控制工程基础控制系统的设计

6.控制系统的设计

前面讨论的时域分析法、根轨迹法和频域分析法是系统性能分析的基本方法，这些基本方法是控制工程的理论基础。由这些方法不但可以对系统性能进行定性分析和定量计算，还可以设计和验证控制系统。6.控制系统的校正6.1引言

对于（原）控制系统，当结构及其参数确定时，其性能是确定的。设计控制系统就是针对原控制系统已有的性能，附加一个所谓的控制装置，使附加控制装置后构成的新控制系统的性能满足控制要求。因此，这种附加控制装置的本质作用是对原控制系统性能的校正，又称为校正装置，或控制器。(1)设计（校正）方法

若原控制系统的结构和模型为6.控制系统的校正u(s)——系统的参考输入y(s)——系统的输出G(s)——一般是系统的不可变部分H(s)——为检测装置的传递函数，起信号变换、传输和反馈的作用性能指标动态性能指标稳态性能指标时域性能指标频域性能指标超调量、动态时间、峰值时间、上升时间、振荡次数等相位裕量、增益裕量、谐振峰值、谐振频率、系统带宽等稳态误差-u(s)y(s)6.控制系统的校正

设校正装置的模型为Gc(s)。那么，针对原控制系统，常采用的校正方法主要有：-u(s)y(s)串联校正-u(s)y(s)反馈校正-串联校正装置的结构较简单，易于调整。这是应用较多的校正方法反馈校正的鲁棒性较好，可减小系统参数变化和非线性因素对系统性能的影响6.控制系统的校正-u(s)y(s)前馈校正-u(s)y(s)混合校正-前馈校正对已知干扰输入的抑制作用较好混合校正主要用于控制性能要求较高的场合实际采用哪种设计（校正）方法，主要取决于：系统的性能指标（控制性能指标、抗干扰指标、环境指标等）经济条件和成本要求工程实现的方便性（涉及信号性质、可供选用元器件等）6.控制系统的校正仅从理论角度来看，设计控制系统的问题是：

已知：原系统的模型和性能，以及期望的性能要求。求：满足期望性能要求的控制器（校正装置）模型。

设计控制器（校正装置）的方法主要有：图解法，这时基于频域法、根轨迹法的设计，其特点是工程适应性强、物理意义明确等；解析法，这时基于精确计算的设计，如极点配置设计、最优化设计等。6.控制系统的校正(2)控制器（校正装置）结构校正装置的结构可以是电气结构（电器和电子结构等）或机械结构（液压、气压和机构等）。一般采用电气结构。校正装置一般置于控制系统的低能量端（输入侧），以减少功率损耗。

随着计算机技术的发展，校正装置的组成和功能多由计算机承担，形成了计算机控制。校正装置的电气结构，有无源结构和有源结构：无源结构常用的是R-C电路网络。使用中须注意前后级部件的阻抗匹配问题有源结构一般以运算放大器为主组成。6.控制系统的校正无源校正装置有源校正装置6.控制系统的校正6.2超前校正超前校正装置的典型传递函数为

