最新1+2+测量误差与数据处理基础课件

1+2+测量误差与数据处理基础1+2+测量误差与数据处理基础补充

测量的概念

测量是借助于仪器或仪表，依靠实验和计算方法对被测量取得定性或定量信息的认识过程。

检测技术比上述的测量定义有更加广泛的含义。它是指下述的全面过程：按照被测量的特点，选用合适的检测装置与实验方法，通过测量和数据处理及误差分析，准确得到被测量的数值，并为进一步提高测量精度，改进实验方法及测量装置性能提供可靠的依据。一切测量过程都包括：比较、示差、平衡、读数四个步骤。补充测量的概念检测技术比上述的测量定义有补充

测量的基本方法标准量标准计量单位（如米尺、光栅尺、激光、……）

绝对测量定值标准量（如某一固定尺寸）

相对测量1)直接测量直接将被测量与标准量进行比较补充测量的基本方法标准量标准计量单位（如米尺、光栅尺、激--绝对测量：采用仪器、设备、手段测量被测量，直接得到测量值测量结果：20.1mm--相对测量：将被测量直接与基准量比较，得到偏差值特点：简单、直观、明了；测量精度不高基准量：20.00mm测量值：+0.08mm结果：20.08mm特点：精度高；复杂、成本高、要求高补充

--绝对测量：采用仪器、设备、手段测量被测量，直接得到测量测量与被测量有一定函数关系的参量，被测量由计算获得。如测导线的导电率ρ：补充

2)间接测量3)组合测量测量与被测量有一定函数关系的参量，被测量由计算获得。如测导线按照所用仪表和比较过程特点分类(1)偏差法：利用测量仪表的指针相对于刻度的偏差位移直接表示测量的数值

特点：偏差式测量简单、迅速，但精度不高，这种测量方法广泛应用于工程测量中。补充

偏差式测量、零位式测量及微差式测量按照所用仪表和比较过程特点分类补充偏差式测量、零位式测量(2)零位法：

将被测量x与某一已知标准量ｓ完全抵消，使作用到测量仪表上的效应等于零，如天平、电位差计等。由此可知x＝s。

特点：测量精度主要取决于标准量的精度，与测量仪表的精度无关。因而测量精度很高，在计量工作中应用很广。

缺点是速度不快，用于测量变化较缓慢的信号。补充

(2)零位法：补充(3)微差法：偏差法和零位法的结合被测量余数被测量大值与标准量大体平衡补充

综合了偏差式和零位式两种测量法的优点。此法在测量时分两步进行，第一步是将被测量基本工作点与标准量进行比较，并调节达到平衡状态。在此基础上，当被测量离开工作点（有微小变动），测量仪表便离开平衡状态，此时仪表的指示值即为变动部分的值。(3)微差法：偏差法和零位法的结合被测量余数被测量大值与标准第一节测量误差及其分类

一、测量误差的定义真值：

在一定的时间及空间条件下，某被测量的真实数值。约定真值：

为使用目的所采用的接近真值因而可代替真值的值。误差公理：

误差自始自终存在于一切科学实验和检测之中，被测量的真值永远是难以得到的。第一节测量误差及其分类一、测量误差的定义真值：第一节测量误差及其分类

研究误差的意义：能合理确定检测结果的误差；能正确地认识误差的性质，分析产生误差的原因，采取措施达到减少误差的目的；有助于正确处理实验数据，合理计算测量结果，以便在一定的条件下，得到最接近于真实值的最佳结果；有助于合理选择实验仪表、测量条件及测量方法，使能在比较经济的条件下，得到预期的结果；有利于评价控制系统的各种控制规律的优劣；有助于利用误差理论指导设计、制造仪表、减小仪表本身的误差。第一节测量误差及其分类研究误差的意义：第一节测量误差及其分类

Δ–绝对误差x–测量值A0–真值1、绝对误差Δ–绝对误差x–测量值X0–约定真值常用绝对误差的大小表示测量值偏离真值的程度。真值理论真值约定真值相对真值第一节测量误差及其分类Δ–绝对误差1、绝对误差Δ第一节测量误差及其分类

2、相对误差相对误差最突出的优点是能够更好地说明测量质量的好坏。实际相对误差公称相对误差X0是约定真值（实际值）X是仪表公称值（示值）第一节测量误差及其分类2、相对误差相对误差第一节测量误差及其分类

3、引用误差引用误差是相对误差的一种特殊形式，常用来评价仪表的质量。但是仪表的具体示值有关，使用仍不方便。最大引用误差B是仪表的满量程能更可靠地表明仪表的测量精确度，故常作为工业仪表精度等级的标志。第一节测量误差及其分类3、引用误差引用误第一节测量误差及其分类

