13洛必达法则教案

第页第页金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案授课课题3.1洛必达法则（1）任课教师方红伟目的要求1、理解洛必达法则的概念2、会用洛必达法则求极限。教学重点理解洛必达法则的概念教学难点会用洛必达法则求极限课的类型新授课时间分配2课时作业P122习题三，1（1）（2）（3）（4）（5）（6）教案审批年月日金华市技师学院金华市技师学院《微积分》教案高级技工学校教案号-第页第页~~教学过程:0型和€型未定式的解法：洛必达法则0€定义：若当xTa(或x)时，函数f(x)和f(x)都趋于零(或无穷大)，则极限limf(x)可能存在、也可能不存在，通常称为0型和€型未定式.xTaF(x)0€(xT€)例如limlan£,(g型)；limlnsinax,(€型).xt0x0xt0lnsinbx€定理1:设(1)当xT0时，函数f(x)和F(x)都趋于零；⑵在a点的某去心邻域内，f，(x)和f，(x)都存在且F，(x)丰0;(3)lim竺存在(或无穷大)，xTaF(x)(xT€)则lim如1„lim仙xTaF(x)xTaF(x)定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则证明:定义辅助函数f1(x)„f1(x)„f(x),0,x主ax„aIF(x),x丰aFi(x)T0,x„a金华市技师学院金华市技师学院《微积分》教案高级技工学校教案号-第页第页金华市技师学院金华市技师学院《微积分》教案高级技工学校教案号-第页第页在U(a,8)内任取一点x,在以a和x为端点的区间上函数f(x)和F(x)满11足柯西中值定理的条件，则有竺„f(x)-f(a)„墮,(<在a与x之间)F(x)F(x)-F(a)F，(<)当xT0时，有<Ta,所以当讪止2„a,有血炷„AxTaF'(x)<taF，(<)故lim凹„lim口®„A.证毕xTaF(x)<TaF，(<)说明：1.如果lim止1仍属于0型,且f，(x)和f，(x)满足洛必达法则的条件,可继xTaF，(x)0续使用洛必达法则，即lim型„lim以卫„lim厂凹„•…;xTaF(x)xTaF，(x)xTaF"(x)2.当xT€时，该法则仍然成立2.当xT€时，该法则仍然成立,有lim加xT€F(x)„limxT€对x€a(或x€0)时的未定式兰,也有相应的洛必达法则；洛必达法则是充分条件；如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.2.0・g,g-g,Oo,ls,go型未定式的求法关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型匕型和g型.0g1.0・g型未定式的求法步骤：0・g=丄・g,或0.g„01g0例1求limx-2ex.(0・g)型X€+g解原式二lim竺=lim竺=lim=+g.无€+gX2X€+02X00,100,1«,g0型00f0-ln0€0+丄例4求limxi-x.(lg)型x€1步骤：]g取对数><g-ln1步骤：]g取对数><g-ln1„0.g.步骤：g,g„1-1„上0000.0例2求lim(―1—--1).(g-g)型x€0sinxx解原式二limx一血x=lim1-cosx二0.x€0xsinxx€0sinx+xcosx金华市技师学院金华市技师学院《微积分》教案高级技工学校教案号-第页第页金华市技师学院金华市技师学院《微积分》教案高级技工学校教案号-第页第页0-lng例3求limxx.例3求limxx.x€0+(00)型解原式二limexln兀=elimxlnxx€0+十lnx

lim—x€0+—x1limx€0+——=ex2金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号1)4)第页1)4)第页

1_1lnXlim解原式二lime1—xlnX，e齢一x=ext1-1，e—i.，e—i.例5求lim(cotx)xt0+(„0)型金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号1)4)第页1)4)第页解由于(cotX益，e盍'ln(cotx)而lim丄…ln(cot而lim丄…ln(cotx)=limlnxxt0+1cotX11sin2x=lim，一1Xt0+cosx…sinx—x金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号1)4)第页1)4)第页金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号1)4)第页1)4)第页所以原式二e-1.注意：洛必达法则的使用条件．例6求limX+cosX.TOC\o"1-5"\h\zXT„X解原式二lim匕叮=lim(1—sinX).极限不存在XT„/兀2、/兀2、(洛必达法条件不满足的情况)正确解法为原式=lim(1+1cosx)，1.XT„X兀2例7求lim[tann(+)]nt„4n解设f(x)，[tanX(-+—tan(丁+)X24X)]，则f(n)，[tan”—tan(丁+)X24X因为limf因为limf(x)，exp[limxlnXT+„XT+„+-)]x金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号1)4)第页1)4)第页金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号1)4)第页1)4)第页==exp[limXT+„lntan(^+—)-4一匚],exp[limTOC\o"1-5"\h\z_xT+„

用2*2、sec2(+)(—)_4xx2厂e4金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号1)4)第页1)4)第页金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号1)4)第页1)4)第页从而从而原式=limf(n)，limf(x)，e4XT+„金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号1)4)第页1)4)第页金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号1)4)第页1)4)第页例8求下列极限金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号1)4)第页1)4)第页XcotX—XcotX—ilimXT0X2cosXln(X—3)2)limxt3+ln(ex—e3)

(3)lim』-丄ln(l+x)]XT0XX2金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号1)4)第页1)4)第页金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号1)4)第页1)4)第页lim(lim(nX…lnX)XT0+1+cosx5)lim一XT收X金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号第页第页解(1)由于x€0时，xcotx=亠€1，故原极限为0型，用洛必达法tanx0所以xcotx-1limx€所以xcotx-1limx€0x2十xcosx-sinx=limx€0=lim(分母等价无穷小代换)x€0x2sinxx3金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号第页第页丫.cosx一xsinx一cosx3x2=3x2x€0-1sinx-1

=lim=—3x€0x€0+x€0+2)此极限为戈,2)此极限为戈,可直接应用洛必达法则所以limcos所以limcosxln(x一3)x€3+ln(e*一e3)=limcosx…limln(x，3)乂€3+乂€3+ln(e“—e3)型.3)=cos3-lim—-lime型.3)=cos3-lim—-lime—ex一3+x—3x€3„xx€3„=—…cos3…limex二cos3.e3x€3„所求极限为—型,不能直接用洛必达法则，通分后可变成0或glim[丄-—ln(1+x)]=limx€0xx2x€0x-ln(1+x)=J-在x€02xx2金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号第页第页金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号第页第页4)所求极限为0型,limnx€0+lnxx…lnx=lim—x-nx€0„(-型)g金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号第页第页金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号第页第页==limx€0+十nx1„n二-limlimx—=0.x€0+n金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号第页第页金华市技金华市技高级师技工学学院校《微积分》教案教案号第页第页5)此极限为g型，用洛必达法则，得g教案号-教案号-第页第页金华市技师学院高级技工学校微积分》教案教案号-教案号-第页第页教案号-教案号-第页第页x+cosx1一sinx-x„收11cos1x„收11cos1+—cosx

xx+cosx十但lim=lim=1+lim—cosx=1+0=1.