大学物理实验基础130909zjy课件

物理学是一门实验科学。物理概念的确定、物理规律的发现、建立和检验，都是通过实验结果概括出来的物理实验是科学实验的先驱，体现了大多数科学实验的共性，在实验思想、实验方法以及实验手段等方面是各学科科学实验的基础1905年爱因斯坦的光量子假说，1916年当密立根实验证实1905年爱因斯坦的光量子假说，1916年当密立根实验证实课程的主要目的和任务对学生进行“三基”训练。使学生获得物理实验的基本知识,进行基本实验方法和基本实验技能的训练培养学生的阅读理解能力、动手操作能力、分析判断能力、书写表达能力以及初步的实验设计能力加深对物理概念的掌握和理解课程的主要目的和任务对学生进行“三基”训练。使学生获得物理实《大学物理实验》上课须知《大学物理实验》上课须知误差与数据处理基本知识一.测量二.误差三.不确定度四.有效数字五.常用数据处理方法误差与数据处理基本知识一.测量一.测量

物理实验除定性观察（水沸腾）外，更重要的是定量测量（水沸腾的温度）1.定义：所谓测量是用一定的实验方法通过一定的量具（或仪器）寻找待测量真值的操作过程测量值必须有数值和单位组成，两者缺一不可90.70cm一.测量

物理实验除定性观察（水沸腾）外，更重要的是2.分类

（1）按测量结果获得方法：直接测量和间接测量直接测量：用标准量与待测量直接进行比较而得。

例如：用直尺测量长度；以表计时间；天平称质量；安培表测电流间接测量：经过直接测量与待测量有函数关系的物理量，再经过运算得到待测物理量的测量方法。

例如：用钢卷尺测量桌子的面积S=a×b=S(a,b)；钢球密度测量2.分类

（1）按测量结果获得方法：直接测量和间接测量（2）按测量条件：等精度测量和不等精度测量等精度测量：相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量

相同测量条件：同一测量水平的观测者同一精度的仪器同样的实验方法同样的实验环境非等精度测量：不相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量（2）按测量条件：等精度测量和不等精度测量二.误差

真值是一个抽象的概念，一般情况下是未知的，但在下面几种特殊情况下可以是已知的：

由于仪器、环境、人员和方法等方面诸多因素的影响，测量值与真值总会存在一定的差异1.定义：指测量值与真值之差，①理论真值（三角形内角和）；②

约定真值（常用基本单位）；③

相对真值（高级标准器的指示值作为低级的相对真值）

如：用一等标准水银温度计测得20.2℃，二等标准水银温度计测得20.3℃，则二等标准水银温度计的相对误差为0.5%二.误差

由于仪器、环境、人员和方法等方面诸多因素

误差是不希望出现的，但又不可避免的，要了解误差出现的原因并尽量减小或消除它误差的性质：①未知性（真值不可知）③普遍性（存在于一切测量当中）②随机性（误差值可正或负，可大或小，难以预测）误差是不希望出现的，但又不可避免的，要了解误差

按误差性质可分为系统误差、随机误差和粗大误差（1）系统误差：相同条件下多次重复测量时，误差的大小、符号保持恒定，具有一定的规律（如：零点不准、天平不等臂、刻度不均匀等）分类：已定系统误差（大小和符号可以确定，如仪器零点误差）未定系统误差（大小和符号不能确定）如何发现和消除系统误差将在第二次课介绍2.分类

按误差性质可分为系统误差、随机误差和粗大误差2.分（2）随机误差：误差值可正或负，也可大或小，难以预测，有随机性，但测量次数多时，又符合一定的统计规律（正态分布）

单峰性对称性有界性f(δ)δ概率密度函数误差随机误差常呈正态分布，服从概率密度函数f(δ)（如图），可见随机误差特点：（2）随机误差：误差值可正或负，也可大或小，难以预测，有随机

个别偏离于其它数据很大的误差，由于人为、仪器或环境方面引起，又称疏失误差或过失误差（例如：读数错误，记录错误，操作错误，估算错误），应剔除（3）粗大误差个别偏离于其它数据很大的误差，由于人为、3.误差的表示形式（1）绝对误差

用绝对大小给出的误差：δ＝x－x0，可正可负，有单位（2）相对误差

绝对误差与被测量真值的比值：E＝δ/x0，无单位，用％表示例：测量两个物体的长度：L1=100.0mm，L2=70.0mm；绝对误差分别为δ1=0.8mm，δ2=0.7mm；相对误差分别为：E1=0.8%，E2=1.0%L1测量结果好，称精度高3.误差的表示形式例：测量两个物体的长度：L1=1004.测量结果的好坏的评价---精度