由于k<1，因而超前装置的零点(-1/T)总位于极点(-1/kT)的右边。K值越小，超前装置极点距离虚轴左边越远。一般取k=0.5。

超前装置的频率特性函数为

显然，由于k<1，就有，表明校正装置的输出相位超前于输入相位。因此，称为超前校正装置。6.控制系统的校正超前校正装置的极坐标图ReIm10.5(1+k)kω=0ω→∞或者由6.控制系统的的校正(1)基于根轨迹迹的超前校校正例题6.1：单位反馈馈控制系统统的开环传传递函数为为试设计一个个超前校正正装置，使使校正后系系统的阻尼尼比ζ=0.5，无阻尼自自然频率ωn=4s-1。(a)根据已知条条件，校正正后的系统统希望主导导极点应是是(b)绘制校正前前的系统根根轨迹-20-16.控制系统的的校正(c)由校正后根根轨迹通过过希望闭环环主导极点点的相角条条件计算超超前角：串联超前校校正后，系系统的开环环传递函数数为串联超前校校正后，系系统的根轨轨迹应通过过希望闭环环极点，，即应满足足根轨迹的的相角条件件：注：K是校正装置置按零极点点形式表示示时的增益益6.控制系统的的校正(d)确定校正装装置的零点点和极点：：-20-1aba=-1/Tb=-1/kT在Δa0s1中和Δb0s1中，0s1=ωn=4，有令dk/dγ=0，有γ=450、θ=600、φ=300，计算有-a，-b分别是校正正装置零点点和极点-20-2.9-5.46.控制系统的的校正(e)绘制校正后后的极坐标标图（即验验证计算））6.控制系统的的校正(2)基于频域分分析法的超超前校正例题6.2：单位反馈馈控制系统统的开环传传递函数为为试设计一个个超前校正正装置，使使校正后系系统的静态态速度误差差系数kv=20，相位裕量量γ=500，增益裕量量L(ωg)=10dB。(a)设定校正装装置的传递递函数(b)确定满足稳稳态误差要要求的校正正后系统的的开环增益益Kc是校正装置置按零极点点形式表示示时的增益益6.控制系统的的校正(c)绘制未校正正系统的开开环对数频频率特性图图，并计算算相位裕量量-900-18000L(ω)ωωφ(ω)120lg20(d)计算超前校校正应产生生的超前角角φ注：ε是补偿穿越越频率ωc提高所引起起的相位滞滞后。一般般地，按原原系统Bode图在ωc处渐近线斜斜率的大小小确定：ε=50～100，渐近线斜斜率为-40dB/dec；ε=120～200，渐近线斜斜率为-60dB/dec；6.控制系统的的校正(c)计算超前校校正装置的的k值-900-18000L(ω)ωωφ(ω)120lg20(d)计算-10lg(1/k)dB，在原系统统Bode图上确定对对应频率ω≡ωm≡ωc-6.2ωc=9(1/s)或6.控制系统的的校正(e)计算校正装装置的转折折频率，确确定校正装装置的传递递函数-900-18000L(ω)ωωφ(ω)120lg20(f)验证校正装装置引入后后的性能24.418.4γ6.控制系统的的校正超前校正的的作用：(1)超前校正可可使校正后后系统的开开环Bode幅频图在穿穿越频率附附近(中频段)的斜率为-20dB/dec，并使中频频段有足够够的宽度(2)超前校正主主要用于提提高系统动动态响应速速度，改善善系统动态态性能(3)超前校正在在提高系统统响应速度度的同时，，往往相位位裕量会减减小，使得得相应的滞滞后加大(4)单级超前校校正装置的的校正作用用一般难以以获得要求求的相位裕裕量6.控制系统的的校正6.3滞后校正滞后校正装装置的典型型传递函数数为由于q>1，因而滞后后装置的零零点(-1/T)总位于极点点(-1/qT)的左边。q值越大，滞滞后装置极极点距离虚虚轴左边越越近。一般般取q=0.5。滞后装置的的频率特性性函数为显然，由于于q>1，就有，，表明校正正装置的输输出相位滞滞后于输入入相位。