第章几类常见的地图投影课件

第四章几类常见的地图投影测绘学院乔俊军制作第四章几类常见的地图投影测绘学院乔俊军制作1第四章几类常见的地图投影§4.1圆锥投影§4.2方位投影§4.3圆柱投影§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影第四章几类常见的地图投影§4.1圆锥投影2§4.1圆锥投影一、圆锥投影的一般公式及其分类二、等角圆锥投影三、等面积圆锥投影四、等距离圆锥投影五、圆锥投影变形分析及应用§4.1圆锥投影一、圆锥投影的一般公式及其分类3一、圆锥投影的一般公式及其分类1、圆锥投影的定义假设一个圆锥面与地球面相切或相割，根据某种条件（等角、等面积、透视等）将地球上的经纬线投影到圆锥面上，然后沿圆锥面的一条母线（经线）切开展平，即得到圆锥投影。§4.1圆锥投影一、圆锥投影的一般公式及其分类§4.1圆锥投影4ConicProjection§4.1圆锥投影ConicProjection§4.1圆锥投影52、圆锥投影的分类（1）按圆锥面与地球面的切割关系分：

切圆锥投影、割圆锥投影（2）按圆锥面和地球面的位置关系分：

正轴圆锥投影、横轴圆锥投影、斜轴圆锥投影（3）按投影的变形性质分：

等角圆锥投影、等积圆锥投影、任意圆锥投影§4.1圆锥投影2、圆锥投影的分类§4.1圆锥投影63、圆锥投影的一般公式以正轴圆锥投影为例纬线投影后为同心圆圆弧，其半径ρ是纬度

的函数，函数形式由投影性质和投影条件决定。经线投影后为相交于一点的直线束，且夹角δ与经差λ成正比。

以某一经线的投影为X轴，以X轴和最南边纬线s的交点为原点，建立平面直角坐标系：§4.1圆锥投影3、圆锥投影的一般公式以某一经线的投7设平面梯形A`B`C`D`是地球面上微分梯形ABCD的投影，根据经纬线长度比定义有：在正轴圆锥投影中，经纬线投影后仍保持互相垂直，所以经纬线方向就是主方向，即§4.1圆锥投影m=a，n=b，根据面积比和角度变形定义有：设平面梯形A`B`C`D`是地球面上微分梯形8现将圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组公式中，由于ρ的函数形式未定，δ函数式中还有待定的圆锥系数α，需要根据投影条件进一步确定。§4.1圆锥投影现将圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组公式中9二、等角圆锥投影（LambertConformalConicProjection）根据等角条件ω=0，即m=n，来确定ρ=f（）的函数形式：§4.1圆锥投影二、等角圆锥投影（LambertConformalCon10§4.1圆锥投影§4.1圆锥投影11现将等角圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组公式中，仍然有常数α和K需要确定，但由于确定的方法比较多，所以各种不同形式的等角圆锥投影也比较多。§4.1圆锥投影现将等角圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组公121、单标准纬线等角圆锥投影设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即n0=1，则§4.1圆锥投影1、单标准纬线等角圆锥投影§4.1圆锥投影132、双标准纬线等角圆锥投影设圆锥面割于地球1、2的两条纬线上，即n1=n2=1。相减得§4.1圆锥投影2、双标准纬线等角圆锥投影相减得§4.1圆锥投影143、应用举例：百万分一地图等角圆锥投影1962年国际制图会议规定：1∶100万地图按国际标准分幅，采用双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4°分带，对每带单独进行投影。北纬84°以北和南纬80°以南的地区，则采用等角方位投影。双标准纬线规定如下：投影常数按下式计算：§4.1圆锥投影3、应用举例：百万分一地图等角圆锥投影双标准纬线规定如下：投15自1978年以后，我国1∶100万地图采用等角圆锥投影，分幅与国际分幅一致，但标准纬线与国际上稍有差异，并规定根据边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件确定投影常数，即：§4.1圆锥投影自1978年以后，我国1∶100万地图采用等16对于纬差4°为一带的圆锥投影来说。υ2之值为9×10-8，它对投影计算和实用精度，都没有什么影响，故可略去。两条标准纬线的近似式为：§4.1圆锥投影对于纬差4°为一带的圆锥投影来说。υ2之值为17三、等面积圆锥投影（AlbersEquivalentConicProjection）根据等面积条件P=1，即mn=1，来确定ρ=f（）的函数形式：