仪表的精度等级国家用最大引用误差来规定电工仪表的精度等级G，分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，5.0八级。规定取最大引用误差百分数的分子作为精度等级的标志。即：【例1】设按毫伏刻度的电子电位差计的检验记录x如下表，x0是用高精度的仪表测出的值。测试值x（mV）0.002.004.006.008.0010.00真值x0（mV）0.011.984.015.978.049.99绝对误差Δ（mV）-0.01+0.02-0.01+0.03-0.04+0.01引用误差（%）-0.1+0.2-0.1+0.3-0.4+0.1第一节测量误差及其分类仪表的精度等级国家【例2】某压力表精度为1.5级，量程为0～2.0MPa，测量结果显示为1.2MPa，求1）最大引用误差δm；2）可能出现的最大绝对误差Δm；3）示值相对误差δx＝？【解】1）由精度等级可直接得到最大引用误差，即2）3）第一节测量误差及其分类

【例2】某压力表精度为1.5级，量程为0～2.0MPa，测量第一节测量误差及其分类

【例3】现有0.5级0～300℃和1.0级0～100℃的两个温度计，要测量80℃的温度，试问采用哪一个温度计好？【解】若采用0.5级温度计若采用1.0级温度计结果表明，使用工作在量程下限时相对误差较大。用1.0级仪表比用0.5级仪表的示值相对误差反而小，所以更合适。第一节测量误差及其分类【例3】现有0.5级0～300℃根据误差值是否变化，可将系统误差进一步划分为恒定系差和变值系差。变值系差又可分为累进性系差、周期性系差和按复杂规律变化的几种。按照对系统误差掌握的程度，可将其大致分为已定系差和未定系差。第一节测量误差及其分类

二、测量误差的分类1、系统误差在相同条件下，多次测量同一被测量值的过程中出现的一种误差，它的绝对值和符号或者保持不变，或者在条件变化时按某一规律变化，

此类误差称为系统误差，简称系差。

系统误差表征测量的准确度。

性质：有规律，可再现，可以预测原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差处理：理论分析、实验验证→修正根据误差值是否变化，可将系统误差进一步划分为恒第一节测量误差及其分类

2、随机误差是在相同条件下，多次测量同一被测量值的过程中出现的误差，此误差没有固定的大小和符号，呈无规律的随机性。通常用精密度表征随机误差的大小。通常将准确度和精密度合称为精确度，

简称精度。

性质：正态分布原因：装置误差、环境误差、使用误差处理：统计分析、计算处理→减小第一节测量误差及其分类2、随机误差性质：正态分布第一节测量误差及其分类

3、粗差又称疏失误差，或粗大误差，指明显偏离约定真值的误差。

它主要是由于测量人员的失误所致，

如测错、读错或记错等。含有粗大误差的数值称为坏值，应予以剔除。性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起原因：装置误差、使用误差处理：判断、剔除第一节测量误差及其分类3、粗差性质：偶然出现，误第一节测量误差及其分类

三、准确度、精密度和精确度2、精密度

在相同条件下，对同一个量进行重复测量时，这些测量值之间的相互接近程度即分散程度，它反映了随机误差大小。1、准确度

它表示测量仪器指示值对真值的偏离程度。它反映了系统误差的大小。3、精确度（简称精度）它是精密度和准确度的综合反映，它反映了系统综合误差的大小，并且常用来表示测量误差的相对值。第一节测量误差及其分类三、准确度、精密度和精确度2、精第一节测量误差及其分类

测量精度举例不精密（随机误差大）准确（系统误差小）精密（随机误差小）不准确（系统误差大）不精密（随机误差大）不准确（系统误差大）精密（随机误差小）准确（系统误差小）第一节测量误差及其分类测不精密（随机误差大）精密第二节系统误差的消除方法

一、消除产生误差的根源系统误差产生的原因系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成，在条件充分的情况下这些因素是可以掌握的。主要来源于：①测量装置方面的因素②环境方面的因素③测量方法的因素④测量人员的因素计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。第二节系统误差的消除方法一、消除产生误差的根源系统误差第二节系统误差的消除方法

二、对测量结果进行修正修正值指与测量误差的绝对值相等而符号相反的值。修正值可以是一个具体的值，也可以是一条曲线、一个公式或图表。在测量之前，对仪器仪表进行校准或定期进行检定。通过检定，可以由上一级标准（或基准）给出受检仪表的修正值。将修正值加入测量值中，即可消除系统误差。第二节系统误差的消除方法二、对测量结果进行修正修正值第二节系统误差的消除方法

三、采用特殊测量法（一）恒定系差消除法1、零示法：将被测量与已知的标准量进行比较，当两者的差值为零时，被测量就等于已知的标准量。如：书中图1-2-2用电位差计测量热电偶的热电势。

第二节系统误差的消除方法三、采用特殊测量法（一）恒定系第二节系统误差的消除方法

2、替代法：又称为置换法，指先将被测量接入测量装置使之处于一定状态，然后以已知量代替被测量，并通过改变已知量的值使仪表的示值恢复到替代前的状态。则被测量的值即为已知量。测量装置的系统误差不会带给测量结果。替代法在阻抗、频率等许多电参数的精密测量方法中获得广泛的应用。例：电桥法测电阻。第二节系统误差的消除方法2、替代法：第二节系统误差的消除方法

3、交换法：又称为对照法，指在测量过程中将某些测量条件相互交换，使产生系差的原因对交换前后的测量结果起反作用。对两次测量结果进行数学处理，即可消除系统误差或求出系差的数值。如：用天平称重，替代法可消除由于天平两臂不等而引起的固定系统误差。再如：书中图1-2-3电桥法测电阻。

