小学数学应用题类型及解题方法

小学数学应用题类型及解题方法小学数学应用题类型及解题方法小学数学应用题类型及解题方法资料仅供参考文件编号：2022年4月小学数学应用题类型及解题方法版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：小学数学应用题类型及解题方法小学数学应用题类型及解题方法

一和差问题：已知两个数的和与差，求这两个数的应用题，叫做和差问题。一般关系式有：

（和－差）÷2＝较小数（和＋差）÷2＝较大数

例：甲乙两数的和是24，甲数比乙数少4，求甲乙两数各是多少？

（24＋4）÷2＝28÷2＝14乙数（24－4）÷2＝20÷2＝10甲数

答：甲数是10，乙数是14

二差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题，叫做差倍问题。基本关系式是：两数差÷倍数差＝较小数

例：有两堆煤，第二堆比第一堆多40吨，如果从第二堆中拿出5吨煤给第一堆，这时第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。原来两堆煤各有多少吨？

分析：原来第二堆煤比第一堆多40吨，给了第一堆5吨后，第二堆煤比第一堆就只多40－5×2吨，由基本关系式列式是：

（40－5×2）÷（3－1）－5＝（40－10）÷2－5＝30÷2－5＝15－5＝10（吨）第一堆煤的重量10+40＝50（吨）→第二堆煤的重量答：第一堆煤有10吨，第二堆煤有50吨。

三还原问题：已知一个数经过某些变化后的结果，要求原来的未知数的问题，一般叫做还原问题。

还原问题是逆解应用题。一般根据加、减法，乘、除法的互逆运算的关系。由题目所叙述的的顺序，倒过来逆顺序的思考，从最后一个已知条件出发，逆推而上，求得结果。

例：仓库里有一些大米，第一天售出的重量比总数的一半少12吨。第二天售出的重量，比剩下的一半少12吨，结果还剩下19吨，这个仓库原来有大米多少吨？

分析：如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是19＋12吨。第一天售出以后，剩下的吨数是（19＋12）×2吨。以下类推。

列式：[（19＋12）×2－12]×2＝[31×2-12]×2

＝[62-12]×2

＝50×2＝100（吨）答：这个仓库原来有大米100吨。

四置换问题：题中有二个未知数，常常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算。其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整，从而求出结果。

例：一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？

分析：先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是20×100＝2000（分），比原来的总值多2000－1880＝120（分）。而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张多算20－10＝10（分），如此可以求出10分一张的有多少张。

列式：（2000－1880）÷（20－10）

＝120÷10＝12（张）→10分一张的张数

100－12＝88（张）→20分一张的张数或是先求出20分一张的张数，再求出10分一张的张数，方法同上，注意总值比原来的总值少。

五盈亏问题（盈不足问题）：题目中往往有两种分配方案，每种分配方案的结果会出现多（盈）或少（亏）的情况，通常把这类问题，叫做盈亏问题（也叫做盈不足问题）。

解答这类问题时，应该先将两种分配方案进行比较，求出由于每份数的变化所引起的余数的变化，从中求出参加分配的总份数，然后根据题意，求出被分配物品的数量。其计算方法是：

当一次有余数，另一次不足时：每份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

当两次都有余数时：总份数＝（较大余数－较小数）÷两次每份数的差

当两次都不足时：总份数＝（较大不足数－较小不足数）÷两次每份数的差

例1、解放军某部的一个班，参加植树造林活动。如果每人栽5棵树苗，还剩下14棵树苗；如果每人栽7棵，就差4棵树苗。求这个班有多少人？一共有多少棵树苗

分析：由条件可知，这道题属第一种情况。

列式：（14＋4）÷（7－5）＝18÷2＝9（人）

5×9＋14＝45＋14＝59（棵）

或：7×9－4

＝63－4＝59（棵）

答：这个班有9人，一共有树苗59棵。

六年龄问题：年龄问题的主要特点是两人的年龄差不变，而倍数差却发生变化。常用的计算公式是：

成倍时小的年龄＝大小年龄之差÷（倍数－1）

几年前的年龄＝小的现年－成倍数时小的年龄

几年后的年龄＝成倍时小的年龄－小的现在年龄

例父亲今年54岁，儿子今年12岁。几年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍

（54－12）÷（4－1）＝42÷3＝14（岁）→儿子几年后的年龄

14－12＝2（年）→2年后

答：2年后父亲的年龄是儿子的4倍。

例2、父亲今年的年龄是54岁，儿子今年有12岁。几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍

（54－12）÷（7－1）＝42÷6＝7（岁）儿子几年前年龄12－7＝5（年）5年前

答：5年前父亲的年龄是儿子的7倍。

例3、王刚父母今年的年龄和是148岁，父亲年龄的3倍与母亲年龄的差比年龄和多4岁。王刚父母亲今年的年龄各是多少岁

（148×2＋4）÷（3＋1）＝300÷4

＝75（岁）→父亲的年龄

148－75＝73（岁）或：（148＋2）÷2＝150÷2＝75（岁）75－2＝73（岁）

答：王刚的父亲今年75岁，母亲今年73岁。

七鸡兔问题：已知鸡兔的总只数和总足数，求鸡兔各有多少只的一类应用题，叫做鸡兔问题，也叫“龟鹤问题”、“置换问题”。

一般先假设都是鸡（或兔），然后以兔（或鸡）置换鸡（或兔）。常用的基本公式有：（总足数－鸡足数×总只数）÷每只鸡兔足数的差＝兔数兔子只数=(总腿数－总头数×2)÷2鸡的只数=(总头数×4－总腿数)÷2

