专题2.7 新定义运算24点2021-2022学年七年级数学上册教材同步配套讲练（解析版）

《讲亮点》2021-2022学年七年级数学上册教材同步配套讲练专题2.7新定义运算、24点【教学目标】1、理解新定义运算；2、掌握24点的计算技巧【教学重难点】1、理解新定义运算；2、掌握24点的计算技巧【知识亮解】新定义运算【方法点拨】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.【例1】★定义新运算“”如下，当时，，当时，；则的值为．【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．【答案】解：由﹣＜﹣，利用题中的新定义得：（﹣）⊕（﹣）＝+＝，故答案为：．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【例2】★规定符号※的意义为：，那么=．【答案】－12【例3】★★定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数．（1）计算：a2＝，a3＝；（2）根据你发现的规律计算a2018的值．【分析】（1）根据规定的运算方法，依次计算出a2、a3；（2）进一步计算出a4、a5，即可发现每3个数为一个周期依次循环，然后用2018除以3，根据规律，即可得出答案．【解答】解：（1）a2＝＝，a3＝＝4．故答案为，4；（2）∵a1＝﹣，a2＝，a3＝4，a4＝＝﹣，a5＝＝，…∴这列数以﹣，，4三个数依次不断循环出现；2018÷3＝672…2，a2018＝a2＝．【点评】此题考查数字的变化规律，利用规定的运算方法，得出数字之间的循环规律，利用规律解决问题．【例4】★★★对于有理数，定义一种新运算“⊕”，观察下列各式：1⊕2＝|1×4﹣2|＝2，2⊕8＝|2×4﹣8|＝0，﹣3⊕4＝|﹣3×4﹣4|＝16（1）计算：（﹣4）⊕3＝，a⊕b＝．（2）若a≠b，则a⊕bb⊕a（填入“＝”或“≠”）（3）若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示且a⊕（﹣b）＝5，求[（a+b）⊕（a+b）]⊕（a+b）的值．【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）根据题目中的新定义和（1）中的结果，可以解答本题；（3）根据题意和题目中的式子可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）（﹣4）⊕3＝|（﹣4）×4﹣3|＝19，a⊕b＝|4a﹣b|，故答案为：19，|4a﹣b|；（2）∵a⊕b＝|4a﹣b|，b⊕a＝|4b﹣a|，a≠b，∴（4a﹣b）﹣（4b﹣a）＝4a﹣b﹣4b+a＝4（a﹣b）+（a﹣b）＝5（a﹣b）≠0，∴a⊕b≠b⊕a，故答案为：≠；（3）由数轴可得，b＜﹣1，0＜a＜1，则a﹣b＞0，a+b＜0∵a⊕（﹣b）＝5，∴|4×（a）﹣（﹣b）|＝5，∴|a+b|＝5，∴a+b＝﹣5，∴[（a+b）⊕（a+b）]⊕（a+b）＝[|4（a+b）﹣（a+b）|]⊕（a+b）＝|3（a+b）|⊕（a+b）＝﹣3（a+b）⊕（a+b）＝|4×[﹣3（a+b）﹣（a+b）]|＝|﹣12a﹣12b﹣a﹣b|＝|﹣13（a+b）|＝﹣13（a+b）＝﹣13×（﹣5）＝65．【点评】本题考查有理数的混合运算、数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点和有理数混合运算的计算方法．【例5】★★定义☆运算，观察下列运算：（+5）☆（+14）＝+19，（﹣13）☆（﹣7）＝+20，（﹣2）☆（+15）＝﹣17，（+18）☆（﹣7）＝﹣25，0☆（﹣19）＝+19，（+13）☆0＝+13．（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：两数进行☆运算时，同号，异号．