Ｓ为经差1弧度，纬差从0°到纬度的椭球面上的梯形面积。§4.1圆锥投影三、等面积圆锥投影（AlbersEquivalentCo18现将等面积圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组公式中，仍然有常数α和c需要确定，但由于确定的方法比较多，所以各种不同形式的等面积圆锥投影也较多。§4.1圆锥投影现将等面积圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组191、单标准纬线等面积圆锥投影设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即n0=1。则§4.1圆锥投影1、单标准纬线等面积圆锥投影§4.1圆锥投影202、双标准纬线等面积圆锥投影设圆锥面割于地球1、2的两条纬线上，即n1=n2=1。相减得：相除得：§4.1圆锥投影2、双标准纬线等面积圆锥投影相减得：相除得：§4.1圆锥21四、等距离圆锥投影根据等距离条件，即m=1，来确定ρ=f（）的函数形式：s为赤道到某纬度的经线弧长。§4.1圆锥投影四、等距离圆锥投影s为赤道到某纬度的经线弧长。§4.122现将等距离圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组公式中，仍然有常数α和c需要确定，但由于确定的方法比较多，所以各种不同形式的等距离圆锥投影也较多。§4.1圆锥投影现将等距离圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组231、单标准纬线等距离圆锥投影设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即n0=1。则§4.1圆锥投影1、单标准纬线等距离圆锥投影§4.1圆锥投影242、双标准纬线等距离圆锥投影设圆锥面割于地球1、2的两条纬线上，即n1=n2=1。相减得：相除得：§4.1圆锥投影2、双标准纬线等距离圆锥投影相减得：相除得：§4.125五、圆锥投影变形分析及应用1、由切割关系决定的变形特点（1）圆锥投影的各种变形均是纬度的函数，与经度λ无关，同一纬线上的变形是相同的。（2）在切圆锥投影中，标准纬线上的长度比n0=1，其余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大。（3）在割圆锥投影中，在双标准纬线处的长度比n1=n2=1，变形自标准纬线向内、向外增大，在双标准纬线之间，n<1，在双标准纬线之外，n>1。§4.1圆锥投影五、圆锥投影变形分析及应用§4.1圆锥投影262、由投影性质决定的变形特点（1）等角圆锥投影：经线长度比与纬线长度比相等（m=n），角度没有变形，但面积变形较大（P=m2）。（2）等面积圆锥投影：经线长度比与纬线长度比互为倒数（mn=1），面积没有变形，但角度变形较大。（3）等距离圆锥投影：变形介于等角投影与等面积投影之间，经线长度比保持为1（m=1），纬线长度比与面积比相等（n=P）。§4.1圆锥投影2、由投影性质决定的变形特点§4.1圆锥投影27

3、圆锥投影的应用地球上广大陆地位于中纬度地区，并且圆锥投影经纬线形状简单，最适于制作中纬度沿东西方向延伸的地图。（1）等角圆锥投影：多用于方向保持正确的图种，如我国的百万分一地形图、中国全图、分省地图等。（2）等面积圆锥投影：多用于面积比保持正确的图种，如分布图、类型图、区划图等自然资源图与社会经济图。（3）等距离圆锥投影：多用于各种变形要求适中的图种，如原苏联出版的《苏联全图》采用此投影。§4.1圆锥投影3、圆锥投影的应用§4.1圆锥投影284、标准纬线的选择（1）如果制图区域纬差不大，可采用单标准纬线圆锥投影。单标准纬线的选择非常简单，只需要制图区域南北边纬线的纬度S，N取中数，并凑整即可。（2）如果制图区域纬差较大，应采用双标准纬线圆锥投影。双标准纬线的选择可以使用下列近似公式求得。

应用该式推求标准纬线，基本符合边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件。§4.1圆锥投影4、标准纬线的选择§4.1圆锥投影29§4.2方位投影一、方位投影的一般公式及其分类二、等角方位投影三、等面积方位投影四、等距离方位投影五、透视方位投影六、方位投影变形分析与应用§4.2方位投影一、方位投影的一般公式及其分类30一、方位投影的一般公式及其分类1、方位投影的定义假设一个平面与地球面相切或相割，根据某种条件（如等角、等面积、透视等）将地球上的经纬线投影到该平面上，即得到方位投影。§4.2方位投影一、方位投影的一般公式及其分类§4.2方位投影31AzimuthalProjection§4.2方位投影AzimuthalProjection§4.2方位投影322、方位投影的分类（1）按平面与地球面的切割关系分：

切方位投影、割方位投影（2）按平面和地球面的位置关系分：

正轴方位投影、横轴方位投影、斜轴方位投影（3）按投影的变形性质分：

等角方位投影、等积方位投影、任意方位投影§4.2方位投影2、方位投影的分类§4.2方位投影33（4）按投影的透视关系分④外心透视方位投影⑤正射透视方位投影①球心透视方位投影②内心透视方位投影③球面透视方位投影§4.2方位投影（4）按投影的透视关系分④外心透视方位投影①球心透视方位投影343、方位投影的一般公式