（兔足数×总只数－总足数）÷每只鸡兔足数的差＝鸡数

例：鸡兔同笼共有24只。有64条腿。求笼中的鸡和兔各有多少只？

（64－2×24）÷（4－2）＝（64－48）÷（4－2）＝16÷2＝8（只）→兔的只数

24－8＝16（只）→鸡的只数

答：笼中的兔有8只，鸡有16只。

八牛吃草问题（船漏水问题）：若干头牛在一片有限范围内的草地上吃草。牛一边吃草，草地上一边长草。当增加（或减少）牛的数量时，这片草地上的草经过多少时间就刚好吃完呢

例1、一片草地，可供15头牛吃10天，而供25头牛吃，可吃5天。如果青草每天生长速度一样，那么这片草地若供10头牛吃，可以吃几天

分析：一般把1头牛每天的吃草量看作每份数，那么15头牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加上这片草地10天长出草，以下类推……其中可以发现25头牛5天的吃草量比15头牛10天的吃草量要少。原因是因为其一，用的时间少；其二，对应的长出来的草也少。这个差就是这片草地5天长出来的草。每天长出来的草可供5头牛吃一天。如此当供10牛吃时，拿出5头牛专门吃每天长出来的草，余下的牛吃草地上原有的草。

（15×10－25×5）÷（10－5）＝（150－125）÷（10－5）＝25÷5＝5（头）→可供5头牛吃一天。

150－10×5＝150－50＝100（头）草地上原有草供100头牛吃一天

100÷（10－5）＝100÷5＝20（天）答：若供10头牛吃，可以吃20天。

例2、一口井匀速往上涌水，用4部抽水机100分钟可以抽干；若用6部同样的抽水机则50分钟可以抽干。现在用7部同样的抽水机，多少分钟可以抽干这口井里的水

（100×4－50×6）÷（100－50）＝（400－300）÷（100－50）＝100÷50＝2

400－100×2＝400－200＝200

200÷（7－2）＝200÷5＝40（分）

答：用7部同样的抽水机，40分钟可以抽干这口井里的水。

九公约数、公倍数问题：运用最大公约数或最小公倍数解答应用题，叫做公约数、公倍数问题。

例1：一块长方体木料，长2．5米，宽1．75米，厚0．75米。如果把这块木料锯成同样大小的正方体木块，不准有剩余，而且每块的体积尽可能的大，那么，正方体木块的棱长是多少共锯了多少块

分析：2．5＝250厘米1．75＝175厘米0．75＝75厘米

其中250、175、75的最大公约数是25，所以正方体的棱长是25CM

（250÷25）×（175÷25）×（75÷25）＝10×7×3＝210（块）

答：正方体的棱长是25厘米，共锯了210块。

例2、两啮合齿轮，一个有24个齿，另一个有40个齿，求某一对齿从第一次接触到第二次接触，每个齿轮至少要转多少周？

分析：因为24和40的最小公倍数是120，也就是两个齿轮都转120个齿时，第一次接触的一对齿，刚好第二次接触。120÷24＝5（周）120÷40＝3（周）

答：每个齿轮分别要转5周、3周。

十分数应用题：指用分数计算来解答的应用题，叫做分数应用题，也叫分数问题。

分数应用题一般分为三类：1．求一个数是另一个数的几分之几。

2．求一个数的几分之几是多少。3．已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

其中每一类别又分为二种，其一：一般分数应用题；其二：较复杂的分数应用题。

例1：育才小学有学生1000人，其中三好学生250人。三好学生占全校学生的几分之几

例2：一堆煤有180吨，运走了3/5。运走了多少吨

例3：某农机厂去年生产农机1800台，今年计划比去年增加1/3。今年计划生产多少台1800×（1＋1/3）＝1800×4/3＝2400（台）

答：今年计划生产2400台。

例4：修一条长2400米的公路，第一天修完全长的1/3，第二天修完余下的1/4。还剩下多少米？

2400×（1－1/3）×（1－1/4）＝2400×2/3×3/4＝1200（米）

答：还剩下1200米。

例5：一个学校有三好学生168人，占全校学生人数的4/7。全校有学生多少人

例6：甲库存粮120吨，比乙库的存粮少1/3。乙库存粮多少吨

120÷（1-1/3）＝120×3/2＝180（吨）答：乙库存粮180吨。

例7：一堆煤，第一次运走全部的1/2，第二次运走全部的1/3，第二次比第一次少运8吨。这堆煤原有多少吨8÷（1/2－1/3）＝8÷1/6＝48（吨）

答：这堆煤原有48吨。

十一工程问题：它是分数应用题的一个特例。是已知工作量、工作时间和工作效率，三个量中的两个求第三个量的问题。

解答工程问题时，一般要把全部工程看作“1”，然后根据下面的数量关系进行解答：工作效率×工作时间＝工作量

工作量÷工作时间＝工作效率

工作量÷工作效率＝工作时间?