因因此，称为为滞后校正正装置。6.控制系统的的校正滞后校正装装置的极坐坐标图ReImq0.5(1+q)1ω=0ω→∞或者6.控制系统的的校正(1)基于根轨迹迹的滞后校校正例题6.3：单位反馈馈控制系统统的开环传传递函数为为试设计一个个滞后校正正装置，使使校正后系系统的静态态速度误差差系数kv≥5，阻尼比ζ=0.5，调整时间间ts≤10s。(a)绘制出未校校正系统的的根轨迹图图0-1-4(b)按性能要求求，确定闭闭环期望主主导极点6.控制系统的的校正(c)由根轨迹幅幅值条件确确定未校正正系统在闭闭环期望极极点s1,2处的增益校正后的系系统开环传传递函数就就为按已知条件件，有为避免校正正装置在闭闭环希望极极点处产生生滞后角，，取q=106.控制系统的的校正(d)确定校正装装置的零点点(-1/T)和极点(-1/qT)0-1-4以闭环期望望极点s1,2=-0.4±j0.7为顶点，作作角度为∠0s1a<100(取60)，a点坐标即为为校正装置置的零点，，则其极点点为-a/q,即s1aa=-0.1于是，滞后后校正装置置的传递函函数为60滞后后系统统的开环传传递函数为为(e)校正后，验验算系统的的性能是否否都满足要要求6.控制系统的的校正(2)基于频域分分析法的滞滞后校正例题6.3：单位反馈馈控制系统统的开环传传递函数为为试设计一个个滞后校正正装置，使使校正后系系统的静态态速度误差差系数kv≥5，相位裕量量γ部低于400，增益裕量量不小于10dB。(a)确定滞后校校正后系统统的开环增增益设滞后校正正装置为那么，滞后后校正后系系统的开环环传递函数数为Kc是校正装置置按零极点点形式表示示时的增益益则有(c)确定校正后后系统的穿穿越频率ωc，使校正后后的系统满满足6.控制系统的的校正(b)绘制未校正正系统的BOde图ωL(ω)012φ(ω)-900-2700-1800ωγ=-200可见，原系系统不稳定定γ是校正后系系统要求的的相位裕量量(这里γ≥400)ε是补偿校正正引入带来来的滞后角角，一般取取ε=50～150（这里取120）0.5(d)确定未校正正系统在新新确定穿越越频率ωc(=0.5)处的幅值，，并计算q20-1280图上读读取20dB6.控制系系统的的校正正(e)确定滞滞后校校正装装置的的零点点和极极点为了减减小滞滞后校校正在在ωc处产生生不必必要的的滞后后角，，一般般取滞滞后校校正装装置的的零点点为，，则则其极极点为为这里取取(已确定定q=10)则设计计的滞滞后校校正装装置为为(已知Kcq=5)Kc=5/10=0.5(f)验证滞滞后校校正后后系统统的性性能6.控制系系统的的校正正滞后校校正的的作用用：(1)滞后校校正装装置具具有低低通滤滤波器器的特特性，，其校校正作作用利利用的的是高高频衰衰减(2)串联的的滞后后校正正可使使系统统的中中频段段和高高频段段的增增益和和穿越越频率率降低低，从从而使使系统统产生生大的的相位位裕量量和增增强抵抵抗高高频干干扰的的能力力。因因此，，滞后后校正正在一一定条条件下下可同同时改改善系系统的的动态态和稳稳态性性能(3)滞后校校正以以降低低系统统穿越越频率率来获获得足足够相相位裕裕量，，也使使得系系统的的带宽宽减小小，从从而使使系统统动态态响应应变缓缓(4)滞后校校正主主要用用于提提高系系统的的开环环增益益，改改善稳稳态性性能6.控制系系统的的校正正6.4滞后-超前校校正与与PID控制超前校校正主主要用用于改改善系系统的的动态态性能能，滞滞后校校正主主要用用于改改善系系统的的稳态态性能能。因因此，，滞后后-超前校校正可可以改改善系系统动动态和和稳态态性能能。