以正轴方位投影为例纬线投影后为同心圆，其半径ρ是纬度的函数，函数形式由投影性质和投影条件决定。经线投影后为同心圆的直径，两经线间的夹角δ与相应经差λ相等。

为了扩大方位投影的应用，我们引进球面极坐标的概念，通过地理坐标与球面极坐标的换算，仍然利用正轴方位投影的公式，可以很方便地实现斜轴和横轴投影的计算以及经纬网的构成。§4.2方位投影3、方位投影的一般公式§4.2方位投影35为了计算方便，我们视球体为正球体，这样我们便可以采用由球面三角推导出的地理坐标（，λ）与球面极坐标（Z，α）之间的转换公式。假定新极点坐标（0，λ0），计算斜轴或横轴方位投影时，可分别采用以下两组公式计算球面极坐标：正轴和横轴都是斜轴的特例斜轴横轴§4.2方位投影为了计算方便，我们视球体为正球体，正轴和横轴36投影平面与地球面的位置关系如图所示，以Q为极点的等高圈和垂直圈分别代替纬圈和经圈。这时过A点等高圈的天顶距Z相当于90°－，过A点垂直圈的方位角α相当于λ，有：以通过Q′点的经线的投影作X轴，过Q′点与经线投影相垂直的直线作为Y轴，则平面直角坐标公式为：§4.2方位投影投影平面与地球面的位置关系如图所示，以Q为极37设平面梯形A`B`C`D`是地球面上微分梯形ABCD的投影，根据垂直圈和等高圈长度比的定义，有：主方向，即μ1=a,μ2=b，根据面积比和角度变形定义有：由于本投影的垂直圈和等高圈投影后仍保持互相垂直，所以垂直圈和等高圈方向就是§4.2方位投影设平面梯形A`B`C`D`是地球面上微分梯形ABCD38现将方位投影的一般公式汇集如下：在这组公式中，由于ρ的函数形式未定，需要根据投影条件进一步确定。§4.2方位投影现将方位投影的一般公式汇集如下：在这组公式中39二、等角方位投影根据等角条件ω=0，即μ1=μ2，来确定ρ=f（Z）的函数形式：在该公式中，仍然有常数K需要确定，下面我们讨论确定常数K的方法。§4.2方位投影二、等角方位投影在该公式中，仍然有常数K需要40

为了确定常数K，我们设投影平面割于地球Zk的一条等高圈上，即μ2K=1，有：§4.2方位投影为了确定常数K，我们设投影平面割于地球Zk的一条等高41现将等角割方位投影的公式汇集如下：§4.2方位投影现将等角割方位投影的公式汇集如下：§4.2方位投影42当ZK＝0时，即得到等角切方位投影的公式对于正轴情况下，只需要用λ代替α，用90°－代替Z，即得到正轴等角方位投影公式。§4.2方位投影当ZK＝0时，即得到等角切方位投影的公式对于正轴情况43三、等面积方位投影根据等面积条件P=1，即μ1μ2=1，来确定ρ=f（Z）的函数形式：§4.2方位投影三、等面积方位投影§4.2方位投影44现将等面积方位投影的公式汇集如下：对于正轴情况下，只需要用λ代替α，用90°－代替Z，即得到正轴等面积方位投影公式。§4.2方位投影现将等面积方位投影的公式汇集如下：对于正轴情45四、等距离方位投影根据等距离条件，即μ1=1，来确定ρ=f（Z）的函数形式：§4.2方位投影四、等距离方位投影§4.2方位投影46现将等距离方位投影的公式汇集如下：对于正轴情况下，只需要用λ代替α，用90°－代替Z，即得到正轴等距离方位投影公式。§4.2方位投影现将等距离方位投影的公式汇集如下：对于正轴情47五、透视方位投影透视方位投影是用透视原理来确定ρ=f（Z）的函数形式，如图所示：§4.2方位投影五、透视方位投影§4.2方位投影48现将透视方位投影的公式汇集如下：在这组公式中，由于视点D的位置还没有设定，需要根据视点D的位置进一步确定透视关系。§4.2方位投影现将透视方位投影的公式汇集如下：在这组公式中49根据视点与球心的相对距离D，透视方位投影可分为：1、当D=∞时，正射投影。2、当R<D<∞时，外心投影。3、当D=R时，球面投影。4、当0<D<R时，内心投影。5、当D=0时，球心投影。§4.2方位投影根据视点与球心的相对距离D，透视方位投影可分为：§4.250根据投影面与地球的相对位置（0，λ0），透视方位投影可分为：1、当0=90°时，正轴投影。2、当0=0°时，横轴投影。3、当0°<0<90°时，斜轴投影。§4.2方位投影根据投影面与地球的相对位置（0，λ0），透视方位投51六、方位投影变形分析与应用1、由切割关系决定的变形特点①方位投影的各种变形均是天顶距Z的函数，与方位角α无关。同一等高圈上的变形是相同的。②在切方位投影中，切点Q上没有变形，其变形随着远离Q点而增大。③在割方位投影中，所割的等高圈上μ2=1，其他变形自所割等高圈向内、向外增大。§4.2方位投影六、方位投影变形分析与应用§4.2方位投影522、由投影性质决定的变形特点①等角方位投影：垂直圈长度比与等高圈长度比相等（μ1=μ2），角度没有变形，但面积变形较大（P=μ12）。②等面积方位投影：等高圈长度比与垂直圈长度比互为倒数（μ1μ2=1），面积没有变形，但角度变形较大。③等距离方位投影：变形介于等角投影与等面积投影之间，垂直圈长度比保持为1（μ1=1），等高圈长度比与面积比相等（μ2=P）。