例1：一项工程，甲队单独做需要18天，乙队单独做需要24天。如果两队合作8天后，余下的工程由甲队单独做，还要几天完成

例2：一个水池，装有甲、乙两个进水管，一个出水管。单开甲管2小时可以注满；单开乙管3小时可以注满；单开出水管6小时可以放完。现在三管在池空时齐开，多少小时可以把水池注满

百分数应用题：这类应用题与分数应用题的解答方式大致相同，仅求“率”时，表达方式不同，意义不同。

十二、过桥问题，从车头上桥，到车尾离开桥，求所用的时间。

路程=桥长+列车长度。

十三、流水问题，求船在流水中航行的时间。

船速+水速=顺流速度，船速-水速=逆流速度。

十四、线上植树问题，求植树的株数。

在封闭的线上植树。路长=株距×株数株距=路长÷株数株数=路长÷株距。

在不封闭的线上植树，两端都植树。

路长=株距×（株数-1）株距=路长÷（株数-1）株数=路长÷株距+1。

十五、面上植树问题，求植树的株数。

当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时。

行距×株距=每株植物的占地面积，土地面积÷每株植物的占地面积=株数。

当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时。可以按线上植树问题解题。

十六、盈亏问题，求分配的人数。

剩余物品的个数差÷分配方法的个数差=分配的人数。

十七、时钟问题，求时针和分针重合、成直线或直角的时间。

两针重合时间=两针间隔格数÷11/12。

两针成直线时间=（两针间隔格数±30）÷11/12。

两针成直角时间=（两针间隔格数±15或45）÷11/12。

十八、时间差问题，计算几月几日到几月几日的时间差。

先计算首月和尾月，再计算中间几个月。

十九、预测星期几问题，已知今天是星期几，计算经过多少天是星期几。用经过的天数除以7，求出剩余的天数，再计算是星期几。1、求平均数应用题解题方法：

①读题，找出总数量；②找出总份数；③平均数=总数量÷总份数[总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数]

2、分数（百分数）应用题解题方法（三步走）：

①读题，找准题里单位“1”的量；

②确定单位“1”是已知，还是未知。单位“1”已知，用乘法：[单位“1”的量×分率=分率对应量]；单位“1”未知，用除法或方程：[分率对应量（已知数）÷对应分率=单位“1”的量]

③比单位“1”多就用[单位“1”的量+多的]或（1＋﹍），比单位“1”少就用[单位“1”的量-少的]或（1－﹍）。

3、工程问题解题方法：

①读题，根据所求问题找出需要完成的工作量和各自的工作效率；（注意要对应：求谁的时间就去找他需要完成的工作量和他的工作效率）；

②工作时间=工作总量÷工作效率[工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间]

4、相遇问题解题方法：

①读题，从问题入手；②总路程=速度和×相遇时间[相遇时间=总路程÷速度和速度和=总路程÷相遇时间]。

5、按比例分配应用题解题方法：

①读题，找出总数量（各部分的总和）；②根据各部分的比找出总份数；③用总数量乘以各部分占总数的分率。

6、几何形体应用题解题方法：

①读题，看清是什么形体；②分析，是计算它的什么；③该怎样计算（相关计算公式）；④注意单位。

7、列方程解应用题解题方法：

①根据题意，找出未知数并用ｘ表示；②分析题里数量之间的相等关系（找出等量关系）列方程；③解方程；④检验，写出答案。

8、用比例知识解应用题解题方法：

①读题，找准题里一定的量；②判断题里的比例关系（是成正还是反比例）；③列比例（成正比例，比值相等；成反比例，乘积相等）。④解比例。

9、一般应用题（通用）解题方法：

①弄清题意，找出已知条件和所求问题；②分析题里数量之间的关系，确定先算什么、再算什么、最后算什么；

③确定每一步该怎样算；④列出算式，算出得数。分数应用题,先要弄清两个概念：带单位的分数和不带单位的分数。带单位的分数，如3/4吨，叫数量，与我们以前学过的“3吨”、“吨”表示的意义一样，都是表示一个物体的具体的数量。只不过在这里用分数的形式表示出来而已。不带单位的分数，如3/4，叫分率，它表示一个数的几分之几。由于这两种分数表示意义不同，出现在应用题中，它们的分析思路、解题过程也不同。请仔细看下面的对比例子：例1．（1）一根铁丝长5米，用去了2/5米，还剩下多少米（

2）一根铁丝长5米，用去了2/5，还剩下多少米？解析：（1）剩下的=总长-用去的=

5–2/5=4又3/5米（2）用去的：5×2/5=2米；剩下

5-2=3米例2．（1）一根铁丝，用去了2/5米，还剩下3米，这根铁丝多长（

2）一根铁丝，用去了2/5，还剩下3米，这根铁丝多长

解析：（1）总长=用去的+剩下的=2/5+3=3又2/5米

（2）3÷（1–2/5）=3÷3/5=5米由此可见，大家在做分数应用题时，一定要看清楚题中的分数是哪类分数。

题中没有不带单位的分数。解题思路：这类分数应用题与三、四、五年级学习的应用题，在解题思路和解题方法上是一样的，只不过题中的数量不是整数、也不是小数，而是分数。当在做这类分数应用题出现障碍时，可把题中的分数换成整数来看例一辆汽车1/3小时行驶20千米，照这样的速度，3/4小时能行驶多少千米？

解析：这是一道简单的行程问题，从“一辆汽车1/3小时行驶20千米”这句话，我们可以求出速度，速度=路程÷时间=20÷1/3=60（千米/小时）；题目求的是“3/4小时能行驶多少千米”，求路程=速度×时间=60×3/4=45千米