也称精确度/准确度，描述测量结果与真值的接近程度定性概念，不能用数值大小来表示，只能讲高低

精密度（各测量值之间的接近程度---随机误差）和正确度（测量结果与真值的偏离程度---系统误差）的综合反映

4.测量结果的好坏的评价---精度

也称精确度/准确度，描述三.不确定度1.概念表示被测量不能确定的程度，故称为“不确定度”，反应误差可能出现的范围或真值可能处的范围反映测量精度：不确定度小，测量精度高，测量值接近真值；反之亦反通常习惯说误差越小，测量结果质量越好，即用误差评定测量结果好坏；但因真值不可知，误差不能确定，故用误差评定是不合理的如何给定待测量的大小？并能反映测量结果好坏（精度高低）？测量结果最终表示：x=2.7±0.3（表示待测量可能处于2.4~3.0之间）最佳值不确定度

不确定度是用来评定测量质量的一个重要指标，国内外在计量、检测、工业、商业、外贸等领域已逐渐采用不确定度代标准差表示测量结果的质量三.不确定度1.概念通常习惯说误差越小，测量结果质量越好2.分类测量不确定度通常包括几个分量，根据评定方法可分两大类：（1）A类分量（采用统计方法评定获得的）用算术平均值的标准差公式估算：

使用条件：直接测量量；等精度测量不确定度大小可根据概率统计学来评定（贝塞尔公式）2.分类使用条件：直接测量量；等精度测量不确定度大（2）B类分量（用非统计方法评定获得的）约定：（3）合成不确定度仪器极限误差Δ仪=等级×量程/100数字式取末位数1个单位；刻度式取最小分度一半例：用电表的100mA量程测电流，该电表级别为0.05，则该电表的Δ仪=0.05×100/100=0.05mA（2）B类分量（用非统计方法评定获得的）（3）合成不确定度3.测量结果的表示（1）最佳值估计由随机误差对称性（大小相同、符号相反的误差出现机会相同）特点可知，无数次测量时，测量值的平均值接近真值，故可用算术平均值代替真值3.测量结果的表示由随机误差对称性（大小相同、符（2）测量结果的表示ur为相对不确定度。相对不确定度越小，表示测量质量越好（2）测量结果的表示ur为相对不确定度。相对不确定度越小，表1.定义由表征测量结果的可靠数字与可疑数字组成，可疑数字一般只有一位由仪器和待测量的大小共同决定四.有效数字由于误差存在的普遍性，实验中某物理量的测量值及运算结果都是近似的。合理的近似，既能充分反映测量精度，又简单明了。这种近似的数据是有效的，被称为有效数字1.定义四.有效数字由于误差存在的普遍性，实验中某物理量2.有效数字的位数由左边第一个非零数字起至最后一位数字止例如:用最小分度值为1mm的尺，测量一物体长度得到1.65cm。“5”是在6和7两个整毫米刻度内估读的，是不可靠的，可疑数字；1.6是由尺子刻度直接读出的，是可靠数字15.86，四位有效数字5.32，三位有效数字5.320，四位有效数字0.0532，三位有效数字注:末尾的“0”是有效数字，不能去掉此长度如果在1cm以内，则有1位可靠数字；若该物体用千分尺量则有4位可靠数字2.有效数字的位数例如:用最小分度值为1mm的尺，测量一3.获取原则（1）直接测量：有指针或刻度的仪器：最小刻度以下再估读一位数字显示仪表：显示值均为有效数字，不再估读（2）间接测量：末位数必须与不确定度末位对齐在本课程中绝对不确定度的有效数字只要求取1位相对不确定度的有效数字，一般取1~2位3.获取原则（2）间接测量：末位数必须与不确定度末位对齐4.修约规则当实验结果的有效数字位数较多时，进行取舍一般采用1/2修约规则。（1）需舍去部分的总数值大于保留部分末位半个单位，末位加1（2）需舍去部分的总数值小于保留部分末位半个单位，末位不变（3）需舍去部分的总数值等于保留部分末位半个单位，末位凑偶3.14161→2.71729→4.51050→5.62350→6.378501→3.1422.7174.5105.6246.3798.927513→8.928修约成4位有效数字：（四舍六入五凑偶）4.修约规则当实验结果的有效数字位数较多时，进行取舍一般采单位换算时有效数字的位数不变