§4.2方位投影2、由投影性质决定的变形特点§4.2方位投影53

3、方位投影的应用方位投影应用广泛，特别是在编制《航海图》、《航空图》和《世界地图集》中多有应用。

①就制图区域形状而言，适宜于具有圆形轮廓的地区。②就制图区域地理位置而言，两极地区：正轴投影；赤道地区：横轴投影；其它地区：斜轴投影。

§4.2方位投影3、方位投影的应用§4.2方位投影54§4.3圆柱投影一、圆柱投影的一般公式及分类二、等角圆柱投影三、高斯-克吕格投影四、通用横轴墨卡托投影五、等面积圆柱投影六、等距离圆柱投影七、圆柱投影变形分析与应用§4.3圆柱投影一、圆柱投影的一般公式及分类55一、圆柱投影的一般公式及分类1、圆柱投影的定义假设一个圆柱面与地球面相切或相割，根据某种条件（如等角、等面积、透视等）将地球上的经纬线投影到圆柱面上，然后沿圆柱面的一条母线（经线）切开展平，即得到圆柱投影。§4.3圆柱投影一、圆柱投影的一般公式及分类§4.3圆柱投影56CylindricalProjection§4.3圆柱投影CylindricalProjection§4.3圆柱572、圆柱投影的分类（1）按圆柱面与地球面的切割关系分：

切圆柱投影、割圆柱投影（2）按圆柱面和地球面的位置关系分：

正轴圆柱投影、横轴圆柱投影、斜轴圆柱投影（3）按投影的变形性质分：

等角圆柱投影、等积圆柱投影、任意圆柱投影§4.3圆柱投影2、圆柱投影的分类§4.3圆柱投影583、圆柱投影的一般公式以正轴圆柱投影为例纬线投影后为平行直线，其间距x是纬度的函数，函数形式由投影性质和投影条件决定。经线投影后也为平行直线，且与纬线正交，各经线的间距y与相应经差λ成正比。以某一经线的投影作X轴，以赤道的投影作Y轴，则平面直角坐标公式为：§4.3圆柱投影3、圆柱投影的一般公式以某一经线的投影作59设平面矩形A`B`C`D`是地球面上微分梯形ABCD的投影，根据经纬线长度比定义，有：在正轴圆柱投影中，经纬线投影后仍保持互相垂直，所以经纬线方向就是主方向，即m=a,n=b，根据面积比和角度变形定义，有：§4.3圆柱投影设平面矩形A`B`C`D`是地球面上微分梯形60现将圆柱投影的一般公式汇集如下：在这组公式中，由于x的函数形式未定，y中还有待定系数，需要根据投影条件进一步确定。§4.3圆柱投影现将圆柱投影的一般公式汇集如下：在这组公式中61二、等角圆柱投影根据等角条件ω=0，即m=n，来确定x=f（）的函数形式：§4.3圆柱投影二、等角圆柱投影§4.3圆柱投影62公式中仍有常数α需要确定。§4.3圆柱投影公式中仍有常数α需要确定。§4.3圆柱投影63常数α需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确定，在割圆柱投影中，圆柱面割于赤道南北两条同名纬线±K上，则：当K=0=0°时，圆柱面切于赤道上，割圆柱投影变为切圆柱投影，则ac是地球椭球体的长半径。§4.3圆柱投影常数α需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确定64现将等角圆柱投影的一般公式汇集如下：当K=0°时，圆柱面切于赤道上，这时α=ac，ac是地球椭球体的长半径。§4.3圆柱投影现将等角圆柱投影的一般公式汇集如下：当K=65§4.3圆柱投影§4.3圆柱投影66等角圆柱投影：荷兰地图学家墨卡托（MercatorGerardus1512～1594）于1569年创建，故又名墨卡托投影。它不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使等角航线在图上表现为直线，这一特性对航海具有重要的实用价值。

等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经纬线以外，等角航线都是以极点为渐近点的螺旋曲线。

大圆航线：是地球表面上通过两点间的大圆弧线，即两点间的最短距离线。§4.3圆柱投影等角圆柱投影：荷兰地图学家墨卡托（Merca67三、高斯-克吕格投影1、高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）的定义是以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。