二、题中有不带单位的分数（即题中有分率）

解题思路：四步法第一步：确定单位“1”找单位“1”的方法：找到题中不带单位的分数的那句话，“谁”的几分之几，那个“谁”就是单位“1”；如果这句话中含有“比”字，“比”后面的那个量就是单位“1”。例如：全长的1/3，“全长”就是单位“1”；第一天比第二天多生产2/7，含有“比”字，“比”后面的量是第二天，那么，“第二天”就是单位“1”第二步：确定乘除法(1)题中直接或间接告诉单位“1”的或可直接算出单位“1”的，用乘法（2）题中单位“1”是未知的，用除法第三步：列式（1）如果是乘法：单位“1”×分率

分率指的是谁，求出来的就是谁(2)如果是除法：带单位的数量÷不带单位的分率=单位“1”。带单位的数量一定要与不带单位的分率相对应，才能除，所谓相对应的意思，就是说，带单位的数量和不带单位的分率所指的是同一事物，在线段图上，是指同一段。注意：这一步是最难最容易出错的地方，很容易犯这样的错误：拿到数字乱除或看到这么多数字，不知道哪个除以哪个，除完以后也不知道求出来的是谁，一定要从思维上把握准。分数应用题最难、变化最多的地方也就是在这。

第四步：检查检查上一步列式算出来的结果是不是题目最后要求的，还有没有步骤。下面是乘除法的对比例子，

例1．（1）某车间加工一批零件，共240个，已经加工了5/8，还多少个零件没有加工(2)某车间加工一批零件，已经加工了5/8，正好是240个，这批零件共多少个解析：

（1）第一步：确定单位“1”：5/8是指总共的5/8，所以总共的零件个数是单位“1”第二步：确定乘除法：题目告诉了零件的总个数是240个，知道单位“1”的，用乘法第三步：列式：单位“1”×分率

240×5/8=150（个），第四步：检查：由于分率5/8是已经加工的，所以150个是指已经加工了的零件个数，而题目求的是还有多少个零件没加工，还应有一步骤，没加工的=总共的-已加工的=240-150=90个240

（2）第一步：确定单位“1”：分率5/8是指总数的5/8，所以，总共的零件个数是单位“1”第二步：确定乘除法：题目求的就是总零件个数，单位“1”是未知的，用除法第三步：列式：带单位的数量÷分率。题中带单位的数量只有一个：240个，它是已经加工了的个数，而分率5/8也是指已加工的，两者同指一个事物，可以相除。240÷5/8=384第四步：检查：由于带单位的数量÷分率=单位“1”，384就是总零件的个数，这正是题目最后要求的，所以做完了。

例2．（1）某校去年有88个班，今年的班级数比去年增加3/8，今年多少个班级(2)某校去年有88个班，比今年的班级数增加了3/8，今年多少个班级解析：(1)在有分率3/8这句话中有“比”字，“比”后面的量是去年的班级数，它就是单位“1”，而题目告诉了去年的班级数，知道单位“1”用乘法，单位“1”×分率。去年是单位“1”今年比去年多3/8，所以今年的分率是1+3/8=11/8，所以求出来的就是今年的班级数。88×（1+3/8）=88×11/8=121（个）(2)单位“1”是今年的班级数，用除法，88÷分率，由于88是指去年的班级数，除以的分率也应是表示去年班级数的分率。3/8是指去年比今年多的分率，今年的班级数是单位“1”，那么去年的班级数应是1+3/8；这时可以除了88÷（1+3/8）=单位“1”，即今年的班级数

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例3．一部长篇小说分上、下两册，上册页数的4/5等于下册页数的2/3，上册有295页，下册有多少页？

解析：题中有两个不带单位的分率：4/5和2/3，分别找出它们的单位“1”，上册页数的4/5，说明上册页数是单位“1”，是295页，用乘法，295×4/5=236（页），求出来的是上册4/5的页数；

下册页数的2/3，说明它的单位“1”是下册的页数，而下册的页数是题目求的，是未知的，所以用除法。由于下册的2/3就是236，所以只能用236去除，而不是295去除。295×4/5=236（页）

236

用“四步法”这种解题思维，可以解决简单的分数应用题，但对于复杂的分数应用题，我们还需要借助一定的方法。下面就介绍在复杂分数应用题中一些常见的解题方法

（一）画图法：通过画线段图来找出哪个带单位的数量与哪个不带单位的分率是对应的。例：一桶油，第一次用去1/5，第二次比第一次多用去20千克，还剩下16千克，这桶油有多少千克？

解析：按“四步法”，我们可以找出单位“1”是这桶油，是未知的，用除法。题目中有两个带单位的量：20千克和16千克，如果列式应该至少有四种可能：20÷，16÷，（20+16）÷，（20-16）÷，倒底是哪种或是还有别的，最关键的要找到对应的分率。1/5只是第一次的，第二次的分率呢剩下的分率呢由题可知，第二次比第一次多用去20千克，那么第二次肯定也用了1/5，还比1/5多20千克，所以，第二次用去了总数的1/5还多20千克。由于我们从图上根本找不出20千克这段的分率，所以也找不出剩下16千克所对应的分率，不能用20或16去除哪个分率。从图中我们很容易能找出（20+16）千克这段的分率是3/5，相对应，可以除了。相除的结果就是单位“1