1.3m＝1.3×103mm≠1300mm

1300mm＝1.300m≠1.3m

用科学记数法表示σ=0.112→σ=0.1或0.11；B=12.52%→B=13%B=1.232%→B=1%或1.2%；σ=0.5350→σ=0.6不确定度有效数字取舍一般采用1/3修约规则单位换算时有效数字的位数不变σ=0.112→σ=0.5.运算规则加减运算尾数（数量级最大的）取齐；乘除运算位数（最少的）取齐；乘方、开方的有效位数与其底的有效数字相同；函数的有效数字根据不同的情况有不同的规定，如：指数函数：与指数的有效数字位数相同自然对数：其尾数的位数与该数的有效数字位数相同三角函数：根据角度的不确定度来确定最后的有效位数中间过程多取1位5.运算规则1.对直接测量列数据处理（等精度测量）：数据处理时，可忽略已定系统误差和粗大误差（实验过程中已尽量消除）（1）求算术平均值，作为测量结果的最佳值。（2）计算算术平均值的标准差，作为标准不确定度的A类分量。（3）根据仪器的极限误差，计算标准不确定度的B类分量。（4）计算合成不确定度和相对不确定度。（5）完整表示测量结果数据处理步骤归纳

1.对直接测量列数据处理（等精度测量）：数据处理步骤归纳

物理实验中，一般只有一个A类分量和一个B类分量，且假定两个分量相互独立：a）.多次测量：b）.单次测量：单次测量时不确定度A类分量，无法考虑，合成不确定度只考虑B类分量。即：物理实验中，一般只有一个A类分量和一个B类分量，且假定两用0~25mm的一级千分尺测钢球的直径D，6次数据为：D1=3.121mm，D2=3.128mm，D3=3.125mm，

D4=3.123mm，D5=3.126mm，D6=3.124mm写出完整的实验结果。解：①求算术平均值注：按数据处理的规则，在计算过程中平均值可以暂时多取一位有效数字，目的是防止计算误差扩大化。例：用0~25mm的一级千分尺测钢球的直径D，6次数据为：D1=②求A类不确定度分量③求B类不确定度分量u查得该千分尺所以：④合成不确定度（有效数字保留1位）（有效数字多取1位）（有效数字多取1位）②求A类不确定度分量③求B类不确定度分量u查得该千分尺所以⑤完整结果表示：D=（3.124±0.002）mmP=68.3%注：测量结果的有效数字与不确定度的末位对齐⑤完整结果表示：D=（3.124±0.002）mmP=68.2.

间接测量的数据处理：间接测量量：y直接测量量：x1,x2,…,xk（1）最佳值：（2）不确定度传播公式间接测量量y的不确定度与各直接测量量的不确定度之间的关系为：2.间接测量的数据处理：（1）最佳值：（2）不确定度传播公附：偏导数求法（多元函数的微分学）

函数y=f(x1,x2,x3,------)，y为因变量，xi(i=1,2,3,---)为自变量当只有一个自变量时，即y=f(x1)，称一元函数当有两个（或两个以上）自变量时，即y=f(x1,x2)，称多元函数对于多元函数，对某一自变量求导，称为函数对该自变量的偏导数，记为附：偏导数求法（多元函数的微分学）函数y=f(x1求多元函数关于某个自变量的偏导数，并不需要新的方法，只需将其它自变量看做常数即可，仍是利用一元函数的求导法则和求导公式，

例如：对二元函数z=x2sin2y求偏导数：对x求偏导：(将y视为常数)对y求偏导：(将x视为常数)2xsin2y==

2x2cos2y

求多元函数关于某个自变量的偏导数，并不需要新的方法，只需将其试求体积V并表示多取一位实验结果。②求V的不确定度：例：用千分尺测量圆柱体的体积V，已求得直径为：解：①求V：注：A、常数π的有效数字应比测量值的有效数字多取一位，目的是让常数取值的误差忽略不计。B：体积V的有效数字应符合有效数字运算法则。试求体积V并表示多取一位实验结果。②求V的不确定度：例：用千根据不确定度传播公式：③实验结果表示：根据不确定度传播公式：③实验结果表示：人类从事科学实验的一个重要目的是：由测量数据总结出规律，提取相关的参数和信息，这就需要对实验数据进行处理在基础物理实验中，常用到的有列表法、作图法、逐差法和最小二乘法等五.常用数据处理方法人类从事科学实验的一个重要目的是：由测量数据总结出规律，提取1、列表法（将测量数据按一定形式和顺序列成表格）常用于原始数据的记录或其它数据处理方法的基础要求：（1）简明，便于表示对应关系，处理数据方便。

（2）写明表的序号和名称，标明物理量、单位及数量级。

（3）表中所列数据应是正确反映结果的有效数字。

（4）测量日期、说明和必要的实验条件记在表外。举例：

表1伏安法测100电阻对应数值表2002/9/5注：电压表量程7.5V精度等级1.0，电流表量程50mA精度等级1.01、列表法（将测量数据按一定形式和顺序列成表格）举例：注：电A、要求（先给出实验数据表格）

(1)、根据各变量之间的变化规律，选择相应类型的坐标纸。

(2)、正确选择坐标比例（以让曲线充满图纸为原则，不必通过零点）。

(3)、写明图名、各坐标轴所代表的物理量、单位、数值的数量级等。

(4)、数据描点要用“×⊙⊕◆”等比较明显的标识符号。不能用“.”