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，．（2）计算：（+17）☆[0☆（﹣16）]＝．（3）若2×（2☆a）﹣1＝3a，求a的值．【分析】（1）根据式子的运算结果，绝对值部分等于前面两个数的绝对值之和．而符号规律为，两正数或两负数进行☆运算时，结果为正；异号两数进行☆运算时，结果为负；0与任何数进行☆运算时，结果为正．（2）根据（1）的规律理解进行计算．（3）2☆a的结果会因为a的符号不同而有所不同，所以必须分a＜0，a＝0，a＞0三种情况讨论．得到一元一次方程，所得的解要讨论是否符合题意．【解答】解：（1）（+5）☆（+14）＝+19，（﹣13）☆（﹣7）＝+20，两正数或两负数进行☆运算时，结果为正数．（﹣2）☆（+15）＝﹣17，（+18）☆（﹣7）＝﹣25，一正数一负数进行☆运算时，结果为负数．∴两数进行☆运算时，同号得正，异号得负．0☆（﹣19）＝+19，（+13）☆0＝+13，0和一个负数进行☆运算时，结果为正数；一个正数和0进行☆运算时，结果为正数；∴0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果为正数．故答案为：得正；得负；结果为正数．（2）（+17）☆[0☆（﹣16）]＝（+17）☆（+16）＝+33故答案为：+33（3）①若a＜0，则2☆a＝﹣（2+|a|）＝﹣（2﹣a）＝﹣2+a∴2×（﹣2+a）﹣1＝3a解得：a＝﹣5②若a＝0，则2☆a＝+2∴2×2﹣1＝3a解得：a＝1，不成立③若a＞0，则2☆a＝+（2+a）＝2+a∴2×（2+a）﹣1＝3a解得：a＝3综上所述，a的值为﹣5或3．【点评】本题考查了有理数的混合运算和一元一次方程解法，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则和理解并利用新定义解决问题．【例6】★★★定义一种新运算：观察下列各式：1⊙3＝1×4+3＝73⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝115⊙4＝5×4+4＝24（﹣4）⊙（﹣3）＝﹣4×4﹣3＝﹣19完成下列题目（1）2⊙（﹣3）＝，（﹣5）⊙（﹣2）＝（2）计算并比较1⊙[（﹣2）⊙1]与（﹣1）⊙[1⊙（﹣2）]的大小（3）计算1⊙（﹣1）+2⊙（﹣2）+3⊙（﹣3）+…+16⊙（﹣16）的值．【分析】（1）直接利用已知得出“⊙”的意义进而得出答案；（2）直接利用已知得出“⊙”的意义进而得出答案；（3）直接利用已知得出“⊙”的意义，结合有理数的混合运算法则进而得出答案．【解答】解：（1）2⊙（﹣3）＝2×4﹣3＝5，（﹣5）⊙（﹣2）＝﹣5×4﹣2＝﹣22；故答案为：5，﹣22；（2）1⊙[（﹣2）⊙1]＝1⊙[（﹣2）×4+1]＝1⊙（﹣7）＝1×4﹣7＝﹣3；（﹣1）⊙[1⊙（﹣2）]＝（﹣1）⊙（1×4﹣2）＝（﹣1）⊙2＝﹣1×4+2＝﹣2，故1⊙[（﹣2）⊙1]＜（﹣1）⊙[1⊙（﹣2）]；（3）1⊙（﹣1）+2⊙（﹣2）+3⊙（﹣3）+…+16⊙（﹣16）＝1×4﹣1+2×4﹣2+3×4﹣3+4×4﹣4+…+16×4﹣16＝3+6+9+12+…+48＝3×（1+2+3+…+16）＝3×8×17＝408．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确理解“⊙”的意义是解题关键．【例7】★★用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2+2ab+a．如：1☆3=1×32+2×1×3+1=16．（1）求(﹣2)☆3的值；（2）若(☆3)☆(－)=8，求a的值；（3）若2☆x=m，(x)☆3=n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．【答案】（1）解：（﹣2）☆3=﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）=﹣18﹣12﹣2=﹣32；