第二节系统误差的消除方法3、交换法：第二节系统误差的消除方法

（二）变值系差消除法1.等时距对称观测法：

又称对称观测法，用其可消除随时间按线性规律变化的系差，即线性系差。2.半周期偶数观测法:

某些周期性的系统误差的特点是，每隔半个周期产生的误差大小相等、符号相反。则这种系差可通过半周期偶数观测法来消除。即，读取相隔半周期的两次测量值，取其算术平均值作为结果。第二节系统误差的消除方法（二）变值系差消除法1.等时距第三节随机误差及其估算

补充：随机变量的数字特征数学期望：反映其平均特性X为离散型随机变量X为连续型随机变量第三节随机误差及其估算补充：随机变量的数字特征数学期望第三节随机误差及其估算

方差和标准偏差方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同的量纲第三节随机误差及其估算方差和标准偏差第三节随机误差及其估算

一、随机误差的分布规律及统计特性概率论的中心极限定理：如果一个随机变量是由大量微小的随机变量共同作用的结果，那么只要这些微小随机变量是相互独立或弱相关的，且均匀地小（即对总和的影响彼此相当），则无论它们各自服从于什么分布，其总和必然近似于正态分布。随机误差的正态分布概率密度函数的数学表达式为：第三节随机误差及其估算一、随机误差的分布规律及统计特性随机误差的统计特性表现在以下四个方面：(1)有界性：在一定条件下的有限测量值中，误差的绝对值不会超过一定的界限。

(2)单峰性：绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多。(3)对称性：指绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等。

(4)抵偿性：相同条件下对同一量进行多次测量，随机误差的算术平均值随着测量次数n的无限增加而趋于零，即误差平均值的极限为零。第三节随机误差及其估算

随机误差的统计特性表现在以下四个方面：第三节随机误差及其随机误差的正态分布曲线第三节随机误差及其估算

长度相对测量值次数统计随机误差的正态分布曲线第三节随机误差及其估算长度相对测第三节随机误差及其估算

由可知被测量x也是服从正态分布的随机变量，且x的概率密度函数的数学表达式为：

下面讨论的问题是当只有一组数量有限的测量数据时，如何对X0和σ进行估算。二、测量值的算术平均值与标准偏差第三节随机误差及其估算由可知被测量x也是服从正第三节随机误差及其估算

1.算术平均值与被测量真值的估计值在无系差和粗差的条件下，对某一被测量x进行n次等精度测量，得到n个观测值。

可以证明，在消除了系统误差之后，无限次测量的统计平均值就是被测量的真值。

由于无限次测量在实际上是做不到的，通常把多次等精度测量结果的算术平均值作为被测量真值的最佳估计值。这就是算术平均值原理。第三节随机误差及其估算1.算术平均值与被测量真值的估计第三节随机误差及其估算

n≠∞，用平均值代替真值，则真值与测量值之差和平均值与测量值之差是不相同的，因此，相应的测量误差就用残余误差来代替：

残差有两个性质：残差的代数和为0；仅有随机误差时，残差的平方和最小。残余误差，简称残差，也叫剩余误差，其定义为：第三节随机误差及其估算n≠∞，用平均值代替真值第三节随机误差及其估算

2.标准偏差用来衡量测量数据相对于算术平均值的离散程度。方差标准差第三节随机误差及其估算2.标准偏差用来衡量测第三节随机误差及其估算

在实际测量中，由于被测量真值无法知道，且测量次数也是有限的，故借助贝塞尔公式用算术平均值和残差来表示标准偏差的估计值，即

根据此式求出的标准偏差，可用来表征在给定的等精度条件下任一次测量结果的离散程度，因此，又称为单次测量的标准偏差。2.标准偏差第三节随机误差及其估算在实际测量中，由于被测量第三节随机误差及其估算

由于实际的测量次数有限，算术平均值毕竟还不是真值，其本身也含有随机误差。假若各观测值服从正态分布，则算术平均值也是服从正态分布的随机变量。可以证明，算术平均值的标准偏差为：

以估计值代替，算术平均值的标准偏差的估计值为：3.算术平均值的标准偏差第三节随机误差及其估算由于实际的测量次数有限，第三节随机误差及其估算

三、置信区间和置信概率如前所述，用有限次测量结果的算术平均值来代替被测量的数学期望，必然会存在一个随机误差εm：该误差εm的绝对值小于给定的任一微小量δ的概率Pc为：第三节随机误差及其估算三、置信区间和置信概率如前所述，第三节随机误差及其估算

上式中，区间(Mx-δ,Mx+δ)表示算术平均值在规定概率下可能的变化范围，称为置信区间。置信区间表明了测量结果的离散程度，可作为测量精密度的标志。算术平均值落入某一置信区间的概率表明测量结果的可靠性，亦即值得信赖的程度，称为置信概率。δ给出了在一定概率下随机误差的极限值，称为极限误差（或误差限）。在无系统误差的情况下，δ也称为随机不确定度，通常表示为：第三节随机误差及其估算上式中，区间(Mx-δ,Mx+第三节随机误差及其估算