(5)、对变化规律容易判断的曲线以平滑线连接，曲线不必通过每个实验点，各实验点应均匀分布在曲线两边；难以确定规律的实验可以用折线连接。2、作图法（将实验数据依照自变量和因变量的关系做成曲线，以便反映两者的函数关系，寻找经验规律）2、作图法（将实验数据依照自变量和因变量的关系做成曲线，以便

通过作图可以判断各量的相互关系，特别是在还没有完全掌握科学实验的规律和结果的情况下，或还没有找出适合的函数表达式时，作图法是找出函数关系式并求得经验公式的最常用的方法之一。如二极管的伏安特性曲线、弹簧振子振幅衰减规律曲线等，都可从图上清楚地表示出来B.

应用

作图法的应用主要表现在以下两方面：

(1)判断各量的相互关系

B.应用(1)判断各(2)图上求未知量—图解法①

线性函数未知量求法②非线性函数未知量求法――曲线改直问题

y=axb形式，a、b为常数，将方程两边取对数得到：1gy=b1gx＋1ga在直角坐标纸上取lgy为纵坐标,1gx为横坐标,得到一条直线,从而可以求出系数a和b注：在拟合的直线两端取点，不取实验点b⊕⊕⊕⊕(2)图上求未知量—图解法①线性函数未知量求法②应用条件：

(1)、函数可以写成x的多项式形式，即：

y=a0+a1x+a2x2+a3x3实际上，由于测量精度的限制，3次以上逐差已很少应用

(2)、自变量x是等间距变化，即：

xi-xi-1

=c（式中c为一常数）

3.逐差法

逐差法：将因变量逐项相减或按顺序分两组对应项相减，至逐差值趋于某一常数，然后将差值作为因变量的多次测量值进行数据处理（求算术平均值）的方法应用条件：(1)、函数可以写成x的多项式形例：对y=f(x)，测得测量列xi（i=1,2,…,n）、yi（i=1,2,…n）逐差法的作用和应用：（1）逐项逐差

-------判断函数关系若一次逐差：基本相等，则（线性关系）若二次逐差：

基本相等，则可依次类推，进行其它判断（二次多项式）例：对y=f(x)，测得测量列xi（i=1,2,…,n例:求弹簧的倔强系数，根据虎克定律F=kΔx，等间距改变外力Fi，可以相应地得到不同的弹簧的伸长量xi，测量6次数据。隔3项（n/2）逐差：每一个数据都能用上，可取

（2）隔项逐差——求物理量最后，根据可求得倔强系数逐项逐差：没有充分利用数据，不可取例:求弹簧的倔强系数，根据虎克定律F=kΔx，等间距改变逐差法优点：能充分并均匀地利用数据能消除一些定值系统误差（如：拉伸法测量钢丝的倔强系数k，其中包含了钢丝由弯曲变直造成的伸长，必然存在系统误差---仪器零点误差）与作图法相比，没有人为拟合的随意性与最小二乘法相比，计算简单一些，但结果相近逐差法优点：能充分并均匀地利用数据4.最小二乘法作图法的优点是形象直观，但在定量关系的而研究上不够严谨，拟合出来的曲线带有某种人为的随机性，同样的实验数据可能拟合出不同的参数值；

“最小二乘法”是一种从实验数据中提取经验规律比较严格的方法；建立在数理统计理论基础上的一个数学原理，它被广泛地应用在数据处理过程中(如实验曲线的拟合、经验公式的确定)

4.最小二乘法“最小二乘法”是一种从实验数据中提取经验规律

一般情况下，最小二乘法可以用于线性函数，也可以用于非线性函数，由于在测量技术中，大量的问题是属于线性的或可以转换成线性函数，而非线性也可以在某一区域内展成线性函数来处理，因此，我们主要讨论线性函数的最小二乘法大学物理实验基础130909zjy课件如何用最小二乘法进行线性拟合：在等精度条件下测得x1，x2……xn和对应的y1，y2……yn，根据测量数据可以得到一组观测方程：设已知函数形式为：…………观测方程个数大于未知量的数目时，如何确定a和b的最佳值？如何用最小二乘法进行线性拟合：在等精度条件下测得x1，x(xi,yi)y=a0+b0x应使各测量点离最佳曲线上相应点的y向距离（白线）的残差平方和最小（忽略x方向差异）。假定最佳方程y=a0+b0x，则残差(xi,yi)y=a0+b0x应使各测量点离最佳曲线上相应点得：再对其进行两边求和，得到：依据最小二乘原理（有极值），一阶偏导数为0：得：再对其进行两边求和，得到：依据最小二乘原理（有极值），一

