12第十二讲 对数与对数运算

第十二节对数及对数运算宴—基第一课时：对数知识点一对数的概念思考解指数方程：3x=V3.可化为3x=3；，所以x=2,那么你会解3x=2吗？答案不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.梳理对数的概念：如果ax=N(a>0，且a/1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.知识点二对数与指数的关系思考loga1(a>0,且a/1)等于？答案设loga1=M化为指数式at=1,则不难求得t=0,即loga1=0.梳理一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a/1，则ax=NlogaN=x.对数恒等式：alogaN=N；logaax=x(a>0，且a/1).对数的性质：1的对数为零；底的对数为1；

(3)零和负数没有对数.类型一对数的概念例1在N=log(5^)(b-(3)零和负数没有对数.类型一对数的概念例1在N=log(5^)(b-2)中A.b<2或b>5实数b的取值范围是()B.2妙<5C.4<b<5D.2*5且b/4答案Db-2>0，5-b>0，...2<b<5且b/4.v5-b/1，反思与感悟由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a,所以a的取值范围为a>0,且。/1；由于在指数式中ax=N，而ax>0，所以N>0.1—x..跟踪训练1求fx)=logQ车x的定义域.x>0，S解要使函数式有意义，需U1，解得0<x<1.S解要使函数式有意义，需U1，解得0<x<1.1-x一>0，1+x1-x"加希的定义域为(0,D类型二应用对数的基本性质求值例2求下列各式中x的值：log2(log5x)=0；(2)log3(lgx)=1./.x=51=5.(1).「log2(log5x)=0./.log5x=2o=1，(2)Vlog3(lgx)=1，Algx=31=3，A/.x=51=5.反思与感悟本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题logaN=00N=1；logaN=EN=a使用频繁，应在理解的基础上牢记.跟踪训练2若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则x+y+z的值为()2朝有"王者之路”系列2020年升高一衔接学案A.9B.8C.7D.6答案A解析Vlog2(log3x)=0,/.log3x=1..*.x=3.同理y=4,z=2.^x+y+z=9.类型三对数式与指数式的互化命题角度1指数式化为对数式例3将下列指数式写成对数式：54=625；(2)2-6=64；(3)3。=27；(4)©m=5.73.解(1)log5625=4;(2)log264=-6；(3)log327=a；(4)log[5.73=m.3反思与感悟指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3(1)如果a=b2(b>0,b/1),则有()A.log?。=bB.log?》=adogb。=2D・logb2=a将3-2=9,Q)6=64化为对数式.⑶解方程：G)m=5.⑴答案C解析logba=2，故选C.解(2)3-2=*可化为log39=-2；(2)6=64可化为lo%£=6.⑶m=log^5.3命题角度2对数式化为指数式例4求下列各式中x的值：3坎［翱言■HhH■■村KitaSaHUEHTIBih(1)log64x=-2；(2)logx8=6；(3)lg100=x；(4)—lne2=x；(5)logr_、，—l=以('2一1人./3+2勺2解(1)x=64-3=(彳3'=坎［翱言■HhH■■村KitaSaHUEHTIBih16(2)因为x6=8,所以x=(x62=86=(23/=22二％‘2.(3)10^=100=102，于是x=2.(4)由-lne2=x，得-x=lne2，即e-x=e2.所以x=-2.(5)因为log(_)；=(2-1p+2、.,；2所以('j)x=i=^+T佥",所以x=1.反思与感悟要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求解跟踪训练4计算：(1)log927；(2)log4§81；(3)log厂625.3解(1)设x=log927，则9x=27,32x=33，Ax=2.(2)设x=log厂81，则(43)x=81,34=34，.•.x=16.⑶令x=log厂625，则(35)=625,5：x=54，.・・x=3.命题角度3对数恒等式alog/=n的应用例5⑴求33+log3x=2中的x.(2)求alogab-loghdogcN的值(a,b,c均为正实数且不等于1,N>0).2解(1)V33+典/=33•3log3x=27x=2，「.x二万.(2)alogab-logbc-logcN=(alogab)ogbc」ogcN=clogcN=N.反思与感悟应用对数恒等式注意：4些人行恭有■HIMH■■村KilvSHBLIEHTlBta些人行恭有■HIMH■■村KilvSHBLIEHTlBta(2)当N>0时才成立，例如j=x与j=alog^x并非相等函数.跟踪训练5设25典《2x-i)=9,则x=.答案解析25log《2x一1)二(答案解析25log《2x一1)二(52)og52x-1)=(5log《2x-1)...2x-1二±3，又V2x-1>0,.・.2x-1=3.「・x=2.第二课时：对数的运算L新课导学|知识点一对数运算性质思考有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算.那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？答案有.例如，设logaM=m,logaN=n,则am=M,an=N，：.MN="an=am4n,「.loga(MN)=m+n=logaM+logaN.得到的结论loga(MN)=logaM+logaN可以当公式直接进行对数运算.梳理一般地，如果a>0，且a/1,M>0,N>0，那么：loga(M.N)=logaM+logaN；…M，logaN=1华〃肱-logaN；(3)logaMn=nlogaM(nER).知识点二换底公式思考1观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式.而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e为底)，可以查表求对数值.那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？答案设法换为同底.思考2假设*g|=x，则log25=xlog23，即log25=log23x，从而有3x=5，再化为对数式可得到什么结论?答案把3x=5化为对数式为：log35=x，logclogc5又因为x—log3，所以得出logm'—log3的结论.至人行朝言梳理一般地，对数换底公式：log-blogab=iogca(a>0，且a^1,b>0，c>0，且c#1)；特别地：log/」og沪=1（a>0，且a^1,b>0，且心1）..题型探究_类型一具体数字的化简求值例1计算：(1)log345—log35；(2)log2(23X45)；z^l^'27+lg8—1^1000⑶lg1.2；(4)log29-log38.45解(1)log345-log35=log3y=log39=log332=2log33=2.(2)log2(23X45)=log2(23X210)=log2(213)=13log22=13.)^lgx8^—lg102l荒⑶原式二r3lg32ki12lg-A3X23+102J10lgr3X4]