该投影由德国数学家、天文学家高斯（C.F.Gauss，1777～1855）及大地测量学家克吕格（J.Krüger，1857～1923）共同创建。§4.3圆柱投影三、高斯-克吕格投影该投影由德国数学家、天文学家高斯682、高斯-克吕格投影的三个条件（1）中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴。（2）投影具有等角性质。（3）中央经线投影后保持长度不变。3、高斯-克吕格投影的直角坐标公式长度比公式和子午线收敛角公式（略）。§4.3圆柱投影2、高斯-克吕格投影的三个条件§4.3圆柱投影69这是高斯-克吕格投影6°带内长度变形表§4.3圆柱投影这是高斯-克吕格投影6°带内长度变形表§4.3圆柱投影704、高斯-克吕格投影变形规律（1）除中央经线上长度比m0=1

以外，其它任何点上长度比均大于1。（2）在同一条纬线上，离中央经线越远，则变形越大，最大值位于投影带的边缘。（3）在同一条经线上，纬度越低，变形越大，最大值位于赤道上。（4）本投影属于等角性质，故没有角度变形，面积比为长度比的平方。§4.3圆柱投影4、高斯-克吕格投影变形规律§4.3圆柱投影71我国基本比例尺地形图1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万均采用6°分带的高斯-克吕格投影。

1∶5千、1∶1万地形图则采用3°分带的高斯-克吕格投影。为保证精度，高斯-克吕格投影采用6°或3°分带投影方法：§4.3圆柱投影我国基本比例尺地形图1∶2.5万、1∶5万72为了保证我国范围内的高斯-克吕格投影y坐标均为正值，规定将每带的纵坐标轴向西平移500公里。yA=245863.7myB

=-168474.8myA通=20745863.7myB通=20331525.2m§4.3圆柱投影为了保证我国范围内的高斯-克吕格投影y坐标均为正73四、通用横轴墨卡托投影1、通用横轴墨卡托投影（UniversalTransverseMercator，简称UTM投影）的定义其实质是等角横割圆柱投影，它是以圆柱为投影面，使圆柱割于地球椭球体的两条等高圈上，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的经纬线投影到圆柱面上，再将其展成平面而得。§4.3圆柱投影四、通用横轴墨卡托投影§4.3圆柱投影742、UTM投影的直角坐标公式可根据高斯-克吕格投影公式×0.9996得到。3、UTM投影的变形特点（1）中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴。（2）无角度变形，中央经线长度比为0.9996，距中央经线约±180km处的两条割线上无变形，长度变形<0.04%。（3）亦采用6°或3°分带投影的方法。§4.3圆柱投影2、UTM投影的直角坐标公式3、UTM投影的变形特点§4.3754、UTM投影与高斯-克吕格投影的区别（1）中央经线长度比不同，UTM投影是0.9996，而高斯-克吕格投影是1。（2）带的划分相同，而带号的起算不同。（3）对于中、低纬度地区，UTM投影的变形优于高斯-克吕格投影。（4）西方国家（美、英、德、法）多采用UTM投影作为国家基本地形图投影，东方国家（中、苏、蒙、朝）多采用高斯-克吕格投影作为国家基本地形图投影。§4.3圆柱投影4、UTM投影与高斯-克吕格投影的区别§4.3圆柱投76五、等面积圆柱投影根据等面积条件P=1，即mn=1，来确定ρ=f（）的函数形式：在该公式中，仍然有常数α需要确定，下面我们讨论确定常数α的方法。§4.3圆柱投影五、等面积圆柱投影在该公式中，仍然有常数α需77常数α需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确定，在割圆柱投影中，圆柱面割于赤道南北两条同名纬线±K上，则：当K=0=0°时，圆柱面切于赤道上，割圆柱投影变为切圆柱投影，则ac是地球椭球体的长半径。§4.3圆柱投影常数α需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确定，在割圆78现将等面积圆柱投影的一般公式汇集如下：当K=0°时，圆柱面切于赤道上，这时α=ac，ac是地球椭球体的长半径。§4.3圆柱投影现将等面积圆柱投影的一般公式汇集如下：当K79§4.3圆柱投影§4.3圆柱投影80六、等距离圆柱投影根据等距离条件，即m=1，来确定ρ=f（）的函数形式：在该公式中，仍然有常数α需要确定，下面我们讨论确定常数α的方法。§4.3圆柱投影六、等距离圆柱投影在该公式中，仍然有常数α需要确定81常数α需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确定，在割圆柱投影中，圆柱面割于赤道南北两条同名纬线±K上，则：当K=0=0°时，圆柱面切于赤道上，割圆柱投影变为切圆柱投影，则ac是地球椭球体的长半径。§4.3圆柱投影常数α需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确82现将等距离圆柱投影的一般公式汇集如下：当K=0°时，圆柱面切于赤道上，这时α=ac，ac是地球椭球体的长半径。§4.3圆柱投影现将等距离圆柱投影的一般公式汇集如下：当K83§4.3圆柱投影§4.3圆柱投影84七、圆柱投影变形分析与应用1、由切割关系决定的变形特点①圆柱投影的各种变形均是纬度的函数，与经度λ无关。同一纬线上的变形是相同的。②在切圆柱投影中，标准纬线上的长度比n0=1，其余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大。③在割圆柱投影中，在双标准纬线处的长度比n1=n2=1，变形自标准纬线向内、向外增大，在双标准纬线之间，n<1，在双标准纬线之外，n>1。§4.3圆柱投影七、圆柱投影变形分析与应用§4.3圆柱投影852、由投影性质决定的变形特点①等角圆柱投影：由于经线长度比与纬线长度比相等（m=n），角度没有变形，但面积变形较大（P=m2）。②等面积圆柱投影：由于经线长度比与纬线长度比互为倒数（mn=1），面积没有变形，但角度变形较大。③等距离圆柱投影：变形介于等角投影与等面积投影之间，经线长度比保持为1（m=1），纬线长度比与面积比相等（n=P）。§4.3圆柱投影2、由投影性质决定的变形特点§4.3圆柱投影86