由此得出方程：解方程组可得：由此得出方程：解方程组可得：最小二乘原理

是在满足各测量残差平方和∑

＝最小的条件下(残差，即测量值-最佳值)，求解出方程中的未知量为最佳值。用这一原理处理数据的方法称为最小二乘法最小二乘原理是在满足各测量残差平方和∑例题：

为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的电阻如下表。试用最小二乘法确定关系式R=a+bt。数据见下表：t/℃19.025.030.136.040.045.150.0R/Ω76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：①根据法方程要求列表算出下列数据例题：为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的t/℃nt/℃R/Ωt2/℃2Rt/Ω℃119.176.303651457225.077.806251945330.179.509062400436.080.8012962909540.082.3516003294645.183.9020343784750.085.1025004255n=7

计算数据表：nt/℃R/Ωt2/℃2Rt/Ω℃119.176.30②由a、b的最佳值满足方程可以得到：②由a、b的最佳值满足方程可以得到：代入数据为：解之得到：③写出待求关系式：代入数据为：解之得到：③写出待求关系式：1.作业及数据处理存在的问题

2.物理实验基本测量方法

3.物理实验的基本操作技术

4.系统误差的处理

5.粗大误差的处理

6.实验方案设计下次课主要内容1.作业及数据处理存在的问题下次课主要内容作业

(新教材P35-36)

请各班长第二周周六之前收齐，交基础实验楼D309#

1.(1)(2)2.(1)(4)(5)3.5.(2)(3)6.8.10.作业(新教材P35-36)请各班长第二周周六之前收齐，物理学是一门实验科学。物理概念的确定、物理规律的发现、建立和检验，都是通过实验结果概括出来的物理实验是科学实验的先驱，体现了大多数科学实验的共性，在实验思想、实验方法以及实验手段等方面是各学科科学实验的基础1905年爱因斯坦的光量子假说，1916年当密立根实验证实1905年爱因斯坦的光量子假说，1916年当密立根实验证实课程的主要目的和任务对学生进行“三基”训练。使学生获得物理实验的基本知识,进行基本实验方法和基本实验技能的训练培养学生的阅读理解能力、动手操作能力、分析判断能力、书写表达能力以及初步的实验设计能力加深对物理概念的掌握和理解课程的主要目的和任务对学生进行“三基”训练。使学生获得物理实《大学物理实验》上课须知《大学物理实验》上课须知误差与数据处理基本知识一.测量二.误差三.不确定度四.有效数字五.常用数据处理方法误差与数据处理基本知识一.测量一.测量

物理实验除定性观察（水沸腾）外，更重要的是定量测量（水沸腾的温度）1.定义：所谓测量是用一定的实验方法通过一定的量具（或仪器）寻找待测量真值的操作过程测量值必须有数值和单位组成，两者缺一不可90.70cm一.测量

物理实验除定性观察（水沸腾）外，更重要的是2.分类

（1）按测量结果获得方法：直接测量和间接测量直接测量：用标准量与待测量直接进行比较而得。

例如：用直尺测量长度；以表计时间；天平称质量；安培表测电流间接测量：经过直接测量与待测量有函数关系的物理量，再经过运算得到待测物理量的测量方法。

例如：用钢卷尺测量桌子的面积S=a×b=S(a,b)；钢球密度测量2.分类

（1）按测量结果获得方法：直接测量和间接测量（2）按测量条件：等精度测量和不等精度测量等精度测量：相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量

相同测量条件：同一测量水平的观测者同一精度的仪器同样的实验方法同样的实验环境非等精度测量：不相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量（2）按测量条件：等精度测量和不等精度测量二.误差

真值是一个抽象的概念，一般情况下是未知的，但在下面几种特殊情况下可以是已知的：

由于仪器、环境、人员和方法等方面诸多因素的影响，测量值与真值总会存在一定的差异1.定义：指测量值与真值之差，①理论真值（三角形内角和）；②

约定真值（常用基本单位）；③

相对真值（高级标准器的指示值作为低级的相对真值）

如：用一等标准水银温度计测得20.2℃，二等标准水银温度计测得20.3℃，则二等标准水银温度计的相对误差为0.5%二.误差

由于仪器、环境、人员和方法等方面诸多因素

误差是不希望出现的，但又不可避免的，要了解误差出现的原因并尽量减小或消除它误差的性质：①未知性（真值不可知）③普遍性（存在于一切测量当中）②随机性（误差值可正或负，可大或小，难以预测）误差是不希望出现的，但又不可避免的，要了解误差