滞后-超前校校正装装置的的典型型形式式为其中：：Kc是校正正装置置零极极点形形式表表示时时的增增益；；1/T1是超前前校正正的转转折频频率，，1/βT2是滞后后滞后后的转转折频频率。。6.控制系系统的的校正正滞后-超前校校正装装置的的Bode图（Kc=1）ωL(ω)01/βT2φ(ω)00ωβ/T11/T21/T1滞后校校正超前校校正滞后校校正一一般改改善系系统低低频段段的性性能(稳态性性能)；超前前校正正一般般改善善系统统中、、高频频段的的性能能(动态性性能和和抗扰扰性能能)6.控制系系统的的校正正若T1/β>>1、βT2<<1，则近近似有有可见，，滞后后-超前校校正近近似于于或等等同于于“比例-积分-微分”控制制(称为PID控制)。滞后后校正正近似似于或或等同同于PI控制，，超前前校正正近似似于或或等同同于PD控制。。那么么，实实现滞滞后-超前校校正或或PID控制的的关键键是确确定系系数KP、KI、KD。拉氏反反变换换有：：6.控制系统统的校正正6.5PID控制的参参数确定定PID控制器的的典型形形式为（（r(t)、c(t)分别是控控制器的的输入、、输出））KP——比例增益益；KI——积分增益益；KD——微分增益益一般地，，应用PID控制器的的典型形形式有：：比例-微分（PD）控制器器：比例-积分（PI）控制器器：比例-积分-微分（PID）控制器器：PID控制（比比例-积分-微分控制制）由于于具有参参数调节节方便、、控制性性能稳定定等优点点，是目目前应用用最为广广泛的控控制方法法。PID控制器设设计的关关键是确确定KP、KI、KD：（1）当被控控对象的的数学模模型已知时，则可可用前面面的滞后后-超前校正正方法确确定PID控制器的的各个增增益。（2）当被控控对象的的数学模模型未知时，可以以采用Z-N方法（齐齐格勒-尼可尔斯斯方法））。该方方法是按按25%的超调量量确定PID参数的。。6.控制系统统的校正正6.控制系统统的校正正Z-N方法在确确定PID参数时，，主要有有两种方方法：（1）方法一一①先用阶阶跃信号号激励被被控对象象，测量量其输出出信号。。若输出出信号为为S形②通过S形曲线的的曲率转转折点作作一条切切线，与与时间坐坐标轴t和y(t)=K直线分别别相较于于A、B点ty(t)K0AB③取A点的横坐坐标tA=τ，AB两点之间间的横坐坐标tAB=TτT④依据τ、T，按下表表确定KP、KI、KD控制类型KPKIKDPI0.9T/τ0.27T/τ20PID1.2T/τ0.6T/τ20.6T这种设计计方法仅仅适用于于被控对对象的阶阶跃响应应曲线为为S形的情况况6.控制系统统的校正正（2）方法二二①先设KI=KD=0，KP数值从零零逐渐增增大到系系统输出出首次出出现持续续振荡。。此时记记：KP=Kc，并记录录振荡周周期Tcty(t)Tc②依据Kc、Tc，按下表表可确定定KP、KI、KD控制类型KPKIKDP0.5Kc00PI0.45Kc0.54Kc/Tc0PID0.6Kc1.2Kc/Tc0.075KcTc6.控制系统统的校正正例题6.4：一个具具有PID控制器的的控制系系统如下下图，其其PID控制器为为-u(t)e(t)y(t)试确定KP、KI、KD解：由于于被控对对象中含含有积分分环节，，即存在在共轭极极点，表表明其输输出不可可能为S形曲线。。因此，，只能用用Z-N的第2种方法设设计PID。①令KI=KD=0，则D(s)=KP。此时闭闭环控制制系统的的特征方方程为为使KP从零增加加至系统统输出呈呈等幅振振荡，应应有s=jω，即应为为②依据Kc=30、Tc=2.81查表，得得：KP=18、KI=1.405、KD=0.35146.控制系统统的校正正应当指出出：（1）Z-N方法确定定的PID控制参数数，是系系统的超超调量平平均值约约为25%(一般在10%-60%之间)。