置信系数Kt置信概率PC0.67450.5=50%1.00000.6827=68.27%1.96000.95=95%2.00000.9545=95.45%3.00000.9973=99.73Kt与PC的关系工程测量常用估计随机误差的范围，超过者作为疏失误差处理。即取为极限误差，它的置信概率为99.73%。第三节随机误差及其估算置信系数Kt置信概率PC0.67第四节误差的综合

误差的综合：

在已知各局部误差的基础上求函数的误差，称为误差的综合，也称为误差的传递。在一般测量中，间接测量值Y是各个直接测量值X1,X2,…,Xj,…,Xm的多元函数，一、函数误差的基本关系式多元函数的增量可用函数的全微分表示为：第四节误差的综合误差的综合：在一般测量中，间接测量值Y第四节误差的综合

上式称为函数误差的基本关系式。以dXj表示各个直接测量值的误差，以表示各个误差的传递系数，则dY为函数Y的误差。例如，设函数关系为则，正弦函数的角度误差公式为第四节误差的综合上式称为函数误差的基本关系式。以dXj第四节误差的综合

二、系统误差的综合公式（一）已定系统误差的综合假设在前面所述的函数中各Xj之间彼此独立无关，且只含有大小及符号均已知的已定系统误差θj，则函数Y将产生一个已定系统误差θY，即为表示为相对误差的形式：第四节误差的综合二、系统误差的综合公式假设在前第四节误差的综合

（二）函数的系统不确定度系统的不确定度反映了系统误差变化范围的大小。函数Y的不确定度有两种求法：（1）算术综合法（绝对值综合法）——函数Y（间接测量值）的系统不确定度——自变量Xj（直接测量值）的系统不确定度第四节误差的综合（二）函数的系统不确定度系统的第四节误差的综合

（2）方和根法此方法在局部误差的个数越多时，越接近实际情况。【例】设有某平衡电桥检测线路，若以被测电阻Rx作为电桥的第一臂，则Rx可表示为另外三个桥臂已知电阻的函数，其函数关系如下：第四节误差的综合（2）方和根法此方法在局部误差的个数越第四节误差的综合

三、随机误差的综合公式

假设间接测量值Y为直接测量值X1和X2的函数，即

假设对X1进行了n次测量，对X2进行了k次测量，在无系差的情况下，以δj代替前式中的dXj，则可写出函数Y的随机误差为：——分别为X1和X2的随机误差第四节误差的综合三、随机误差的综合公式假设间接第四节误差的综合

经过整理，上式变为：

此式描述了间接测量结果的标准偏差与各直接被测量的标准偏差的关系。推广情况：第四节误差的综合经过整理，上式变为：此式描述了第四节误差的综合

用相应的估计值代入各标准偏差，可得函数Y的标准偏差估计值为：上两式即为一般函数的随机误差传递公式。上式两端同时乘以相同的置信系数C，即可得函数Y的随机不确定度。第四节误差的综合用相应的估计值代入各标准偏差，第四节误差的综合

四、系统不确定度与随机不确定度的综合在实际测量过程中，应该同时考虑系统不确定度和随机不确定度同时存在的情况，综合的结果称为总的不确定度。其综合方法有两种：（1）绝对值综合法（2）方根综合法第四节误差的综合四、系统不确定度与随机不确定度的综合第五节测量结果的数据处理

一、测量结果的表示方法与有效数字的处理原则常见的测量结果表示方法是在观测值或多次观测结果的算术平均值后加上相应的误差限。（一）测量结果的数字表示方法1.单次测量结果的表示方法（置信概率PC=68.3%）2.n次测量结果的表示方法（置信概率PC）第五节测量结果的数据处理一、测量结果的表示方法与有效数第五节测量结果的数据处理

一个数据，从左边第一个非零数字起至右边含有误差的一位止，中间的所有数码均为有效数字。（二）有效数字的处理原则2.数据舍入规则4舍6入5看右1.有效数字的基本概念原始数据保留小数点后两位有效数字12.32612.3365.841265.8443.485343.495.8355.848.24508.24第五节测量结果的数据处理一个数据，从左边第一个第五节测量结果的数据处理

3.有效数字运算规则参加运算的常数入π、e等数值，有效数字的位数可以不受限制，需要几位就取几位。加减运算在不超过10个数据相加减时，要把小数位数多的进行舍入处理，使比小数位数最少的数只多一位小数；计算结果应保留的小数位数要与原数据中有效数字位数最少者相同。乘除运算在两个数据相乘除时，要把有效数字多的数据作舍入处理，使之比有效数字少的数据只多一位有效数字；计算结果保留位数同上。第五节测量结果的数据处理3.有效数字运算规则参加运算的第五节测量结果的数据处理

3.有效数字运算规则乘方及开方运算运算结果应比原数据多保留一位有效数字。对数运算取对数前后的有效数字位数应相等。多个数据取算术平均值时，由于误差相互抵消的结果，所得算术平均值的有效数字位数可增加一位。第五节测量结果的数据处理3.有效数字运算规则乘方及开方第五节测量结果的数据处理