按误差性质可分为系统误差、随机误差和粗大误差（1）系统误差：相同条件下多次重复测量时，误差的大小、符号保持恒定，具有一定的规律（如：零点不准、天平不等臂、刻度不均匀等）分类：已定系统误差（大小和符号可以确定，如仪器零点误差）未定系统误差（大小和符号不能确定）如何发现和消除系统误差将在第二次课介绍2.分类

按误差性质可分为系统误差、随机误差和粗大误差2.分（2）随机误差：误差值可正或负，也可大或小，难以预测，有随机性，但测量次数多时，又符合一定的统计规律（正态分布）

单峰性对称性有界性f(δ)δ概率密度函数误差随机误差常呈正态分布，服从概率密度函数f(δ)（如图），可见随机误差特点：（2）随机误差：误差值可正或负，也可大或小，难以预测，有随机

个别偏离于其它数据很大的误差，由于人为、仪器或环境方面引起，又称疏失误差或过失误差（例如：读数错误，记录错误，操作错误，估算错误），应剔除（3）粗大误差个别偏离于其它数据很大的误差，由于人为、3.误差的表示形式（1）绝对误差

用绝对大小给出的误差：δ＝x－x0，可正可负，有单位（2）相对误差

绝对误差与被测量真值的比值：E＝δ/x0，无单位，用％表示例：测量两个物体的长度：L1=100.0mm，L2=70.0mm；绝对误差分别为δ1=0.8mm，δ2=0.7mm；相对误差分别为：E1=0.8%，E2=1.0%L1测量结果好，称精度高3.误差的表示形式例：测量两个物体的长度：L1=1004.测量结果的好坏的评价---精度

也称精确度/准确度，描述测量结果与真值的接近程度定性概念，不能用数值大小来表示，只能讲高低

精密度（各测量值之间的接近程度---随机误差）和正确度（测量结果与真值的偏离程度---系统误差）的综合反映

4.测量结果的好坏的评价---精度

也称精确度/准确度，描述三.不确定度1.概念表示被测量不能确定的程度，故称为“不确定度”，反应误差可能出现的范围或真值可能处的范围反映测量精度：不确定度小，测量精度高，测量值接近真值；反之亦反通常习惯说误差越小，测量结果质量越好，即用误差评定测量结果好坏；但因真值不可知，误差不能确定，故用误差评定是不合理的如何给定待测量的大小？并能反映测量结果好坏（精度高低）？测量结果最终表示：x=2.7±0.3（表示待测量可能处于2.4~3.0之间）最佳值不确定度

不确定度是用来评定测量质量的一个重要指标，国内外在计量、检测、工业、商业、外贸等领域已逐渐采用不确定度代标准差表示测量结果的质量三.不确定度1.概念通常习惯说误差越小，测量结果质量越好2.分类测量不确定度通常包括几个分量，根据评定方法可分两大类：（1）A类分量（采用统计方法评定获得的）用算术平均值的标准差公式估算：

使用条件：直接测量量；等精度测量不确定度大小可根据概率统计学来评定（贝塞尔公式）2.分类使用条件：直接测量量；等精度测量不确定度大（2）B类分量（用非统计方法评定获得的）约定：（3）合成不确定度仪器极限误差Δ仪=等级×量程/100数字式取末位数1个单位；刻度式取最小分度一半例：用电表的100mA量程测电流，该电表级别为0.05，则该电表的Δ仪=0.05×100/100=0.05mA（2）B类分量（用非统计方法评定获得的）（3）合成不确定度3.测量结果的表示（1）最佳值估计由随机误差对称性（大小相同、符号相反的误差出现机会相同）特点可知，无数次测量时，测量值的平均值接近真值，故可用算术平均值代替真值3.测量结果的表示由随机误差对称性（大小相同、符（2）测量结果的表示ur为相对不确定度。相对不确定度越小，表示测量质量越好（2）测量结果的表示ur为相对不确定度。相对不确定度越小，表1.定义由表征测量结果的可靠数字与可疑数字组成，可疑数字一般只有一位由仪器和待测量的大小共同决定四.有效数字由于误差存在的普遍性，实验中某物理量的测量值及运算结果都是近似的。合理的近似，既能充分反映测量精度，又简单明了。这种近似的数据是有效的，被称为有效数字1.定义四.有效数字由于误差存在的普遍性，实验中某物理量2.有效数字的位数由左边第一个非零数字起至最后一位数字止例如:用最小分度值为1mm的尺，测量一物体长度得到1.65cm。“5”是在6和7两个整毫米刻度内估读的，是不可靠的，可疑数字；1.6是由尺子刻度直接读出的，是可靠数字15.86，四位有效数字5.32，三位有效数字5.320，四位有效数字0.0532，三位有效数字注:末尾的“0”是有效数字，不能去掉此长度如果在1cm以内，则有1位可靠数字；若该物体用千分尺量则有4位可靠数字2.有效数字的位数例如:用最小分度值为1mm的尺，测量一3.获取原则（1）直接测量：有指针或刻度的仪器：最小刻度以下再估读一位数字显示仪表：显示值均为有效数字，不再估读（2）间接测量：末位数必须与不确定度末位对齐在本课程中绝对不确定度的有效数字只要求取1位相对不确定度的有效数字，一般取1~2位3.获取原则（2）间接测量：末位数必须与不确定度末位对齐4.修约规则当实验结果的有效数字位数较多时，进行取舍一般采用1/2修约规则。（1）需舍去部分的总数值大于保留部分末位半个单位，末位加1（2）需舍去部分的总数值小于保留部分末位半个单位，末位不变（3）需舍去部分的总数值等于保留部分末位半个单位，末位凑偶3.14161→2.71729→4.51050→5.62350→6.378501→3.1422.7174.5105.6246.3798.927513→8.928修约成4位有效数字：（四舍六入五凑偶）4.修约规则当实验结果的有效数字位数较多时，进行取舍一般采单位换算时有效数字的位数不变