3、圆柱投影的应用圆柱投影应用广泛，适宜于低纬度沿纬线方向伸展的地区，并且可以表示经度大于3600的范围。特别是在编制《航海图》、《航空图》、《世界时区图》和《世界地图集》中多有应用。

§4.3圆柱投影3、圆柱投影的应用§4.3圆柱投影87圆锥投影、方位投影、圆柱投影之间的关系：α为圆锥系数，由于圆锥展开后成为扇形，顶角δ不足360°，而地球极点处的λ=360°，所以0<α<1。当α=1时，圆锥顶角δ达到360°，伸展成平面，则成为方位投影。

当α=0时，圆锥顶角伸向无穷远，则成为圆柱投影。因此可以说，方位投影和圆柱投影是圆锥投影的特例。§4.3圆柱投影圆锥投影、方位投影、圆柱投影之间的关系：§4.388§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影一、伪圆锥投影二、伪圆柱投影三、伪方位投影四、多圆锥投影§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、一、伪圆锥投影89一、伪圆锥投影1、伪圆锥投影的定义该投影的纬线投影为同心圆弧，中央经线投影为通过各纬线共同圆心的直线，其他经线投影为对称于中央经线的曲线。§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影一、伪圆锥投影§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、902、伪圆锥投影的一般公式根据伪圆锥投影的定义，由于伪圆锥投影的经、纬线不正交，所以不可能有等角投影，而只能有等面积和任意投影。