（20+16）÷（1-1/5–1/5）=36÷3/5=60（千克）

小结：由这题我们可以知道，对于一些图复杂的分数应用题，特别是让你无从下手时，正确的思路会引导你从哪开始思考，接着往下怎么走，直到最后。这也是我们一直强调学习数学要重视思维的原因。在比较复杂的分数应用题中，除了画图法外，还有以下几种解题方法

（一）对应法

对应法的核心思维是：不仅数字可以列竖式进行加减，算式也可以列竖式加减

例：学校安排一批学生到图书馆借书，如果男生增加1/5，人数将达到52人，如果女生减少1/5，人数是42人。这批学生原有多少人

解析：根据题意，我们可以找出下面两个数量关系式：男生人数+1/5的男生人数+女生人数=52

男生人数+女生人数-1/5的女生人数=42这两个式子对应相减（竖式相减），得：

1/5的男生人数+1/5的女生人数=10（二）转化法

当题中出现多个单位“1”时，我们可以把不同的单位“1”转化成统一的单位“1”

例：小明、小英、小丽和小华四人爱好集邮，小明的邮票数是小英的1/2，小英的邮票数是小丽的1/3，小丽的邮票数是小华的1/4，已知四人共集邮132张，小明集邮多少张

解析：按照“四步法”，题中有三个不带单位的分率，它们的单位“1”分别是小英、小丽和小华；肯定用除法；题中只有一个带单位的数量：132张，列式一定是用132去除；132是指四人集邮总数，应除以四人的分率总和，题目最关键就是要把四人的分率表示出来，由于存在不同的单位“1”，首先必须把不同的单位“1”统一成一个单位“1”。有正确的思路，才知道该做什么。把题中三个单位“1”，统一转化成以小华的集邮数做单位“1”。小华是单位“1”，根据“小丽的邮票数是小华的1/4”，小丽就是1/4；根据“小英的邮票数是小丽的1/3”，小英就是：1/3×1/4=1/12；根据“小明的邮票数是小英的1/2”，小明就是：1/2×1/12=1/24，现在四人的分率都表示出来了，可以除了。

132÷（1+1/4+1/12+1/24）

=132÷11/8

=96（张）算出来的是单位“1”：小华的邮票张数，小明的张数是：96×1/24=4（张）思考：为什么要挑小华的邮票张数做统一的单位“1”，可不可以把三个单位“1”都统一成小英的邮票总数或小丽的邮票总数？去试试！

（三）假设法例：某修路队三天修完一条路，第一天修了全长的1/3多150米，第二天修了全长的2/5少100米，第三天修了1950米，这条路全长多少？解析：按“四步法”，单位“1”是全长，用除法，题中带单位的数量有三个：150米、100米和1950米，到底用哪个去除，关键是要找到它们对应的分率。除了画图法，我们还可以通过假设法来找相对应的分率。假设第一天只修了全长的1/3，没有多修150米；假设第二天修了全长的2/5，没有少修100米，那么，三天要修完全长，第三天必须要修（1950+150-100）（四）把分数看成比的方法

分数可以转化成比，把比当份数，也是一种好的解题方法例学校田径队有35人，其中女生人数是男生人数的3/4，女生人数是多少

解析：“女生人数是男生人数的3/4”转化成比，就是：女生人数和男生人数之比是3：4，女生人数是3份，男生人数是4份，总共7份，总共35人，每份就是35÷7=5人，那么，女生人数就是5×3=15人（五）抓住不变量的方法一些较复杂的分数应用题中，会出现许多数量前后发生变化的。这时的解题思维是：在这些变化中抓住不变的量，将不变的量作为标准，有目的地转化数量关系。来找到解题的线索。不变的量可能是某一部分量不变，也可以是和、差不变，视题目具体情况而定例1某车间的女工人数是男工人数的1/2，若调走21个男工，那么男工人数是女工人数的1/2，这个车间的女工人数是多少

解析：按“四步法”，题中单位“1”有两个：男工人数和女工人数，但男工人数前后发生了变化，“抓住不变量”，由题意可知，女工人数不变，把它作为单位“1”，把“女工人数是男工人数的1/2”转化成“男工人数是女工人数的2倍”，这时两个单位“1”统一了，可以除了。21是指调走的男生，必须找出调走男工人数的分率。原来男工人数的分率是2，现在是1/2，说明调走了（2-1/2）=3/2，21÷3/2=14（人），就是单位“1”女工的人数

例2．甲乙两个粮仓，原来甲存粮吨数是乙的5/7，如果从乙仓调6吨到甲仓，甲仓粮的吨数是乙仓的4/5，原来甲乙两仓各有粮多少吨

解析：按“四步法”，乙仓是单位“1”，肯定用除法。但乙仓存粮前后发生了变化，“抓住不变量”，两个仓的存粮总和不变，把它当作单位“1”，题中的条件都转化成以总存粮为单位“1”。“原来甲存粮吨数是乙的5/7”，说明原来乙是7份，甲是5份，总共是12份，甲占5/12，乙占7/12；“甲仓粮的吨数是乙仓的4/5”说明调走了后，甲是4份，乙是5份，总共9份，甲占4/9，乙占5/9。题中带单位的数量是6吨，是指乙调走的吨数，乙调走的分率是（7/12–5/9）=1/36相对应，可以除了。6÷1/36=216吨，就是单位“1”总的存粮，

