【创新设计】2011届高三数学一轮复习 5-5数列的综合应用随堂训练 理 苏教版

第5课时数列的综合应用一、填空题1．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为14035， 则出齐这套书的年份是________． 解析：设出齐这套书的年份是x，则(x－12)＋(x－10)＋(x－8)＋…＋x＝14035，x＝2011. 答案：20112．数列{an}前n项和Sn与通项an满足Sn＝nan＋2n2－2n(n∈N*)，则a10－a100的值为 ________． 解析：∵Sn＝nan＋2n2－2n，① ∴当n≥2时，Sn－1＝(n－1)an－1＋2(n－1)2－2(n－1)．② ①－②得an＝nan－(n－1)an－1＋2(2n－1)－2， 整理得an－an－1＝－4，即{an}为公差为－4的等差数列，∴a10－a100＝(100－10)×4＝360. 答案：3603．数列{xn}满足x1＝1，x2＝eq\f(2,3)，且eq\f(1,xn－1)＋eq\f(1,xn＋1)＝eq\f(2,xn)(n≥2)，则xn等于________． 解析：由x1＝1，x2＝eq\f(2,3)，eq\f(1,xn－1)＋eq\f(1,xn＋1)＝eq\f(2,xn)(n≥2)得：eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,xn＋1)－eq\f(1,xn)，{eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)}组成 常数列，首项eq\f(1,x2)－eq\f(1,x1)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,xn)＝eq\f(1,x1)＋eq\f(n－1,2)＝1＋eq\f(n－1,2)＝eq\f(n＋1,2)，∴xn＝eq\f(2,n＋1). 答案：eq\f(2,n＋1)4．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的 通项公式是an＝________. 解析：(n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0，即为(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0， 而an＞0，an＋1＞0，∴an＋1＋an≠0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)， ∴an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)…eq\f(an,an－1)＝1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·eq\f(3,4)·…·eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,n). 答案：eq\f(1,n)5．(苏州市高三教学调研测试)命题P：“在等比数列{an}中，若aeq\o\al(4,2)a10a()＝64，则数列{an} 的前11项的积T11为定值”．由于印刷问题，括号处的数模糊不清，已知命题P是真命 题，则可推得括号处的数为________． 解析：由等比数列性质有a1·a11＝a2·a10＝…aeq\o\al(2,6)，所以T11＝a1·a2·…·a11＝aeq\o\al(11,6)，若命题P为 真命题，则有|a6|为定值，aeq\o\al(4,2)·a10·an＝(a6q－4)4a6q4a6qn－6＝aeq\o\al(6,6)qn－18＝64，所以当n＝18时， |a6|＝2为定值． 答案：186．(江苏省高考命题研究专家原创卷)若数列{an}(n∈N*)的递推关系式为如下的伪代码所 示，则a2010＝________. 解析：由题意，得数列{an}的递推关系式为a1＝eq\f(6,7)，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an(0≤an≤1)，,a\o\al(－1,n)(an>1).)) 所以a2＝eq\f(12,7)，a3＝eq\f(5,7)，a4＝eq\f(10,7)，a5＝eq\f(3,7)，a6＝eq\f(6,7).由此，数列{an}的项的大小具有周期性，且 周期为5.又2010＝402×5，所以a2010＝a5＝eq\f(3,7). 答案：eq\f(3,7)7．(江苏省高考命题研究专家原创卷)将给定的25个数排成如图所示的数表，若每行5 个数按从左至右的顺序构成等比数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等比数列， 且表正中间一个数a33＝1，则表中所有数之积为________． 解析：特值法处理，不妨令表中各数均为1，显然是符合题设要求的一个数表，这时， 表中各数之积为1，所以所求的答案为1. 答案：1二、解答题8．一个球从100m高处自由落下，每次着地后跳回到原高度的一半再落下，当它第10 次着地时，共经过的路程是多少？(精确到1m) 解：由题意知，球第一次着地时经过的路程是100m，从这时到球第二次着地时共经过 了eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(100,2)))m，从这时到球第三次着地时共经过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(100,22)))m，…到第10次时应为 eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(100,29)))m. ∴S10＝100＋2×eq\f(100,2)＋2×eq\f(100,22)＋…＋2×eq\f(100,29)＝100＋100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋…＋\f(1,28))) ＝100＋eq\f(100×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,29))),1－\f(1,2))≈300(m)．即共经过的路程为300m.9．假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在 今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中， 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底． (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4750万 平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.(1.085≈1.47) 解：(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列． 其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋eq\f(n(n－1),2)×50＝25n2＋225n. 令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10. ∴到2017年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米． (2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列．其中b1＝400，q＝1.08， 则bn＝400×1.08n－1.由题意可知an＞0.85bn，有250＋(n－1)·50＞400×1.08n－1×0.85. 由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n＝6， ∴到2013年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.10．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，点(n,2an＋1－an)在直线y＝x上，其中n＝1,2,3，…. (1)令bn＝an＋1－an－1，求证：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项； (3)设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn＋λTn,n)))为 等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明：由已知得：a1＝eq\f(1,2)，2an＋1＝an＋n，∴a2＝eq\f(3,4)，a2－a1－1＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)－1＝－eq\f(3,4)， 又bn＝an＋1－an－1，bn＋1＝an＋2－an＋1－1， ∴eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－an＋1－1,an＋1－an－1)＝eq\f(\f(an＋1＋n＋1,2)－\f(an＋n,2)－1,an＋1－an－1)＝eq\f(\f(an＋1－an－1,2),an＋1－an－1)＝eq\f(1,2)， ∴{bn}是以－eq\f(3,4)为首项，以eq\f(1,2)为公比的等比数列． (2)解：由(1)知，bn＝－eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,2n)，∴an＋1－an－1＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,2n)， ∴an－an－1－1＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,2n－1)，an－1－an－2－1＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,2n－2)，… a3－a2－1＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,22)，a2－a1－1＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,2)， 将以上各式相加得：an－a1－(n－1)＝－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n－1)))， ∴an＝a1＋n－1－eq\f(3,2)×eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1))),1－\f(1,2))＝eq\f(1,2)＋(n－1)－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))＝eq\f(3,2n)＋n－2， ∴an＝eq\f(3,2n)＋n－2. (3)存在λ＝2，使数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn＋λTn,n)))是等差数列． 由(1)(2)知，eq\f(Sn＋λTn,n)＝eq\f(\f(n(n＋1),2)－2n－2Tn＋λTn,n)＝eq\f(n－3,2)＋eq\f(λ－2,n)Tn， 又Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(－\f(3,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))＝－eq\f(3,2)＋eq\f(3,2n＋1)， eq\f(Sn＋λTn,n)＝eq\f(n－3,2)＋eq\f(λ－2,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(3,2n＋1)))，所以当且仅当λ＝2时，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn＋λTn,n)))是等差数列．1．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为________． 解析：由S20＝100得a1＋a20＝10，∴a7＋a14＝10.又a7＞0，a14＞0，∴a7·a14≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a7＋a14,2)))2＝25. 答案：252．用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后 每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万 元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？ 全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？ 解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的 数额顺次构成数列{an}， 故a1＝100＋2000×0.01＝120(万元)， a2＝100＋(2000－100)×0.01＝119(万元)， a3＝100＋(2000－100×2)×0.01＝118(万元)， a4＝100＋(2000－100×3)×0.01＝117(万元)， …