二、异常测量值的判别与舍弃（一）拉伊达准则如果对某个被测参数重复进行n次测量，得到的n个观测值组成一个测量列X1，X2，……,Xn,相应的残差为υ1，υ2，……，υn。若其中某个观测值Xd的残差υd（1≤d≤n）为则认为Xd是含有粗差的坏值，应从测量列中剔除。当测量次数n有限时，用估计值代替上式中的标准偏差σ。第五节测量结果的数据处理二、异常测量值的判别与舍弃（一第五节测量结果的数据处理

【例】对某温度测量15次，得测量数据如下（单位℃）：

20.4220.43

20.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40试用拉伊达准则判别有无坏值。第五节测量结果的数据处理【例】对某温度测量15次，得测第五节测量结果的数据处理

（二）t检验准则

如果对某个被测参数重复进行n次测量，得到一个测量列X1，X2，……,Xn,首先观察各测量值中是否有偏离较大者，如有某测量值Xd比其它测得值偏离较大，则先假定它为可疑测量值，然后计算不包含Xd的算术平均值以及相应的标准偏差第五节测量结果的数据处理（二）t检验准则以及相应的标准第五节测量结果的数据处理

这时如果成立，则可判定Xd确实是坏值，应予以剔除。【例】用某流量测量装置在相同条件下，对同一流量进行7次独立测量，得到下列数值（单位：m3/h）：

3.30053.30963.3217

3.30733.31953.30933.3085试根据t检验准则判断3.3005是否为坏值。第五节测量结果的数据处理这时如果成立，则可判定Xd确实第五节测量结果的数据处理

三、等精度测量结果的数据处理步骤将所有测量数据列成表格；求出算术平均值；在表格中列出所有的是残余误差及；按贝塞尔公式计算出标准偏差；利用拉伊达准则或其他检验准则检查测量数据中有无坏值，有则剔除然后从第步重新开始计算；求出算术平均值的标准偏差；写出最后结果。第五节测量结果的数据处理三、等精度测量结果的数据处理步最新1+2+测量误差与数据处理基础课件此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！

感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！

感谢您的支持，我们努力1+2+测量误差与数据处理基础1+2+测量误差与数据处理基础补充

测量的概念

测量是借助于仪器或仪表，依靠实验和计算方法对被测量取得定性或定量信息的认识过程。

检测技术比上述的测量定义有更加广泛的含义。它是指下述的全面过程：按照被测量的特点，选用合适的检测装置与实验方法，通过测量和数据处理及误差分析，准确得到被测量的数值，并为进一步提高测量精度，改进实验方法及测量装置性能提供可靠的依据。一切测量过程都包括：比较、示差、平衡、读数四个步骤。补充测量的概念检测技术比上述的测量定义有补充

测量的基本方法标准量标准计量单位（如米尺、光栅尺、激光、……）

绝对测量定值标准量（如某一固定尺寸）

相对测量1)直接测量直接将被测量与标准量进行比较补充测量的基本方法标准量标准计量单位（如米尺、光栅尺、激--绝对测量：采用仪器、设备、手段测量被测量，直接得到测量值测量结果：20.1mm--相对测量：将被测量直接与基准量比较，得到偏差值特点：简单、直观、明了；测量精度不高基准量：20.00mm测量值：+0.08mm结果：20.08mm特点：精度高；复杂、成本高、要求高补充

--绝对测量：采用仪器、设备、手段测量被测量，直接得到测量测量与被测量有一定函数关系的参量，被测量由计算获得。如测导线的导电率ρ：补充

2)间接测量3)组合测量测量与被测量有一定函数关系的参量，被测量由计算获得。如测导线按照所用仪表和比较过程特点分类(1)偏差法：利用测量仪表的指针相对于刻度的偏差位移直接表示测量的数值

特点：偏差式测量简单、迅速，但精度不高，这种测量方法广泛应用于工程测量中。补充

偏差式测量、零位式测量及微差式测量按照所用仪表和比较过程特点分类补充偏差式测量、零位式测量(2)零位法：

将被测量x与某一已知标准量ｓ完全抵消，使作用到测量仪表上的效应等于零，如天平、电位差计等。由此可知x＝s。

特点：测量精度主要取决于标准量的精度，与测量仪表的精度无关。因而测量精度很高，在计量工作中应用很广。

缺点是速度不快，用于测量变化较缓慢的信号。补充

(2)零位法：补充(3)微差法：偏差法和零位法的结合被测量余数被测量大值与标准量大体平衡补充

综合了偏差式和零位式两种测量法的优点。此法在测量时分两步进行，第一步是将被测量基本工作点与标准量进行比较，并调节达到平衡状态。在此基础上，当被测量离开工作点（有微小变动），测量仪表便离开平衡状态，此时仪表的指示值即为变动部分的值。(3)微差法：偏差法和零位法的结合被测量余数被测量大值与标准第一节测量误差及其分类