那么，原来甲仓：216×5/12=90吨，乙仓存粮：216×7/12=126

例3．有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。把两根都燃烧掉同样长的部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下长度的3/5，每段燃烧掉了多少厘米？

解析：依“四步法”，单位“1”是长的一根剩下的长度，用除法。由题意可知。这两根蜡烛长度的差没有发生变化。燃烧前与燃烧后两根蜡烛都是相差8-6=2厘米。现在最关键的是要找出2厘米所对应的分率，也就是两根蜡烛燃烧后相差的分率。“短的一根剩下的长度是长的一根剩下长度的3/5”，长的一根剩下的长度为单位“1”，那么短的一根剩下的长度就是3/5，相差1-3/5=2/5，现在可以除了2÷2/5=5厘米，就是单位“1”长的一根剩下的长度，说明燃烧掉了8-5=3厘米

（六）还原法

在三、四、五年级奥数中，都有专门的章节介绍还原法，它最核心的思维是倒推思维

例：3只猴子吃篮子的桃子，第一只猴子吃了1/3，第二只猴子吃了剩下的1/3，第三只猴子吃了第二只猴子剩下的1/4，最后篮子里剩下6只桃子。问原来有多少只桃子？

解析：从最后剩下的6只桃子，进行倒推

6只桃子占第二只猴子吃剩下后桃子数的1-1/4=3/4，6÷3/4=8只，就是第二只猴子吃剩下的桃子数；8只桃子占第一只猴子吃剩下桃子数的1-1/3=2/3，8÷2/3=12只，就是第一只猴子吃剩下的桃子数；12只桃子占篮子桃子数的1-1/3=2/3，12÷2/3=18，就是原有桃子数了

（七）方程法

在解任何应用题时，方程都是一种不能忽视的备用方法

例某校有学生465人，其中女生的2/3比男生4/5少20人，男生有多少人？

解析；设男生为x人，女生就有（465-x）人

从“女生的2/3比男生4/5少20人”找题中的数量关系式：女生×2/3+20=男生×4/5列方程

2/3×（465-x）+20=4/5×x

解得x=225较复杂的分数应用题，题型广博，变化多端。在教学中，我们应适当地教给学生一些解题方法，以拓宽思路，提高解题能力。一、从确定对应入手找出解题方法分数应用题中有一个“量率对应”的明显特点，对一个单位“1”来说，每个分率都对应着一个具体的数量，而每一个具体的数量，也同样对应着一个分率，因此，正确地确定“量率对应”是解题的关键。我们要引导学生学会和掌握“明确对应，找准对应分率”的解题方法。例：小冬看一本故事书，第一天看了总页数的1/6，第二天看了总页数的1/3，还剩78页没有看，这本故事书共有多少页？把这本故事书的总页数看作单位“1”，要求这本故事书共有多少页，就要求出剩下的78页的对应分率。根据已知条件，第一、二天看了总页数的（1/6＋1/3），还剩下78页的对应分率是（1－1/6－1/3），求这本故事书共有多少页，就是已知单位“1”的（1－1/6－1/3）是78页，求单位“1”。于是列式为：78÷（1－1/6－1/3）＝156（页）二、通过统一标准量找出解题方法在一道分数应用题中，如果出现了几个分率，而且这些分率的标准量不同，量的性质相异，在解题时，必须以题中的某一个量为标准量，将其余量的对应分率统一到这个标准量上来，才可列式解答。例：果园里有苹果树和梨树共420棵，苹果树棵数的1/3等于梨树的4/9，问这两种果树各有多少棵？题中的1/3是以苹果树为标准量，4/9是以梨树为标准量，解题时必须统一成一个标准量。若以苹果树为单位“1”，则有1×1/3＝梨树×4/9，那么梨树就相当于单位“1”的1/3÷4/9，两种果树的总棵数就相当于单位“1”的（1＋1/3÷4/9），于是列式为：420÷（1＋1/3÷4/9）＝240（棵）……苹果树240÷（1/3÷4/9）＝180（棵）……梨树也可以把梨树看作单位“1”，或把两种果树的总棵数，或者相差棵数看作单位“1”。三、通过假设推算找出解题方法有些分数应用题，如果按题中所给条件直接去思考，就难以找到解题方法，如果在解题时先假设一个主观上所需要的条件，然后按照题目里的数量关系推算，所得的结果则发生与题目条件不同的矛盾，再进行适当的调整，即可找到正确的答案。例：红花村修一条水渠，第一周修了全长的2/5多10米，第二周修了全长的1/4少5米，还剩下282米没有修。这条水渠长多少米？

假设第一周修的恰好是全长的2/5，这样第一、二周修后剩下的282米中就要增加10米；假设第二周修的恰好是全长的1/4，这样第一、二周修后剩下的282米中又要减少5米，于是条件变为“第一周修了全长的2/5，第二周修了全长的1/4，还剩下（282＋10－5）米没有修。把这条水渠全长看作单位“1”，那么（282＋10－5）米的对应分率就是（1－2/5－1/4）。于是列式为：（282＋10－5）÷（1－2/5－1/4）＝8201（米）四、通过逆推找出解题方法有些分数应用题，如果按从始至终的先后顺序去分析，很难达到解决问题的目的，甚至陷入绝境。不妨“反过来想一想”进行逆推，便容易打开思路，顺利解题。例：有一个油桶里的油，第一次倒出1/3后加入20千克，第二次倒出这时油的1/6多5千克，这时桶里剩下油95千克。问原来桶里有油多少千克？

