≈9.4×0.74≈6.96(cm)．答：BC的长约为6.96cm.解：小试牛刀如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．

(1)求海轮在航行过