数学必修二第二章测试题

时间

分钟，满分

分。一、选择题本大题共

个小题，每小题

分，共

分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．若直线

和

b

没有公共点，则

与

b

的位置关系是 A．相交 B．平行．异面 ．平行或异面．平行六面体－中，既与

共面也与

共面的棱的条数为 A． B． ． ．．已知平面

α

和直线

l，则

α

内至少有一条直线与l A．平行 B．相交 ．垂直 ．异面．长方体

－中，异面直线，所成的角等于 A． B． ． ．．对两条不相交的空间直线

与

b，必存在平面

α，使得 A．⊂α，b⊂α B．⊂α，b∥α．⊥α，b⊥α ．⊂α，b⊥α．下面四个命题：①若直线

，b

异面，b，

异面，则

，

异面；②若直线

，b

相交，b，

相交，则

，

相交；③若

∥b，则

，b

与

所成的角相等；④若

⊥b，b⊥，则

∥.其中真命题的个数为 A． B． ． ．．在正方体

－中，E，F

分别是线段

，上的不与端点重合的动点，如果E＝F，有下面四个结论：①EF⊥；②EF∥；③EF

与

异面；④EF∥平面

.其中一定正确的有 A．①② B．②③ ．②④ ．①④．设

，b

为两条不重合的直线，α，β

为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是 A．若

，b

与

α

所成的角相等，则∥bB．若

∥α，b∥β，α∥β，则

∥b．若

⊂α，b⊂β，∥b，则

α∥β．若

⊥α，b⊥β，α⊥β，则

⊥b．已知平面

α⊥平面

β，α∩β＝l，点

∈α，∉l，直线

∥l，直线

⊥l，直线m∥α，∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 A．∥m B．⊥m．∥β ．⊥βE．

大纲版数学文科已知正方体

－中，

、EF

分别为

、的中点，那么直线

与

F

所成角的余弦值为 ．－

．－．已知三棱锥

－

的三个侧面与底面全等，且

＝＝，＝，则以

为棱，以面

与面

为面的二面角的余弦值为 A.

． ．－．如图所示，点P在正方形所在平面外，⊥平面，＝，则

与

所成的角是 A． B．． ．二、填空题本大题共

小题，每小题

分，共

分．把答案填在题中的横线上．下列图形可用符号表示为________．

－

－－

的平面角等于________．．设平面

α∥平面

β，，∈α，，∈β，直线

与

交于点

，且点

位于平面

α，β

之间，＝，＝，＝，则＝________.．将正方形

沿对角线

折成直二面角

－－，有如下四个结论：①⊥；②△

是等边三角形；③

与平面

成

的角；④

与

所成的角是

其中正确结论的序号是________．三、解答题本大题共

个大题，共

分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

分

－

与 eq

\o\ac(△,A)都为正三角形且

⊥面

，F、F分别是

，的中点．求证：平面

F∥平面

BF；平面

F⊥平面

.分析 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件．．本小题满分

分如图所示，在四棱锥

P－

中，⊥平面

，＝，＝，＝，∠＝∠＝，E

是

的中点．证明：⊥平面

；若直线

与平面

所成的角和

与平面

所成的角相等，求四棱锥

P－

的体积．．

分如图所示，边长为

的等边△

所在的平面垂直于矩形

所在的平面，＝

，M

为

的中点．证明：⊥；求二面角

P－－

的大小．．本小题满分

分

辽宁文，

－的侧面

是菱形，⊥.证明：平面

⊥平面

；设

是

∥平面

的值．．

分如图，△

中，＝＝

，

是边长为

的正方形，平面

⊥底面

，若

，F

分别是

EC，

的中点．求证：GF∥底面

；求证：⊥平面

EBC；求几何体

的体积

.分析 转化为证明

GF

平行于平面

内的直线

；转化为证明

垂直于平面

EBC

内的两条相交直线

和

BE；几何体

是四棱锥

－.．

分如下图所示，在直三棱柱

－中，＝，＝，＝，＝，点

是

的中点．求证：⊥；求证：

平面

；求异面直线

与

所成角的余弦值．详解答案答案 答案 解析

与

直线，因此只有两类：第一类与

平行与

第一类与

平行与

相交的有：、

与

平行且与

相交的有：

、

， 第二类与两者都相交的只有，故共有

条．答案 解析 直线

l

与平面

α

α

内不存在与

l

平行的直线，∴A

错；l⊂α

时，在

α

内不存在直线与

l

异面，∴

错；l∥α

时，在

α

内不存在直线与

l

相交．无论哪种情形在平面α

内都有无数条直线与

l

垂直．答案 解析 由于

∥，则∠

是异面直线

，所成的角，很明显∠＝答案 B解析 对于选项

A，当

与

b

是异面直线时，A

错误；对于选项

B，若

，b

不相交，则

与

b

平行或异面，都存在

α，使

⊂α，b∥α，B

正确；对于选项

，⊥α，b⊥α，一定有

∥b，

错误；对于选项

，⊂α，b⊥α，一定有

⊥b，

错误．答案 解析 异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，∥，而在空间中，

与

可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．答案 解析

如图

所示

．由于

⊥平

面

，EF⊂平面的中点时，EF∥

∥

EF∥

E，由于平面

的中点时，EF∥

∥

EF∥

E，由于平面

∥平面

，EF⊂平面

EF∥平面 F

分别不是线段

，的中点时，EF

与

，所以④正确．答案 解析 选项

A

中，，b

还可能相交或异面，所以A

是假命题；选项

B

中，，b

B

中，α，β

还可能相交，所以

是假命题；选项

中，由于⊥α，α⊥β，则∥β

或

⊂β，则

β

内存在直线

l∥，又

b⊥β，则

b⊥l，所以

⊥b.答案 解析 如图所示：∥l∥m；⊥l，m∥l⇒⊥m；∥l⇒∥β.