从最后条件出发思考：95＋5＝100（千克），即为现存油的5/6，故现在桶里有油100÷5/6＝120，再从第一个条件思考，120－20＝100（千克），即为原存油的2/3，因此，原来桶里有油100÷2/3＝150（千克）。综合算式：〔（95＋5）÷（1－1/6）－20〕÷（1－1/3）＝150（千克）五、借助线段图找出解题方法分数应用题的数量关系比较抽象、隐蔽，如果根据题意画出线段图，可使抽象变具体，隐蔽明朗化，从而借助线段图揭示的数量关系可直观地找出解题方法，甚至有的题还可找到简捷的解法。例：甲乙两人共存人民币若干元，其中甲占3/5，若乙给甲60元后，则乙余下的钱占总数的1/4，甲乙两人各存人民币多少元？根据题意画线段图：附图{图}从线段图上一目了然，60元的对应分率是（1－3/5－1/4），于是可求出甲乙两人共存人民币多少元，进而可求出甲乙两人各存人民币多少元。60÷（1－3/5－1/4）＝3200（元）……甲乙两人共存3200×3/5＝1920（元）……甲3200×（1－3/5）＝1280（元）……乙或3200－1920＝1280（元）六、抓住不变量找出解题方法对于标准量不统一的分数应用题，如果我们能从题中找到一个不变量，就以不变量为突破口，便能够很快找到解题方法。例：一个车间有工人360人，其中女工占3/5，后来又招进一批女工，这时女工人数占全车间工人总人数的5/8，又招进女工多少人？从题中可知，女工人数起了变化，引起全车间工人总人数起了变化，但是男工人数始终没有增减，因此，抓住男工人数没有变化这个不变量来分析。当全车间工人为360人时，女工占3/5，则男工占1－3/5＝2/5，为360×2/5＝144（人）。又招进一批女工后，女工人数占这时全车间工人总人数的5/8，则男工人数占这时全车间工人总人数的1－5/8＝3/8，因此，这时全车间有工人144÷3/8＝3849（人）。原来全车间有工人360人，现在增加到384人，增加的原因是由于招进了一批女工，故又招进女工384－360＝24（人）。综合算式：360×（1－3/5）÷（1－5/8）－360＝24（人）七、通过转变换条件找出解题方法有些分数应用题，可以通过改变看问题的角度，将题中某些已知数量转换成与之有关联的另一个数量，使之成为一个较为熟悉的简单的问题，从而找到解题的新方法。例：有两缸金鱼，如果从第一缸取出15尾放入第二缸，这时第二缸内的金鱼正好是第一缸的5/7，已知第二缸内原有金鱼35尾，第一缸内原有金鱼多少尾？这道题可以转化为熟悉的“归一”问题。题中的5/7根据分数的意义，表示把这时第一缸内的金鱼尾数平均分成7份，这时第二缸内金鱼的尾数占其中的5份，这5份共35＋15＝50（尾），则每份是50÷5＝10（尾），因此，这时第一缸内有金鱼10×7＝70（尾），那么第一缸内原有金鱼70＋15＝85（尾）。综合算式：（35＋15）÷5×7＋15＝85（尾）八、列表对应比较找出解题方法有些分数应用题，可以通过列表对应比较已知条件，研究其对应数量间的变化规律，从而可找到解题方法。例：某车间举办技术革新培训班，如果抽去全车间男工人数的1/3和女工人数的1/4后共有90人参加，如果抽去全车间男工人数的1/4和女工人数的1/3后共有85人参加。问这个车间有男工多少人？列表对应比较分析：附图{图}如果都抽去男工人数和女工人数的1/3，那么由（5）式又得：男工人数的1/3＋女工人数的1/3＝300×1/3＝>（男工人数＋女工人数）×1/3＝300×1/3＝100（人）……（6）将（6）式与（2）式比较，男工人数的1/3比1/4多100－85＝15（人），这15人就相当于全车间男工人数的（1/3－1/4），则这个车间有男工15÷（1/3－1/4）＝180（人）以上几种解较复杂分数应用题的方法，并非是绝对孤立的，因此，在教学中，我们要引导学生灵活运用，以形成自己的解题技能技巧。例21下图中圆O的面积和长方形OABC的面积相等。已知圆O的周长是厘米，那么长方形OABC的周长是多少厘米？

分析与解题中告诉我们，圆O的面积和长方形OABC的面积相等。我们知道，圆的面积等于π·r·r，而图中圆O的半径恰好是长方形的宽，因此长方形OABC的长正好是π·r，即圆O的周长的一半。而长方形的周长等于2个长与2个宽的和，也就是圆O的周长与直径的和。长方形OABC的周长是：+÷=+3=（厘米）答：长方形OABC的周长是厘米。例24在面积是40平方厘米的正方形中，有一个最大的圆（如图3）。这个圆的面积是多少平方厘米？

