刚体定点转动的力学基础

关于刚体定点转动的力学基础第一页，共五十一页，2022年，8月28日§1.1刚体的角位置与角速度描述方法

刚体刚体坐标系与参考坐标系刚体的运动自由度自由刚体位置和运动的描述定轴转动刚体

定点转动刚体基本概念2022/12/172第二页，共五十一页，2022年，8月28日一质点的位置向量及其表示方法§1.1刚体的角位置与角速度描述方法

广义坐标

列向量

方向余弦

空间自由质点的位置，可用三个独立参数表示，也可用多于三个的参数来表示，而后者必须满足约束条件。

2022/12/173第三页，共五十一页，2022年，8月28日二定点转动刚体角位置的广义坐标表示§1.1刚体的角位置与角速度描述方法

三个非共线向量自由刚体六个参数独立

定点刚体三个参数独立2022/12/174第四页，共五十一页，2022年，8月28日§1.1刚体的角位置与角速度描述方法三定点转动刚体角位置的方向余弦描述采用三个正交向量作为刚体坐标系，其方向余弦表示为：确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个3×3的矩阵），可以确定刚体的角位置。2022/12/175第五页，共五十一页，2022年，8月28日三定点转动刚体角位置的方向余弦描述对于刚体的一个角位置，有唯一的一个方向余弦矩阵，反之亦然。

§1.1刚体的角位置与角速度描述方法2022/12/176第六页，共五十一页，2022年，8月28日方向余弦矩阵的应用：坐标变换基本公式讨论：2022/12/177第七页，共五十一页，2022年，8月28日讨论：方向余弦矩阵的性质（1）两个方向余弦矩阵互为转置矩阵

（2）两个方向余弦矩阵互为逆矩阵

（3）方向余弦矩阵是正交矩阵

约束方程2022/12/178第八页，共五十一页，2022年，8月28日方向余弦矩阵的约束方程讨论：2022/12/179第九页，共五十一页，2022年，8月28日四定点转动刚体角位置的欧拉角描述§1.1刚体的角位置与角速度描述方法选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。依次的三次转动，转动轴的选取产生两类欧拉角。2022/12/1710第十页，共五十一页，2022年，8月28日第一类欧拉角(转动顺序为：Z-X-Z)四定点转动刚体角位置的欧拉角描述2022/12/1711第十一页，共五十一页，2022年，8月28日第一类欧拉角的线性化四定点转动刚体角位置的欧拉角描述2022/12/1712第十二页，共五十一页，2022年，8月28日第二类欧拉角（转动顺序为：X-Y-Z）四定点转动刚体角位置的欧拉角描述2022/12/1713第十三页，共五十一页，2022年，8月28日第二类欧拉角的线性化四定点转动刚体角位置的欧拉角描述2022/12/1714第十四页，共五十一页，2022年，8月28日五定点转动刚体角速度的欧拉角描述§1.1刚体的角位置与角速度描述方法2022/12/1715第十五页，共五十一页，2022年，8月28日为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出刚体转动角速度在中间坐标系中的投影：

2022/12/1716第十六页，共五十一页，2022年，8月28日§1.1刚体的角位置与角速度描述方法五定点转动刚体角速度的欧拉角描述2022/12/1717第十七页，共五十一页，2022年，8月28日自学内容：方向余弦矩阵的导数2022/12/1718第十八页，共五十一页，2022年，8月28日§1.2常用参考坐标系一惯性坐标系1.日心惯性坐标系2.地心惯性坐标系

日心坐标系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定的恒星。地心坐标系的原点设在地球中心处，x和y轴位于地球赤道平面并分别指向确定的恒星，z轴与地球自转轴（地球极轴）重合，并指向北极星。2022/12/1719第十九页，共五十一页，2022年，8月28日§1.2常用参考坐标系二地球坐标系及其旋转角速度坐标系原点设在地球中心,三根轴与地球相固结。

2022/12/1720第二十页，共五十一页，2022年，8月28日§1.2常用参考坐标系三地理坐标系1.地固地理坐标系

坐标系的原点选在地球上任一点，三根轴与地球固结。2022/12/1721第二十一页，共五十一页，2022年，8月28日§1.2常用参考坐标系三地理坐标系2.当地地理坐标系

原点设在沿地球表面运动的物体上，三根轴和地固地理坐标系的指向相同，不与地球固结。随载体线运动而运动。KVNE2022/12/1722第二十二页，共五十一页，2022年，8月28日§1.2常用参考坐标系三地理坐标系2.当地地理坐标系

2022/12/1723第二十三页，共五十一页，2022年，8月28日§1.2常用参考坐标系四地平坐标系原点设在运载体质心，y轴水平并沿载体运动方向，z轴铅直向上。