（2）解：☆3=×32+2××3+=8（a+1）

解得：a=3；

（3）解：由题意m=2x2+2×2x+2=2x2+4x+2，n=×32+2×x×3+=4x，所以m﹣n=2x2+2＞0．所以m＞n．

【考点】有理数的加减乘除混合运算【解析】【分析】（1）根据题中规定a☆b=ab2+2ab+a，代入求解即可；

（2）根据题中定义的新运算“☆”，转化为关于a的一元一次方程，解方程即可；

（3）根据题中定义的新运算“☆”，分别表示出m与n的代数式，利用作差法求得m﹣n＞0．所以m＞n．

计算24点【例1】★★小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________；（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________；（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________【答案】（1）15

（2）

（3）[（+3）-（-3）]×（+4）+0=24（答案不唯一）【考点】运用有理数的运算解决简单问题，有理数的乘法【解析】【解答】（1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且数值最大的数，所以选-3和-5，（-3）×（-5）=15；

（2）2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母越大越好，分子越小越好，所以就要选3和-5，且-5为分母，（−5）÷（+3）=；

（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，这就不唯一，用加减乘除只要答数是24即可，比如-3、0、3、+4，四个数，[（+3）-（-3）]×（+4）+0=24，再如：抽取-3、-5、3、4，则-[（-3）÷3+（-5）]×4=24．【分析】（1）根据乘积得出两个数是同号的两个数，选择数据计算得出最大的结果即可；