一、测量误差的定义真值：

在一定的时间及空间条件下，某被测量的真实数值。约定真值：

为使用目的所采用的接近真值因而可代替真值的值。误差公理：

误差自始自终存在于一切科学实验和检测之中，被测量的真值永远是难以得到的。第一节测量误差及其分类一、测量误差的定义真值：第一节测量误差及其分类

研究误差的意义：能合理确定检测结果的误差；能正确地认识误差的性质，分析产生误差的原因，采取措施达到减少误差的目的；有助于正确处理实验数据，合理计算测量结果，以便在一定的条件下，得到最接近于真实值的最佳结果；有助于合理选择实验仪表、测量条件及测量方法，使能在比较经济的条件下，得到预期的结果；有利于评价控制系统的各种控制规律的优劣；有助于利用误差理论指导设计、制造仪表、减小仪表本身的误差。第一节测量误差及其分类研究误差的意义：第一节测量误差及其分类

Δ–绝对误差x–测量值A0–真值1、绝对误差Δ–绝对误差x–测量值X0–约定真值常用绝对误差的大小表示测量值偏离真值的程度。真值理论真值约定真值相对真值第一节测量误差及其分类Δ–绝对误差1、绝对误差Δ第一节测量误差及其分类

2、相对误差相对误差最突出的优点是能够更好地说明测量质量的好坏。实际相对误差公称相对误差X0是约定真值（实际值）X是仪表公称值（示值）第一节测量误差及其分类2、相对误差相对误差第一节测量误差及其分类

3、引用误差引用误差是相对误差的一种特殊形式，常用来评价仪表的质量。但是仪表的具体示值有关，使用仍不方便。最大引用误差B是仪表的满量程能更可靠地表明仪表的测量精确度，故常作为工业仪表精度等级的标志。第一节测量误差及其分类3、引用误差引用误第一节测量误差及其分类

仪表的精度等级国家用最大引用误差来规定电工仪表的精度等级G，分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，5.0八级。规定取最大引用误差百分数的分子作为精度等级的标志。即：【例1】设按毫伏刻度的电子电位差计的检验记录x如下表，x0是用高精度的仪表测出的值。测试值x（mV）0.002.004.006.008.0010.00真值x0（mV）0.011.984.015.978.049.99绝对误差Δ（mV）-0.01+0.02-0.01+0.03-0.04+0.01引用误差（%）-0.1+0.2-0.1+0.3-0.4+0.1第一节测量误差及其分类仪表的精度等级国家【例2】某压力表精度为1.5级，量程为0～2.0MPa，测量结果显示为1.2MPa，求1）最大引用误差δm；2）可能出现的最大绝对误差Δm；3）示值相对误差δx＝？【解】1）由精度等级可直接得到最大引用误差，即2）3）第一节测量误差及其分类

【例2】某压力表精度为1.5级，量程为0～2.0MPa，测量第一节测量误差及其分类

【例3】现有0.5级0～300℃和1.0级0～100℃的两个温度计，要测量80℃的温度，试问采用哪一个温度计好？【解】若采用0.5级温度计若采用1.0级温度计结果表明，使用工作在量程下限时相对误差较大。用1.0级仪表比用0.5级仪表的示值相对误差反而小，所以更合适。第一节测量误差及其分类【例3】现有0.5级0～300℃根据误差值是否变化，可将系统误差进一步划分为恒定系差和变值系差。变值系差又可分为累进性系差、周期性系差和按复杂规律变化的几种。按照对系统误差掌握的程度，可将其大致分为已定系差和未定系差。第一节测量误差及其分类

二、测量误差的分类1、系统误差在相同条件下，多次测量同一被测量值的过程中出现的一种误差，它的绝对值和符号或者保持不变，或者在条件变化时按某一规律变化，

此类误差称为系统误差，简称系差。

系统误差表征测量的准确度。

性质：有规律，可再现，可以预测原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差处理：理论分析、实验验证→修正根据误差值是否变化，可将系统误差进一步划分为恒第一节测量误差及其分类

2、随机误差是在相同条件下，多次测量同一被测量值的过程中出现的误差，此误差没有固定的大小和符号，呈无规律的随机性。通常用精密度表征随机误差的大小。通常将准确度和精密度合称为精确度，

简称精度。

性质：正态分布原因：装置误差、环境误差、使用误差处理：统计分析、计算处理→减小第一节测量误差及其分类2、随机误差性质：正态分布第一节测量误差及其分类

3、粗差又称疏失误差，或粗大误差，指明显偏离约定真值的误差。

它主要是由于测量人员的失误所致，

如测错、读错或记错等。含有粗大误差的数值称为坏值，应予以剔除。性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起原因：装置误差、使用误差处理：判断、剔除第一节测量误差及其分类3、粗差性质：偶然出现，误第一节测量误差及其分类

三、准确度、精密度和精确度2、精密度

在相同条件下，对同一个量进行重复测量时，这些测量值之间的相互接近程度即分散程度，它反映了随机误差大小。1、准确度

它表示测量仪器指示值对真值的偏离程度。它反映了系统误差的大小。3、精确度（简称精度）它是精密度和准确度的综合反映，它反映了系统综合误差的大小，并且常用来表示测量误差的相对值。第一节测量误差及其分类三、准确度、精密度和精确度2、精第一节测量误差及其分类