k10Ji12

lg-103122lg103—12=2-6(4)log29-log38=log2(32)-log3(23)=2log23-3log32二6」。g23•忐二6.反思与感悟具体数的化简求值主要遵循2个原则.⑴把数字化为质因数的幕、积、商的形式.(2)不同底化为同底.跟踪训练1计算：(1)2log63+log64；11(lg25一歧片1002；log43-log98；1log256.25+lnUe—0.0643.解(1)原式=log632+log64=log6(32X4)=log6(62)=2log66=2.(2)原式=(lg25)^102x(2]=lg102^10-14=2X10=20.原式一蚣座一虫3也=3原式=lg4'lg9=2lg2'2lg3=4.1r64V⑷原式二噂照以+亏-:1000j=2.^-4=2^221010.类型二代数式的化简命题角度1代数式恒等变换例2化简log竺^.，3解...Q,y〉。且粗〉。,\§>0,.・.y>0,z>0.7些人行我有■HIMH>・hlSiitaaBBiJEHriEita10g半1二码(口；§)-10gfl3Z=10g/2+log/.'}-10gaQi二2典户1+知/-如户反思与感悟使用公式要注意成立条件，如1gx2不一定等于21gx，反例：1og10(-10)2=21og10(-10)是不成立的.要特别注意1oga(MN)N1ogaM・1ogaN,1oga(M±N)N1og些人行我有■HIMH>・hlSiitaaBBiJEHriEita跟踪训练2已知y>0,化简1理琵."一一一一解.>0，y>0，..x>0，z>0.yz1ogj}|=1og/-1唱3)=21og/-1og!-1理产命题角度2用代数式表示对数例3已知1og189=a,18^=5,求1og3645.解方法一1og189二a,18心5，..・1og］852，于是1og45=3二燮就5)」og189+1og185于是1og36451og18361og18(18X2)1+1og182a+ba+b1+1og¥2-aog189方法二•1og189=a,18b=5，...1og185=b，工曰］1og451og(9X5)于是1og3645=忒侦=1og；；(18X2)1og189+1og185a+b.21og1818-1og1892-a方法三.1og189二a,18b=5，•1g9=a1g18，1g5=b1g18，1g451g(9X5)0+】g5••1og3645=1g36二］借=21g18-1g98ME言alg18+blg18a+b.2lg18-alg182-a反思与感悟此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元.跟踪训练3已知log23=a,log37=b,用a,b表示log4256.解：log23-a，则己=log32，又,/log37-b,._log356log37+3log32ab+3课后检测J'42log342log37+log32+1ab+a+1对数的概念有下列说法：课后检测J零和负数没有对数;任何一个指数式都可以化成对数式；以10为底的对数叫做常用对数；以e为底的对数叫做自然对数.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C解析①、③、④正确，②不正确，只有a>0，且a/1时，ax-N才能化为对数式.已知b=log(a_^)(5-a)，则实数a的取值范围是()A.a>5或a<2B.2<a<5C.2<a<3或3<a<5D.3<a<4答案Cr一5-a>0，一，「一―解析由a-2>0，得2<a<3或3<a<5.'a-2/1，下列四个等式：①lg(lg10)=0；②lg(lne)=0；③若lgx=10，则x=10；④若lnx=e,则x=e2.其中正确的是()A.①③B.②④9至人行软有■HIMH>・hlSiiNaBBlJEHTlBtaC.①②D.③④答案C解析①lg(lg10)=lg1=0；②lg(lne)=lg1=0；③若lgx=10,则x=1010；④若ln^=e，则x=ee.5.(|)-1+log0.54的值为()7A.6B.2c.0d.7答案C解析(2)-1+log054二(2)一1+log]4=2-2=0.24.log有81=.答案8解析设log_81=r,U(M)f=81,32=34,2=4,t=8.5.设Q=log310,》=log37,则3a-b=.答案10答案107解析..•a=log310,b=log37,A3a=10,3b=7,.c3a10

..3a3b=7.6.求22+log23+32-log’s的值.32解22+log3+32-log39=22X2iog23+-——23log399=4X3+9=12+1=13.对数运算1.下列各式(各式均有意义)不正确的个数为()clogM①logclogM①loga(M^)=logaM+logaN；②loga(M—^)=^og^:③aA.2答案BB.3C.4=---:④(am)n=amn:⑤logb=—nlogb.m；—\anD.5些人行软有■HIMH■■村KitaS■BiJEflTIElih解析①正确，②不正确，③正确，④不正确，⑤不正确.化简确等于()A.log54B.3log52C.2答案D解析lOg52=典28=log2(23)=3.若log53」og36・log6x=2,贝x等于()D.3A.9C.25答案D1B.91D.25A73+r;Hig*八f*日——!^6ifi^_