2023学年长春市第八十七中学高三一诊考试数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则（）A． B． C． D．2．已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．3．已知函数，若所有点，所构成的平面区域面积为，则（）A． B． C．1 D．4．已知函数，则（）A． B．1 C．-1 D．05．复数（）A． B． C．0 D．6．已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，给出下列四个命题:①;②直线与直线所成角为;③过，，三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;④三棱锥的体积为.其中，正确命题的个数为（）A． B． C． D．7．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为()A．1 B．2C．3 D．48．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（）A．[0，） B．（﹣∞，0）∪[，+∞）C．（0，） D．（﹣∞，0]∪[，+∞）9．复数的共轭复数为（）A． B． C． D．10．若集合，则=（）A． B． C． D．11．的内角的对边分别为，若，则内角（）A． B． C． D．12．已知函数满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，利用等体积法进行推导，在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是______14．如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理，在线段之间有一观察站点，到直线，的距离分别为8百米、1百米，则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米.15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.16．在四棱锥中，是边长为的正三角形，为矩形，，.若四棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程；（2）点是曲线上的一点，试判断点与曲线的位置关系．18．（12分）设函数.（1）若，时，在上单调递减，求的取值范围；（2）若，，，求证：当时，．19．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.20．（12分）为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表.（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的概率：（2）从参加公益劳动时间的学生中抽取3人进行面谈，记为抽到高中的人数，求的分布列；（3）当时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长.（直接写出结果）21．（12分）已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。22．（10分）已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的值.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【答案解析】试题分析：，．故C正确．考点：复合函数求值．2．D【答案解析】

将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根，先求导，可判断时，，是增函数；当时，，是减函数.因此，再令，求导得，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点，使得在有解，通过导数可判断当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；则应满足，再结合，构造函数，求导即可求解；【题目详解】函数在内都有两个不同的零点，等价于方程在内都有两个不同的根.，所以当时，，是增函数；当时，，是减函数.因此.设，，若在无解，则在上是单调函数，不合题意；所以在有解，且易知只能有一个解.设其解为，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.因为，方程在内有两个不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因为，所以，代入，得.设，，所以在上是增函数，而，由可得，得.由在上是增函数，得.综上所述，故选：D.【答案点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题3．D【答案解析】

依题意，可得，在上单调递增，于是可得在上的值域为，继而可得，解之即可.【题目详解】解：，因为，，所以，在上单调递增，则在上的值域为，因为所有点所构成的平面区域面积为，所以，解得，故选：D.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到是关键，考查运算能力，属于中档题．4．A【答案解析】

由函数，求得，进而求得的值，得到答案.【题目详解】由题意函数，则，所以，故选A.【答案点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．C【答案解析】略6．C【答案解析】

画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可．【题目详解】如图；连接相关点的线段，为的中点，连接，因为是中点，可知，，可知平面，即可证明，所以①正确；直线与直线所成角就是直线与直线所成角为；正确；过，，三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形．所以③不正确；如图：三棱锥的体积为：由条件易知F是GM中点，所以,而，．所以三棱锥的体积为，④正确；故选：．【答案点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．7．D【答案解析】可以是共4个，选D.8．D【答案解析】

求函数的值域得集合，求定义域得集合，根据交集和补集的定义写出运算结果.【题目详解】集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，），∴A∩B＝（0，），∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）.故选：D.【答案点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.9．D【答案解析】

直接相乘，得，由共轭复数的性质即可得结果【题目详解】∵∴其共轭复数为.故选：D【答案点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.10．C【答案解析】

求出集合，然后与集合取交集即可．【题目详解】由题意，，，则，故答案为C.【答案点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．11．C【答案解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．【题目详解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故选：C．【答案点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．12．B【答案解析】

构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【题目详解】设,则函数的导数,，，即函数为减函数,,，则不等式等价为，则不等式的解集为,即的解为，，由得或，解得或,故不等式的解集为.故选:.【答案点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案解析】

计算正四面体的高，并计算该正四面体的体积，利用等体积法，可得结果.【题目详解】作平面，为的重心如图则，所以设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为则故答案为：【答案点睛】本题考查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题.14．【答案解析】

建系，将直线用方程表示出来，再用参数表示出线段的长度，最后利用导数来求函数最小值.【题目详解】以为原点，所在直线分别作为轴，建立平面直角坐标系，则.设直线，即，则，所以，所以，，则，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，最短，此时.故答案为：【答案点睛】本题考查导数的实际应用，属于中档题.15．【答案解析】

观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。【题目详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。∴从8个卦中任取2卦，共有种可能，两卦中共2阳4阴的情况有，所求概率为。故答案为：。【答案点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。16．【答案解析】

做中点，的中点，连接，由已知条件可求出，运用余弦定理可求，从而在平面中建立坐标系，则以及的外接圆圆心为和长方形的外接圆圆心为在该平面坐标系的坐标可求，通过球心满足，即可求出的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积.【题目详解】解：如图做中点，的中点，连接，由题意知，则设的外接圆圆心为，则在直线上且设长方形的外接圆圆心为，则在上且.设外接球的球心为在中，由余弦定理可知，.在平面中，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，如图建立坐标系，由题意知，在平面中且设，则，因为，所以解得.则所以球的表面积为.故答案为:.【答案点睛】本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）点在曲线外．【答案解析】

（1）先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；（2）由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系.【题目详解】（1）由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即（2）由题,点是曲线上的一点,因为,所以,即,所以点在曲线外.【答案点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.18．（1）（2）见解析【答案解析】

(1)在上单调递减等价于在恒成立，分离参数即可解决.(2)先对求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.【题目详解】（1），时，，，∵在上单调递减．∴，．令，，时，；时，，∴在上为减函数，在上为增函数．∴，∴．∴的取值范围为．（2）若，，时，，，令，显然在上为增函数．又，，∴有唯一零点．且，时，，；时，，，∴在上为增函数，在上为减函数．∴．又，∴，，．∴．，．∴当时，．【答案点睛】此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.19．（1）（2）点在以为直径的圆上【答案解析】

（1）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设点，，则，，求出直线的方程，进而求出点的坐标，再利用中点坐标公式得到点的坐标，下面结合点在椭圆上证出，所以点在以为直径的圆上．【题目详解】（1）由题意可知，，解得，椭圆的标准方程为：.（2）设点，，则，，直线的斜率为，直线的方程为：，令得，，点的坐标为，，点的坐标为，，，，又点，在椭圆上，，，，点在以为直径的圆上．【答案点睛】本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题．20．（1）（2）详见解析（3）初中生平均参加公益劳动时间较长【答案解析】

（1）由图表直接利用随机事件的概率公式求解；（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.由古典概型概率公式求概率，则分布列可求；（3）由图表直接判断结果.【题目详解】（1）100名学生中共有男生48名，其中共有20人参加公益劳动时间在，设男生中随机抽取一人，