测量精度举例不精密（随机误差大）准确（系统误差小）精密（随机误差小）不准确（系统误差大）不精密（随机误差大）不准确（系统误差大）精密（随机误差小）准确（系统误差小）第一节测量误差及其分类测不精密（随机误差大）精密第二节系统误差的消除方法

一、消除产生误差的根源系统误差产生的原因系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成，在条件充分的情况下这些因素是可以掌握的。主要来源于：①测量装置方面的因素②环境方面的因素③测量方法的因素④测量人员的因素计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。第二节系统误差的消除方法一、消除产生误差的根源系统误差第二节系统误差的消除方法

二、对测量结果进行修正修正值指与测量误差的绝对值相等而符号相反的值。修正值可以是一个具体的值，也可以是一条曲线、一个公式或图表。在测量之前，对仪器仪表进行校准或定期进行检定。通过检定，可以由上一级标准（或基准）给出受检仪表的修正值。将修正值加入测量值中，即可消除系统误差。第二节系统误差的消除方法二、对测量结果进行修正修正值第二节系统误差的消除方法

三、采用特殊测量法（一）恒定系差消除法1、零示法：将被测量与已知的标准量进行比较，当两者的差值为零时，被测量就等于已知的标准量。如：书中图1-2-2用电位差计测量热电偶的热电势。

第二节系统误差的消除方法三、采用特殊测量法（一）恒定系第二节系统误差的消除方法

2、替代法：又称为置换法，指先将被测量接入测量装置使之处于一定状态，然后以已知量代替被测量，并通过改变已知量的值使仪表的示值恢复到替代前的状态。则被测量的值即为已知量。测量装置的系统误差不会带给测量结果。替代法在阻抗、频率等许多电参数的精密测量方法中获得广泛的应用。例：电桥法测电阻。第二节系统误差的消除方法2、替代法：第二节系统误差的消除方法

3、交换法：又称为对照法，指在测量过程中将某些测量条件相互交换，使产生系差的原因对交换前后的测量结果起反作用。对两次测量结果进行数学处理，即可消除系统误差或求出系差的数值。如：用天平称重，替代法可消除由于天平两臂不等而引起的固定系统误差。再如：书中图1-2-3电桥法测电阻。

第二节系统误差的消除方法3、交换法：第二节系统误差的消除方法

（二）变值系差消除法1.等时距对称观测法：

又称对称观测法，用其可消除随时间按线性规律变化的系差，即线性系差。2.半周期偶数观测法:

某些周期性的系统误差的特点是，每隔半个周期产生的误差大小相等、符号相反。则这种系差可通过半周期偶数观测法来消除。即，读取相隔半周期的两次测量值，取其算术平均值作为结果。第二节系统误差的消除方法（二）变值系差消除法1.等时距第三节随机误差及其估算

补充：随机变量的数字特征数学期望：反映其平均特性X为离散型随机变量X为连续型随机变量第三节随机误差及其估算补充：随机变量的数字特征数学期望第三节随机误差及其估算

方差和标准偏差方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同的量纲第三节随机误差及其估算方差和标准偏差第三节随机误差及其估算

一、随机误差的分布规律及统计特性概率论的中心极限定理：如果一个随机变量是由大量微小的随机变量共同作用的结果，那么只要这些微小随机变量是相互独立或弱相关的，且均匀地小（即对总和的影响彼此相当），则无论它们各自服从于什么分布，其总和必然近似于正态分布。随机误差的正态分布概率密度函数的数学表达式为：第三节随机误差及其估算一、随机误差的分布规律及统计特性随机误差的统计特性表现在以下四个方面：(1)有界性：在一定条件下的有限测量值中，误差的绝对值不会超过一定的界限。

(2)单峰性：绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多。(3)对称性：指绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等。

(4)抵偿性：相同条件下对同一量进行多次测量，随机误差的算术平均值随着测量次数n的无限增加而趋于零，即误差平均值的极限为零。第三节随机误差及其估算

随机误差的统计特性表现在以下四个方面：第三节随机误差及其随机误差的正态分布曲线第三节随机误差及其估算

长度相对测量值次数统计随机误差的正态分布曲线第三节随机误差及其估算长度相对测第三节随机误差及其估算

由可知被测量x也是服从正态分布的随机变量，且x的概率密度函数的数学表达式为：

下面讨论的问题是当只有一组数量有限的测量数据时，如何对X0和σ进行估算。二、测量值的算术平均值与标准偏差第三节随机误差及其估算由可知被测量x也是服从正第三节随机误差及其估算

1.算术平均值与被测量真值的估计值在无系差和粗差的条件下，对某一被测量x进行n次等精度测量，得到n个观测值。

可以证明，在消除了系统误差之后，无限次测量的统计平均值就是被测量的真值。

由于无限次测量在实际上是做不到的，通常把多次等精度测量结果的算术平均值作为被测量真值的最佳估计值。这就是算术平均值原理。第三节随机误差及其估算1.算术平均值与被测量真值的估计第三节随机误差及其估算

n≠∞，用平均值代替真值，则真值与测量值之差和平均值与测量值之差是不相同的，因此，相应的测量误差就用残余误差来代替：

残差有两个性质：残差的代数和为0；仅有随机误差时，残差的平方和最小。残余误差，简称残差，也叫剩余误差，其定义为：第三节随机误差及其估算n≠∞，用平均值代替真值第三节随机误差及其估算