§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影2、伪圆锥投影的一般公式根据伪圆锥投影的定义913、彭纳投影在伪圆锥投影中，最著名的是彭纳投影，它是法国水利工程师彭纳（Bonne1727-1795）于1752年为制作法国地图而创建的。§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影3、彭纳投影§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、924、彭纳投影的条件（1）中央经线投影为直线，并保持长度无变形，即m0=1。其他经线为对称于中央经线的曲线。（2）纬线投影为同心圆圆弧，且保持长度无变形，即n=1。（3）中央经线与所有纬线正交，而中间纬线（切纬线）则与所有经线正交。（4）面积比P=1。5、彭纳投影的一般公式§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影4、彭纳投影的条件5、彭纳投影的一般公式§4.4伪圆锥投93二、伪圆柱投影1、伪圆柱投影的定义该投影的纬线投影为相互平行的直线，中央经线投影为垂直于各纬线的直线，其他经线投影后成为对称于中央经线的曲线。由于伪圆柱投影的经、纬线不正交，所以不可能有等角投影，而只能有等面积和任意投影。在具体应用中，以等面积性质居多。§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影二、伪圆柱投影由于伪圆柱投影的经、纬线不正交，所以不可能942、伪圆柱投影的一般公式§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影2、伪圆柱投影的一般公式§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、95（1）桑逊（Sanson-Flamsteed）投影经线为正弦曲线的等面积伪圆柱投影，纬线为间隔相等的平行直线，每条纬线上经线间隔相等。由法国桑逊于1650年设计。投影特点：P=1无面积变形n=1纬线长度比等于1m0=1中央经线长度比等于1m>1经线长度比大于1§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影（1）桑逊（Sanson-Flamsteed）投影特点96（2）爱凯特（Eckert）投影经线为正弦曲线、极点投影成极线的等面积伪圆柱投影，纬线是平行于赤道的一组平行直线，每条纬线上经线间隔相等。由爱凯特于1906年在桑逊投影的基础上改进完成。投影特点：P=1无面积变形。m>1经线长度比大于1。§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影（2）爱凯特（Eckert）投影投影特点：§4.4伪圆锥97（3）摩尔威特（Mollweide）投影经线为椭圆曲线的等积伪圆柱投影，纬线是平行于赤道的一组平行直线，每条纬线上经线间隔相等，离中央经线经差为±90°的经线投影后全成一个圆，其面积等于地球面积的一半。由德国摩尔威特于1805年设计。投影特点：P=1无面积变形S90=Searth/2赤道长度=中央经线×2S90=Searth/2§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影（3）摩尔威特（Mollweide）投影投影特点：S90=98（4）古德（Goode）投影美国地理学家古德（J.PaulGoode）于1923年提出在整个制图区域主要部分中央都设置一条中央经线，分别进行投影，则全图就分成几瓣，各瓣沿赤道连接在一起。投影特点：分瓣、组合投影。变形减小且均匀。大陆完整，大洋割裂。大洋完整，大陆割裂。§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影（4）古德（Goode）投影投影特点：§4.4伪圆锥投影99三、伪方位投影1、伪方位投影的定义该投影的纬线投影为同心圆，经线投影为交于各纬线共同圆心，并对称于中央直经线的曲线。由于伪方位投影的经、纬线不正交，所以不可能有等角投影和等面积投影，只有任意投影。§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影三、伪方位投影由于伪方位投影的经、纬线不正交，所以不可能1002、伪方位投影的一般公式§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影2、伪方位投影的一般公式§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、101变形特点：其等变形线可设计成与制图区域轮廓近似一致的形式。如：椭圆形、卵形、三角形、三叶玫瑰形和方形等规则几何图形。中国全图的经纬网略图及角度等变形线3、伪方位投影应用实例§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影变形特点：中国全图的经纬网略图及角度等变形线102四、多圆锥投影1、多圆锥投影的定义假设有许多圆锥面与地球面相切，然后沿交于同一个平面的各圆锥母线切开展平，即得到多圆锥投影。在多圆锥投影中，中央经线投影为直线且保持长度无变形，纬线投影为同轴圆弧，圆心在中央经线及其延长线上，各纬线投影后都保持长度无变形且与中央经线正交，其他经线投影为对称于中央经线的曲线。§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影四、多圆锥投影§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、1032、多圆锥投影的一般公式§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影2、多圆锥投影的一般公式§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、1043、多圆锥投影实例（1）普通多圆锥投影（1820年美国Hasslar所创）特点：m0=1n=1m>1属任意投影，适于南北方向延伸地区地图§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影3、多圆锥投影实例特点：§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影105（2）普通多圆锥分带投影图将整个地球按一定经差分为若干带，每带中央经线投影为直线，各带在赤道相接。用于制作地球仪。

§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影（2）普通多圆锥分带投影图§4.4伪圆锥106（3）等差分纬线多圆锥投影中国地图出版社1963年设计，其经线间隔随距中央经线距离的增大而呈等差递减，属任意投影。§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影（3）等差分纬线多圆锥投影§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影107（4）正切差分纬线多圆锥投影中国地图出版社1976年设计，其经线间隔按与中央经线经差的正切函数递减。属任意投影。§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影（4）正切差分纬线多圆锥投影§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投108第四章结束第四章结束109第四章几类常见的地图投影测绘学院乔俊军制作第四章几类常见的地图投影测绘学院乔俊军制作110第四章几类常见的地图投影§4.1圆锥投影§4.2方位投影§4.3圆柱投影§4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影第四章几类常见的地图投影§4.1圆锥投影111§4.1圆锥投影一、圆锥投影的一般公式及其分类二、等角圆锥投影三、等面积圆锥投影四、等距离圆锥投影五、圆锥投影变形分析及应用§4.1圆锥投影一、圆锥投影的一般公式及其分类112一、圆锥投影的一般公式及其分类1、圆锥投影的定义假设一个圆锥面与地球面相切或相割，根据某种条件（等角、等面积、透视等）将地球上的经纬线投影到圆锥面上，然后沿圆锥面的一条母线（经线）切开展平，即得到圆锥投影。§4.1圆锥投影一、圆锥投影的一般公式及其分类§4.1圆锥投影113ConicProjection§4.1圆锥投影ConicProjection§4.1圆锥投影1142、圆锥投影的分类（1）按圆锥面与地球面的切割关系分：

切圆锥投影、割圆锥投影（2）按圆锥面和地球面的位置关系分：

正轴圆锥投影、横轴圆锥投影、斜轴圆锥投影（3）按投影的变形性质分：

等角圆锥投影、等积圆锥投影、任意圆锥投影§4.1圆锥投影2、圆锥投影的分类§4.1圆锥投影1153、圆锥投影的一般公式以正轴圆锥投影为例纬线投影后为同心圆圆弧，其半径ρ是纬度