分析与解要求圆的面积，就要先求出圆的半径。题中告诉我们，正方形的面积是40平方厘米，正方形的边长的一半，也就是图中圆的半径。对小学生来讲，从正方形的面积求正方形的边长，还不会直接计算。可以这样思考：把正方形平均分成4份（如图4）。每个小正方形的面积是40÷4=10平方厘米。小正方形的边长恰好是圆的半径，因此圆的半径的平方恰好是10平方厘米。这样就可以求出圆的面积是×10=平方厘米了。答：图中圆面积是平方厘米。例45红花衬衫厂要制做一批衬衫，原计划每天生产400件，60天完成。实际每天生产的件数是原计划每天生产件数的倍。完成这批衬衫的制做任务，实际用了多少天？

分析与解要求完成这批衬衫的制做任务，实际用了多少天，必须知道这批衬衫的总数和实际每天生产的件数。已知原计划每天生产400件，60天完成，就可以求出这批衬衫的总数量；又知道实际每天生产的件数是原计划生产件数的倍，就可以求出实际每天生产的件数。完成这批衬衫的制做任务，实际用的天数是：400×60÷（400×）=24000÷600=40（天）例46东风机器厂原计划每天生产240个零件，18天完成。实际比原计划提前3天完成，实际每天比原计划每天多生产多少个零件？

分析与解要求实际每天比原计划每天多生产多少个零件，得先求出实际每天生产多少个零件，再减去计划每天生产的零件数：240×18÷（18-3）-240=4320÷15-240=288-240=48（个）例47在春光小学“创造杯”展览会上，展品中有36件不是六年级的，有37件不是五年级的，又知道五、六两个年级的展品共有45件。那么，五、六年级的展品各有多少件？

分析与解根据已知，有36件不是六年级的，就是说，1～4年级的展品加上五年级的展品共有36件。有37件不是五年级的，就是说，1～4年级的展品加上六年级的展品共有37件。比较以上两个条件，可以得出，六年级比五年级的展品多37-36=1件。又知道五、六两个年级的展品共有45件，于是求出五年级的展品有（45-1）÷2=44÷2=22（件）六年级的展品有（45+1）÷2=46÷2=23（件）答：五年级的展品有22件，六年级的展品有23件。例48机械厂零件加工组里有1位师傅和6位徒弟，共7人。徒弟每人每天能加工零件50个，师傅每天加工零件的个数比全组7个人每天平均加工的个数多24个。师傅每天加工零件多少个？

分析与解师傅每天加工零件的个数比全组7个人平均每天加工的个数多24个。把这24个平均分给6位徒弟，再加上徒弟每天加工的50个，正好是7个人平均每天加工的个数。这个数再加上24就是师傅每天加工零件的个数。24÷6+50+24=4+50+24=54+24=78（个）答：师傅每天加工零件78个。例49儿童服装厂生产红上衣和黄上衣。每件红上衣需要2个钮扣，每件黄上衣需要4个钮扣。做成的两种颜色的上衣，每30件装成一箱，每箱衣服共需要钮扣72个。每箱中有红上衣和黄上衣各多少件？分析与解已知每件黄上衣要用4个钮扣，每件红上衣要用2个钮扣。如果将黄上衣一分为二，黄上衣就成为“半件黄上衣”了。这时红上衣和“半件黄上衣”都需要2个钮扣。已知每箱中两种颜色的上衣共需要钮扣72个，于是可以求出红上衣和“半件黄上衣”共有72÷2=36（件）。实际每箱中两种颜色的上衣共30件，36件比30件多了6件，说明有6件黄上衣被一分为二了，所以每箱中有6件黄上衣。进而求出每箱中红上衣的件数是30-6=24（件）列式为：72÷2-30=36-30=6（件）30-6=24（件）例50主人的篮子里放着苹果和桃。苹果的个数是桃的3倍。一群顽皮的小猴，趁主人不注意的时候，每只小猴子都拿了8个苹果和3个桃。主人发现时，桃子已被小猴拿光了，还剩下10个苹果。这群顽皮的小猴一共有多少只？

分析与解篮子里的苹果的个数是桃的3倍，每只小猴子拿了3个桃子，而且拿光了，那么要是每只小猴子拿9个苹果，也可以把苹果拿光（因为苹果个数正好是桃个数的3倍）。可是，每只小猴子只拿了8个苹果，结果还剩下10个苹果，这正好说明这群小猴子共有10只。答：这群顽皮的小猴一共有10只。例51光明小学原计划192天烧煤91800千克。如果每天比原计划节约分析与解要求节约出来的煤还可以再烧几天，就必须知道一共节约出来多少煤和节约后每天的烧煤量。一共节约出来多少千克的煤？节约出来的煤还可以再烧多少天？5400÷450=12（天）例55幼儿园小朋友过“六一”儿童节，阿姨给小朋友分苹果，开始每人分3个，结果有15个人只分到2个；后来又买来40个苹果，又分给小朋友，结果正好每个分到4个。幼儿园一共有多少个小朋友？

分析与解题中告诉我们，开始每人分3个，结果有15个小朋友只分到2个，就是说，每人分3个缺少15个苹果。后来又买来40个苹果，又分给小朋友，结果正好每人分到4个。把这40个苹果先拿出15个，分给开始分时每人只分到2个苹果的那些小朋友，这时还剩下25个苹果，每人再分1个，正好是每人分到4个苹果。因此得出，幼儿园共有25个小朋友。（40-15）÷（4-3）=25÷1=25（人）答：幼儿园一共有25个小朋友。例56一个箱子里装满了实心球，连箱子共重12千克。从箱中取出实心球的1/4后，剩下的实心球连箱共重千克。问箱子重多少千克？

分析与解一