命题意图

命题意图

本试题考查了正方体中异面直线的所

成角的求解的运用．解析 首先根据已知条件，连接

DF，然后则角

DFD即为异面直线所成的角，设边长为，则可以求解得到＝DF＝F，＝，结合余弦定理得到结论．答案 解析 取

中点

E，连、DE，可证⊥，⊥DE，∴∠

为二面角

－－

的平面角又

＝ED＝

，＝，∴∠＝，故选

C.答案 B解析 将其还原成正方体

－，显见

∥，△为正三角形，∴∠＝直角三角形，则∠

＝答案 α∩直角三角形，则∠

＝答案 解析 如图所示，正方体

－中，由于

⊥，⊥

是二面角

－－

是等腰答案 解析 如下图所示，连接

，，则直线

，

确定一个平面

.∵α∥β，∴∥，则＝，∴＝，解得

＝ 答案 ①②④解析 如图所示，①取

中点，E

连接

，CE，则⊥，⊥CE，而∩CE＝E，∴⊥平面

， 平面

，故⊥，故①正确．②设正方形的边长为②设正方形的边长为，则

＝CE＝

.则

MN∥，且

MN＝＝，由①知∠＝是直二面角

－－

的平面角，且∠＝，∴＝，∴△

是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，⊥平面

是

与平面

所成的角，而∠＝，所以③不正确．④分别取

，

的中点为

M，N，连接

，，MN. ∥，且

＝＝，在

△

中，∥，且

＝＝，在

△

中，＝CE＝

，＝，∴＝＝

∴eq

\o\ac(△,.)

是正三角形，∴∠＝，故④正确．证明 在正三棱柱

－

中，∵F、F

分别是

、

的中点，∴

F

∥BF，

∥

F.又∵

F

∩

＝F

，

F∩BF＝F，∴平面

F

∥平面

BF.又

F

⊥

，

∩

＝

，∴

F

⊥平面

，而

F

⊂平面

F

，∴平面

F

⊥平面

.∴∠

是异面直线

，

所成的角． 在三棱柱

－中，⊥平面

，∴F⊥. 解析如图所示，连接

，由

＝，＝，∠＝，得

＝又

＝，E

是

的中点，所以

⊥.∵⊥平面

，⊂平面

，所以

⊥.而

，

是平面

内的两条相交直线，所以

⊥平面

.过点

作

∥，分别与

，

相交于

F，，连接

PF.由⊥平面

知，⊥平面

.于是∠BPF

为直线

与平面

所成的角，且

⊥.由

⊥平面

知，∠

为直线

与平面

所成的角．＝，＝，⊥，由题意，知∠＝∠BPF，因为

∠＝

，∠BPF＝BF，所以

＝BF. 由∠＝∠＝知，∥，又∥是平行四边形，故

＝＝于是

＝在

△

中，＝，＝，⊥，所以＋＋＝

，BF＝

＝

＝

.于是

＝BF＝

又梯形

的面积为

又梯形

的面积为

＝×＋×＝，所以四棱锥

P－＝××＝××

＝

.

的体积为

.解析 证明：如图所示，取

的中点

E，连接

PE，，，∵△

为正三角形，∴PE⊥，PE＝∠PDE＝＝

∵平面

⊥平面

，∴PE⊥平面

，而

平面

，∴PE⊥.∵四边形

是矩形，∴△

＝

，＝

，＝，∴＋＝.∴⊥.又

PE∩＝E，∴⊥平面

，∴⊥.解：由可知

⊥，⊥，∴∠

是二面角

P－－

的平面角．∴∠＝PE

＝

＝，∴∠＝ ∴二面角

P－－

的大小为

解析又已知

⊥

，且

∩

＝，所以

又已知

⊥

，且

∩

＝，所以

⊥平面

，又

⊂平面

所以平面

⊥平面

.因为

∥平面

，

⊂平面

，平面

∩平面

＝DE，所以

∥DE. 设

交

于点

E，连接

DE，则

DE

是平面

与平面

的交线． 又

E

是

的中点，所以

又

E

是

的中点，所以

为

的中点．即

＝解 证明：连接

，如下图所示．又∵＝＝

又∵＝＝

，取

的中点

，连

，∵＝＝

＝

，∴∩＝F，且

F

是

的中点，又

是

EC

的中点，∴GF∥，又

⊂平面

，GF⊄平面

，∴GF∥平面

.证明：∵

为正方形，∴EB⊥，又∵平面

⊥平面

，平面

∩平面

＝，EB⊂平面

，∴BE⊥平面

，∴BE⊥.∴＋＝，∴⊥.又∵∩BE＝，∴⊥平面

BCE. ∴⊥，且

＝，又平面

⊥平面

∴⊥平面

，∴＝

××

＝

.又∵

⊥. ∴⊥平面

，∴＝

××

＝

.又∵

⊥.∴⊥平面