2022/12/1724第二十四页，共五十一页，2022年，8月28日§1.2常用参考坐标系五载体坐标系坐标原点设在载体质心，三个坐标轴与载体相固结。xyzxyz2022/12/1725第二十五页，共五十一页，2022年，8月28日§1.2常用参考坐标系六陀螺坐标系xyz

O2022/12/1726第二十六页，共五十一页，2022年，8月28日哥氏定理描述的是一般的空间自由质点相对于不同参考系的速度和加速度。

§1.3刚体定点转动的一般原理一哥氏定理与哥氏加速度两个参考系之间存在相对转动时，质点的速度和加速度与两坐标系相对静止时有所差别。2022/12/1727第二十七页，共五十一页，2022年，8月28日两个参考系之间相对静止时，质点的速度和加速度没有差别n系b系一哥氏定理与哥氏加速度2022/12/1728第二十八页，共五十一页，2022年，8月28日两个参考系之间相对转动时大小变化b系的方位变化一哥氏定理与哥氏加速度2022/12/1729第二十九页，共五十一页，2022年，8月28日两个参考系之间相对转动时于是：一哥氏定理与哥氏加速度2022/12/1730第三十页，共五十一页，2022年，8月28日哥氏定理的向量表示

哥氏定理说明：同一个向量相对两个不同参考坐标系对时间取导数之间的关系，只有在两个参考系之间无相对转动时，二者才相等。有时称左边为绝对导数，右边第一项为相对导数。

一哥氏定理与哥氏加速度2022/12/1731第三十一页，共五十一页，2022年，8月28日由哥氏定理可得到速度合成公式质点相对于参考系的速度。坐标系b相对于参考系的速度质点相对于坐标系b的速度附加速度牵连速度一哥氏定理与哥氏加速度2022/12/1732第三十二页，共五十一页，2022年，8月28日对速度合成公式再取一次时间导数，可得到加速度之间的向量合成关系：

一哥氏定理与哥氏加速度2022/12/1733第三十三页，共五十一页，2022年，8月28日一哥氏定理与哥氏加速度动点在参考坐标系中的视加速度

动点在动坐标系中的相对加速度

动点的哥氏加速度

2022/12/1734第三十四页，共五十一页，2022年，8月28日一哥氏定理与哥氏加速度动点的向心加速度

动点的欧拉加速度

牵连加速度

动点的爱因斯坦加速度2022/12/1735第三十五页，共五十一页，2022年，8月28日讨论：用哥氏定理研究近地表面运动物体

e

系：地球坐标系（b

）i系地心惯性系（n）2022/12/1736第三十六页，共五十一页，2022年，8月28日讨论：用哥氏定理研究近地表面运动物体

e

系：地球坐标系i系地心惯性系2022/12/1737第三十七页，共五十一页，2022年，8月28日二非惯性系中的牛顿定律惯性系中的牛顿第二定律：

根据哥氏定理：

：牵连惯性力

：哥氏惯性力

：相对惯性力

2022/12/1738第三十八页，共五十一页，2022年，8月28日二非惯性系中的牛顿定律达朗贝尔原理的一般形式

2022/12/1739第三十九页，共五十一页，2022年，8月28日三转动惯量、惯量椭球与惯性主轴（自学）刚体对任意轴转动惯量的表达式

刚体对任意轴的转动惯量在直角坐标系中的表达式

2022/12/1740第四十页，共五十一页，2022年，8月28日讨论：转动惯量的求解

求下图装置对不同坐标系的转动惯量2022/12/1741第四十一页，共五十一页，2022年，8月28日求圆环与匀质圆盘的转动惯量圆环匀质圆盘2022/12/1742第四十二页，共五十一页，2022年，8月28日惯量椭球三转动惯量、惯量椭球与惯性主轴

过坐标原点到椭球面上的任意点的距离，反映了刚体对该任意轴的转动惯量。该椭球可用来描述刚体对所有过原点的轴的转动惯量的情况，称之为刚体的惯量椭球或惯性椭球。

2022/12/1743第四十三页，共五十一页，2022年，8月28日

惯性主轴三转动惯量、惯量椭球与惯性主轴如果刚体对某根轴的惯量积为零，则称该轴为刚体的惯性主轴，对于惯量椭球的三根对称轴，刚体的惯量积是为零，所以这三根对称轴是刚体的惯性主轴。

2022/12/1744第四十四页，共五十一页，2022年，8月28日定点转动刚体的惯量矩阵

三转动惯量、惯量椭球与惯性主轴2022/12/1745第四十五页，共五十一页，2022年，8月28日四角动量、角动量定理与欧拉动力学方程质点的角动量及角动量定理

2022/12/1746第四十六页，共五十一页，2022年，8月28日定点转动刚体的角动量

四角动量、角动量定理与欧拉动力学方程2022/12/1747第四十七页，共五十一页，2022年，8月28日四角动量、角动量定理与欧拉动力学方程惯性主轴定点转动刚体的角动量

2022/12/1748第