1.3m＝1.3×103mm≠1300mm

1300mm＝1.300m≠1.3m

用科学记数法表示σ=0.112→σ=0.1或0.11；B=12.52%→B=13%B=1.232%→B=1%或1.2%；σ=0.5350→σ=0.6不确定度有效数字取舍一般采用1/3修约规则单位换算时有效数字的位数不变σ=0.112→σ=0.5.运算规则加减运算尾数（数量级最大的）取齐；乘除运算位数（最少的）取齐；乘方、开方的有效位数与其底的有效数字相同；函数的有效数字根据不同的情况有不同的规定，如：指数函数：与指数的有效数字位数相同自然对数：其尾数的位数与该数的有效数字位数相同三角函数：根据角度的不确定度来确定最后的有效位数中间过程多取1位5.运算规则1.对直接测量列数据处理（等精度测量）：数据处理时，可忽略已定系统误差和粗大误差（实验过程中已尽量消除）（1）求算术平均值，作为测量结果的最佳值。（2）计算算术平均值的标准差，作为标准不确定度的A类分量。（3）根据仪器的极限误差，计算标准不确定度的B类分量。（4）计算合成不确定度和相对不确定度。（5）完整表示测量结果数据处理步骤归纳

1.对直接测量列数据处理（等精度测量）：数据处理步骤归纳

物理实验中，一般只有一个A类分量和一个B类分量，且假定两个分量相互独立：a）.多次测量：b）.单次测量：单次测量时不确定度A类分量，无法考虑，合成不确定度只考虑B类分量。即：物理实验中，一般只有一个A类分量和一个B类分量，且假定两用0~25mm的一级千分尺测钢球的直径D，6次数据为：D1=3.121mm，D2=3.128mm，D3=3.125mm，

D4=3.123mm，D5=3.126mm，D6=3.124mm写出完整的实验结果。解：①求算术平均值注：按数据处理的规则，在计算过程中平均值可以暂时多取一位有效数字，目的是防止计算误差扩大化。例：用0~25mm的一级千分尺测钢球的直径D，6次数据为：D1=②求A类不确定度分量③求B类不确定度分量u查得该千分尺所以：④合成不确定度（有效数字保留1位）（有效数字多取1位）（有效数字多取1位）②求A类不确定度分量③求B类不确定度分量u查得该千分尺所以⑤完整结果表示：D=（3.124±0.002）mmP=68.3%注：测量结果的有效数字与不确定度的末位对齐⑤完整结果表示：D=（3.124±0.002）mmP=68.2.