2.标准偏差用来衡量测量数据相对于算术平均值的离散程度。方差标准差第三节随机误差及其估算2.标准偏差用来衡量测第三节随机误差及其估算

在实际测量中，由于被测量真值无法知道，且测量次数也是有限的，故借助贝塞尔公式用算术平均值和残差来表示标准偏差的估计值，即

根据此式求出的标准偏差，可用来表征在给定的等精度条件下任一次测量结果的离散程度，因此，又称为单次测量的标准偏差。2.标准偏差第三节随机误差及其估算在实际测量中，由于被测量第三节随机误差及其估算

由于实际的测量次数有限，算术平均值毕竟还不是真值，其本身也含有随机误差。假若各观测值服从正态分布，则算术平均值也是服从正态分布的随机变量。可以证明，算术平均值的标准偏差为：

以估计值代替，算术平均值的标准偏差的估计值为：3.算术平均值的标准偏差第三节随机误差及其估算由于实际的测量次数有限，第三节随机误差及其估算

三、置信区间和置信概率如前所述，用有限次测量结果的算术平均值来代替被测量的数学期望，必然会存在一个随机误差εm：该误差εm的绝对值小于给定的任一微小量δ的概率Pc为：第三节随机误差及其估算三、置信区间和置信概率如前所述，第三节随机误差及其估算

上式中，区间(Mx-δ,Mx+δ)表示算术平均值在规定概率下可能的变化范围，称为置信区间。置信区间表明了测量结果的离散程度，可作为测量精密度的标志。算术平均值落入某一置信区间的概率表明测量结果的可靠性，亦即值得信赖的程度，称为置信概率。δ给出了在一定概率下随机误差的极限值，称为极限误差（或误差限）。在无系统误差的情况下，δ也称为随机不确定度，通常表示为：第三节随机误差及其估算上式中，区间(Mx-δ,Mx+第三节随机误差及其估算

置信系数Kt置信概率PC0.67450.5=50%1.00000.6827=68.27%1.96000.95=95%2.00000.9545=95.45%3.00000.9973=99.73Kt与PC的关系工程测量常用估计随机误差的范围，超过者作为疏失误差处理。即取为极限误差，它的置信概率为99.73%。第三节随机误差及其估算置信系数Kt置信概率PC0.67第四节误差的综合

误差的综合：

在已知各局部误差的基础上求函数的误差，称为误差的综合，也称为误差的传递。在一般测量中，间接测量值Y是各个直接测量值X1,X2,…,Xj,…,Xm的多元函数，一、函数误差的基本关系式多元函数的增量可用函数的全微分表示为：第四节误差的综合误差的综合：在一般测量中，间接测量值Y第四节误差的综合

上式称为函数误差的基本关系式。以dXj表示各个直接测量值的误差，以表示各个误差的传递系数，则dY为函数Y的误差。例如，设函数关系为则，正弦函数的角度误差公式为第四节误差的综合上式称为函数误差的基本关系式。以dXj第四节误差的综合

二、系统误差的综合公式（一）已定系统误差的综合假设在前面所述的函数中各Xj之间彼此独立无关，且只含有大小及符号均已知的已定系统误差θj，则函数Y将产生一个已定系统误差θY，即为表示为相对误差的形式：第四节误差的综合二、系统误差的综合公式假设在前第四节误差的综合

（二）函数的系统不确定度系统的不确定度反映了系统误差变化范围的大小。函数Y的不确定度有两种求法：（1）算术综合法（绝对值综合法）——函数Y（间接测量值）的系统不确定度——自变量Xj（直接测量值）的系统不确定度第四节误差的综合（二）函数的系统不确定度系统的第四节误差的综合

（2）方和根法此方法在局部误差的个数越多时，越接近实际情况。【例】设有某平衡电桥检测线路，若以被测电阻Rx作为电桥的第一臂，则Rx可表示为另外三个桥臂已知电阻的函数，其函数关系如下：第四节误差的综合（2）方和根法此方法在局部误差的个数越第四节误差的综合

三、随机误差的综合公式

假设间接测量值Y为直接测量值X1和X2的函数，即

假设对X1进行了n次测量，对X2进行了k次测量，在无系差的情况下，以δj代替前式中的dXj，则可写出函数Y的随机误差为：——分别为X1和X2的随机误差第四节误差的综合三、随机误差的综合公式假设间接第四节误差的综合

经过整理，上式变为：

此式描述了间接测量结果的标准偏差与各直接被测量的标准偏差的关系。推广情况：第四节误差的综合经过整理，上式变为：此式描述了第四节误差的综合

用相应的估计值代入各标准偏差，可得函数Y的标准偏差估计值为：上两式即为一般函数的随机误