（2）根据商最小可得选择异号的两个数，比较分母即可；

（3）选择四个数利用有理数的混合运算计算得出24即可，满足要求的解不唯一.【例2】★★有一种“算24”的游戏，其规则是：任取四个1～13之间的自然数，将这四个数（每数只能用一次）进行加减乘除混合运算，其结果为24.例如2，3，4，5作运算.（5+3－2）×4=24，现有四个有理数3、4、－6、10，运用以上规则写出等于24的算式，你能写出几种算法?【答案】解：（1）10﹣4﹣3×（﹣6）=24；（2）4﹣10×（﹣6）÷3=24；（3）3×[10+4+（﹣6）]=24．其他略.【考点】有理数的加减乘除混合运算【解析】【分析】根据有理数的运算法则计算即可，如果有括号先算括号里面的，运用加减乘除规则写出等于24的算式即可.【例3】★现有四个有理数7,3,-7,-3,将它们（四个数都用且只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算，可以添加括号，使其结果为24或-24,请你写出满足题意的一个算式 .【答案】7×【3+（-3）÷（-7）】=24【例4】★★王红有5张写着以下数字的卡片.+3 +2 +1 0 -2从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方等混合运算，使结果为24（每个数字只能用一次，如：23×[1-（-2）]）.请另写出一个符合要求的运算式子： .【答案】-（-2）3×（1+2）或【3-（-2）】2-1【例5】★你会玩"24点"游戏吗?共一副扑克牌（去掉"大王"、“小王〃）屮任意抽4张,根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24.其中J,Q,K分别代表11,12,13.如小明抽到了3,3,7,7,可用算式7×（3+3÷7）得到24。如图是小刚抽到的四张牌，请用算式得到24= .【答案】4×（6-3）+12=24（答案不唯一）【例6】★现有四个数：8,2,1,-3,请按“24点”游戏规则,写出一个算式，使结果为24的算式是 .【答案】【1-（-3）】×（8-2）（答案不惟一）【亮点训练】【变式1】★如果对于有理数，定义运算※如下：※，则※※．【分析】根据题中所给出的新运算法则，把对应的数值代入对应的式子计算即可．注意：先算出括号内的数值后再计算括号外的数．【答案】解：∵a※b＝（a+b≠0），∴（﹣2）※[（﹣1）※（﹣）]＝（﹣2）※＝（﹣2）※（﹣3）＝＝﹣．故答案为：﹣．【点睛】考查了有理数的混合运算，对于新定义运算的题型关键是要准确的找到运算符号对应的代数式，准确的把数值代入对应的位置．对于有括号的代数式一定要根据运算顺序先算括号内的数．【变式2】★★对于，我们定义运算，，请你计算．【分析】将n＝4，m＝2代入公式求解可得．【答案】解：A42＝4×（4﹣1）＝12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则．【变式3】★★定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“运算”的结果是11．则：若，则第449次“运算”的结果是．【分析】解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，只有转化成功，才能有的放矢．【答案】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝449为奇数应先进行F①运算，即3×449+5＝1352（偶数），需再进行F②运算，即1352÷23＝169（奇数），再进行F①运算，得到3×169+5＝512（偶数），再进行F②运算，即512÷29＝1（奇数），再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），再进行F②运算，即8÷23＝1，再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），…，即第1次运算结果为1352，…，第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…，可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，从第6次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数，这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8．故答案为：8．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．【变式4】★请将2、-3、9、-5这四个数用加减乘除四则這算以及拈号组成结果为24的算式（每个数用且只能用一次）： 【答案】（-5）+2-（-3×9）=24【变式5】★在玩“24点"游戏时，小明抽到的数字是2,-3,4,7,运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24,你的算法是 （每个数字都要用到并且只能用一次）.【答案】（2+4）×（-3+7）【变式6】★（2019秋•江苏省镇江期末）用4个数2，﹣3，4，﹣6列一个算式[2+（﹣3）]×4×（﹣6），使得这个算式的运算结果是24（答案不唯一，写出一个算式即可）．【分析】根据题目中的数据和题意，可以写出一个计算结果为24的算式，本题得以解决，注意本题答案不唯一，写出的算式结果是24即可．【解析】∵[2+（﹣3）]×4×（﹣6）＝24，∴结果为24的算式为：[2+（﹣3）]×4×（﹣6），故答案为：[2+（﹣3）]×4×（﹣6）．【亮点检测】1★暂规定这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3，则（﹣2）※3的值为．【分析】利用题中新定义计算即可得到结果．【解析】（﹣2）※3＝（﹣2）2+2×（﹣2）×3＝4﹣12＝﹣8．故答案为：﹣8．2★★用“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a★b＝|b|﹣a．则：（1）9★（﹣1）＝；（2）若3★n＝1，则n的值是．【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中的新定义列出方程，解方程即可得到n的值．【解析】（1）9★（﹣1）＝|﹣1|﹣9＝1﹣9＝﹣8；（2）依题意有|n|﹣3＝1，解得：n＝±4．故答案为：﹣8；±4．3★小明有4张写着不同的数字的卡片，上面分别写着数字-9,-3,5,+4,请你用学过的运算方法写出运算式子，使其结果为24. .【答案】（-3）×【（-9+5）-4】或【-9-（-3）×5】×4.4★将2,-3,-4,5进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，（可以用括号，但每个数字只能用一次），使得运算的结果为24,请写出一个符合要求的混合运算的式子： =24.【答案】5²+【（-4）-（-3）】（答案不唯一）5★有理数混合运算：10、4、6、3是结果为24,请写出你的算法： .【答案】（10-6+4）×36★★★阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）❈（+2）=+6；（﹣4）❈（﹣3）=+7；（﹣5）❈（+3）=﹣8；（+6）❈（﹣7）=﹣13；（+8）❈0=8；0❈（﹣9）=9．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，________．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，________．（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”【答案】（1）同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值

（2）解：原式=（﹣5）❈12=﹣17

（3）解：加法的交换律仍然适用，例如：（﹣3）❈（﹣5）=8，（﹣5）❈（﹣3）=8，所以（﹣3）❈（﹣5）=（﹣5）❈（﹣3），故加法的交换律仍然适用【考点】有理数的加减乘除混合运算【解析】【解答】解：（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都得这个数的绝对值，故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值．【分析】（1）观察按照新