依此为为基础，，可进一一步依据据控制性性能要求求，对PID参数进行行调整。。（2）Z-N方法主要要用于被被控对象象动态特特性不太太确定的的系统，，也可用用于动态态特性确确定的系系统6.控制系统统的校正正6.6状态反馈馈与极点点配置（1）基本概概念控制系统统的性能能取决于于系统极极点的位位置分布布。极点点配置的的位置不不同，系系统的响响应品质质、稳定定程度、、抗干扰扰能力、、对参数数变化的的敏感性性（鲁棒棒性）就就不一样样。经典控制制理论是是利用串串联、并并联校正正装置和和调整开开环增益益的方法法，使系系统极点点分布于于期望的的位置。。现代控制制理论是是应用基基于状态态反馈的的系统极极点配置置方法，，使系统统极点分分布于期期望的位位置。反馈是控控制系统统设计的的基本思思想，通通过反馈馈可以改改变系统统的内部部结构，，改善系系统的品品质。状态反馈馈是指系系统内部部状态变变量的反反馈，在在一定条条件下可可以对控控制系统统的极点点进行任任意配置置。6.控制系统统的校正正状态反馈馈——系统状态态变量通通过反馈馈矩阵K引入到输输入端，，与参考考输入量量的差是是形成控控制律的的一种反反馈控制制方式。。K——状态反馈馈矩阵6.控制系统统的校正正系统在未未实行状状态反馈馈时的传传递函数数矩阵为为可见，状状态反馈馈矩阵K的引入，，在没有有增加系系统维数数的情况况下，改改变了系系统的极极点（特特征值））。因此此，可以以通过矩矩阵K的选择来来改变系系统的特特征值（（即改变变系统的的极点）），从而而可使系系统获得得期望的的性能。。，其传递递函数矩矩阵为对于状态态反馈系系统应当指出出：状态反馈馈保持系系统的可可控性不不变，但但一般不不保持系系统的可可观性6.控制系统统的校正正系统(A、B、C)的特征值值（极点点）取决决于系统统矩阵A。引入状状态反馈馈后，系系统矩阵阵被变换换为(A-BK)，因而系统统的特征值值也将发生生变化。现在的问题题：一是，通过矩阵阵K的变化是否否可以任意意配置系统统极点在复复平面上的的位置？或或者说在什什么条件下下通过改变变矩阵K可以任意配配置系统的的极点位置置？二是，怎样选择择矩阵K可使系统极极点置于希希望的位置置上，或者者要将系统统原来的极极点移动到到希望位置置上，应怎怎样选择或或计算矩阵阵K？定理：状态反馈可可以任意配配置系统极极点的充要要条件是系系统完全可可控。注意：对于不可控控系统或状状态变量中中有一部分分是不可控控的，由状状态反馈构构成的控制制量对这些些不可控状状态变量也也就不能起起到控制影影响作用。。因此，对对不可控状状态变量应应用极点配配置是无效效的或无意意义的。6.控制系统的的校正（2）系统极点点的配置方方法系统(A、B、C)的特征值（（极点）取取决于系统统矩阵A。引入状态态反馈后，，系统矩阵阵被变换为为(A-BK)，因而系统统的特征值值也将发生生变化。系统极点配配置的基本本思想——依据要求的的控制性能能，按照控控制系统分分析方法确确定其应具具有的极点点（称为系系统的期望望极点）。。另一方面面，依据引引入状态反反馈后的系系统矩阵(A-BK)，计算状态态反馈控制制系统的极极点，并令令其与期望望极点一致致，从而就就可求出应应有的反馈馈矩阵K。注意：对于系统(A,B,C)，可求出唯唯一确定的的反馈矩阵阵K的条件就是是控制系统统完全可控控。否则，，反馈矩阵阵K不确定或无无解。6.控制系统的的校正(b)引入状态反反馈后，系系统矩阵为为(A+BK)。对于n维控制系统统，若有r个输入，可可取K=[kij]r×n。则引入状状态反馈后后的系统特特征多项式式为(c)使状态反馈馈控制系统统的特征值值与期望特特征值一致致