间接测量的数据处理：间接测量量：y直接测量量：x1,x2,…,xk（1）最佳值：（2）不确定度传播公式间接测量量y的不确定度与各直接测量量的不确定度之间的关系为：2.间接测量的数据处理：（1）最佳值：（2）不确定度传播公附：偏导数求法（多元函数的微分学）

函数y=f(x1,x2,x3,------)，y为因变量，xi(i=1,2,3,---)为自变量当只有一个自变量时，即y=f(x1)，称一元函数当有两个（或两个以上）自变量时，即y=f(x1,x2)，称多元函数对于多元函数，对某一自变量求导，称为函数对该自变量的偏导数，记为附：偏导数求法（多元函数的微分学）函数y=f(x1求多元函数关于某个自变量的偏导数，并不需要新的方法，只需将其它自变量看做常数即可，仍是利用一元函数的求导法则和求导公式，

例如：对二元函数z=x2sin2y求偏导数：对x求偏导：(将y视为常数)对y求偏导：(将x视为常数)2xsin2y==

2x2cos2y

求多元函数关于某个自变量的偏导数，并不需要新的方法，只需将其试求体积V并表示多取一位实验结果。②求V的不确定度：例：用千分尺测量圆柱体的体积V，已求得直径为：解：①求V：注：A、常数π的有效数字应比测量值的有效数字多取一位，目的是让常数取值的误差忽略不计。B：体积V的有效数字应符合有效数字运算法则。试求体积V并表示多取一位实验结果。②求V的不确定度：例：用千根据不确定度传播公式：③实验结果表示：根据不确定度传播公式：③实验结果表示：人类从事科学实验的一个重要目的是：由测量数据总结出规律，提取相关的参数和信息，这就需要对实验数据进行处理在基础物理实验中，常用到的有列表法、作图法、逐差法和最小二乘法等五.常用数据处理方法人类从事科学实验的一个重要目的是：由测量数据总结出规律，提取1、列表法（将测量数据按一定形式和顺序列成表格）常用于原始数据的记录或其它数据处理方法的基础要求：（1）简明，便于表示对应关系，处理数据方便。

（2）写明表的序号和名称，标明物理量、单位及数量级。

（3）表中所列数据应是正确反映结果的有效数字。

（4）测量日期、说明和必要的实验条件记在表外。举例：

表1伏安法测100电阻对应数值表2002/9/5注：电压表量程7.5V精度等级1.0，电流表量程50mA精度等级1.01、列表法（将测量数据按一定形式和顺序列成表格）举例：注：电A、要求（先给出实验数据表格）

(1)、根据各变量之间的变化规律，选择相应类型的坐标纸。

(2)、正确选择坐标比例（以让曲线充满图纸为原则，不必通过零点）。

(3)、写明图名、各坐标轴所代表的物理量、单位、数值的数量级等。

(4)、数据描点要用“×⊙⊕◆”等比较明显的标识符号。不能用“.”

(5)、对变化规律容易判断的曲线以平滑线连接，曲线不必通过每个实验点，各实验点应均匀分布在曲线两边；难以确定规律的实验可以用折线连接。2、作图法（将实验数据依照自变量和因变量的关系做成曲线，以便反映两者的函数关系，寻找经验规律）2、作图法（将实验数据依照自变量和因变量的关系做成曲线，以便

通过作图可以判断各量的相互关系，特别是在还没有完全掌握科学实验的规律和结果的情况下，或还没有找出适合的函数表达式时，作图法是找出函数关系式并求得经验公式的最常用的方法之一。如二极管的伏安特性曲线、弹簧振子振幅衰减规律曲线等，都可从图上清楚地表示出来B.

应用

作图法的应用主要表现在以下两方面：

(1)判断各量的相互关系

B.应用(1)判断各(2)图上求未知量—图解法①

线性函数未知量求法②非线性函数未知量求法――曲线改直问题

y=axb形式，a、b为常数，将方程两边取对数得到：1gy=b1gx＋1ga在直角坐标纸上取lgy为纵坐标,1gx为横坐标,得到一条直线,从而可以求出系数a和b注：在拟合的直线两端取点，不取实验点b⊕⊕⊕⊕(2)图上求未知量—图解法①线性函数未知量求法②应用条件：

(1)、函数可以写成x的多项式形式，即：

y=a0+a1x+a2x2+a3x3实际上，由于测量精度的限制，3次以上逐差已很少应用

(2)、自变量x是等间距变化，即：

xi-xi-1

=c（式中c为一常数）

3.逐差法

逐差法：将因变量逐项相减或按顺序分两组对应项相减，至逐差值趋于某一常数，然后将差值作为因变量的多次测量值进行数据处理（求算术平均值）的方法应用条件：(1)、函数可以写成x的多项式形例：对y=f(x)，测得测量列xi（i=1,2,…,n）、yi（i=1,2,…n）逐差法的作用和应用：（1）逐项逐差

-------判断函数关系若一次逐差：基本相等，则（线性关系）若二次逐差：

基本相等，则可依次类推，进行其它判断（二次多项式）例：对y=f(x)，测得测量列xi（i=1,2,…,n例:求弹簧的倔强系数，根据虎克定律F=kΔx，等间距改变外力Fi，可以相应地得到不同的弹簧的伸长量xi，测量6次数据。隔3项（n/2）逐差：每一个数据都能用上，可取