的函数，函数形式由投影性质和投影条件决定。经线投影后为相交于一点的直线束，且夹角δ与经差λ成正比。

以某一经线的投影为X轴，以X轴和最南边纬线s的交点为原点，建立平面直角坐标系：§4.1圆锥投影3、圆锥投影的一般公式以某一经线的投116设平面梯形A`B`C`D`是地球面上微分梯形ABCD的投影，根据经纬线长度比定义有：在正轴圆锥投影中，经纬线投影后仍保持互相垂直，所以经纬线方向就是主方向，即§4.1圆锥投影m=a，n=b，根据面积比和角度变形定义有：设平面梯形A`B`C`D`是地球面上微分梯形117现将圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组公式中，由于ρ的函数形式未定，δ函数式中还有待定的圆锥系数α，需要根据投影条件进一步确定。§4.1圆锥投影现将圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组公式中118二、等角圆锥投影（LambertConformalConicProjection）根据等角条件ω=0，即m=n，来确定ρ=f（）的函数形式：§4.1圆锥投影二、等角圆锥投影（LambertConformalCon119§4.1圆锥投影§4.1圆锥投影120现将等角圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组公式中，仍然有常数α和K需要确定，但由于确定的方法比较多，所以各种不同形式的等角圆锥投影也比较多。§4.1圆锥投影现将等角圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组公1211、单标准纬线等角圆锥投影设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即n0=1，则§4.1圆锥投影1、单标准纬线等角圆锥投影§4.1圆锥投影1222、双标准纬线等角圆锥投影设圆锥面割于地球1、2的两条纬线上，即n1=n2=1。相减得§4.1圆锥投影2、双标准纬线等角圆锥投影相减得§4.1圆锥投影1233、应用举例：百万分一地图等角圆锥投影1962年国际制图会议规定：1∶100万地图按国际标准分幅，采用双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4°分带，对每带单独进行投影。北纬84°以北和南纬80°以南的地区，则采用等角方位投影。双标准纬线规定如下：投影常数按下式计算：§4.1圆锥投影3、应用举例：百万分一地图等角圆锥投影双标准纬线规定如下：投124自1978年以后，我国1∶100万地图采用等角圆锥投影，分幅与国际分幅一致，但标准纬线与国际上稍有差异，并规定根据边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件确定投影常数，即：§4.1圆锥投影自1978年以后，我国1∶100万地图采用等125对于纬差4°为一带的圆锥投影来说。υ2之值为9×10-8，它对投影计算和实用精度，都没有什么影响，故可略去。两条标准纬线的近似式为：§4.1圆锥投影对于纬差4°为一带的圆锥投影来说。υ2之值为126三、等面积圆锥投影（AlbersEquivalentConicProjection）根据等面积条件P=1，即mn=1，来确定ρ=f（）的函数形式：

Ｓ为经差1弧度，纬差从0°到纬度的椭球面上的梯形面积。§4.1圆锥投影三、等面积圆锥投影（AlbersEquivalentCo127现将等面积圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组公式中，仍然有常数α和c需要确定，但由于确定的方法比较多，所以各种不同形式的等面积圆锥投影也较多。§4.1圆锥投影现将等面积圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组1281、单标准纬线等面积圆锥投影设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即n0=1。则§4.1圆锥投影1、单标准纬线等面积圆锥投影§4.1圆锥投影1292、双标准纬线等面积圆锥投影设圆锥面割于地球1、2的两条纬线上，即n1=n2=1。相减得：相除得：§4.1圆锥投影2、双标准纬线等面积圆锥投影相减得：相除得：§4.1圆锥130四、等距离圆锥投影根据等距离条件，即m=1，来确定ρ=f（）的函数形式：s为赤道到某纬度的经线弧长。§4.1圆锥投影四、等距离圆锥投影s为赤道到某纬度的经线弧长。§4.1131现将等距离圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组公式中，仍然有常数α和c需要确定，但由于确定的方法比较多，所以各种不同形式的等距离圆锥投影也较多。§4.1圆锥投影现将等距离圆锥投影的一般公式汇集如下：在这组1321、单标准纬线等距离圆锥投影设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即n0=1。则§4.1圆锥投影1、单标准纬线等距离圆锥投影§4.1圆锥投影1332、双标准纬线等距离圆锥投影设圆锥面割于地球1、2的两条纬线上，即n1=n2=1。相减得：相除得：§4.1圆锥投影2、双标准纬线等距离圆锥投影相减得：相除得：§4.1134五、圆锥投影变形分析及应用1、由切割关系决定的变形特点（1）圆锥投影的各种变形均是纬度的函数，与经度λ无关，同一纬线上的变形是相同的。（2）在切圆锥投影中，标准纬线上的长度比n0=1，其余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大。（3）在割圆锥投影中，在双标准纬线处的长度比n1=n2=1，变形自标准纬线向内、向外增大，在双标准纬线之间，n<1，在双标准纬线之外，n>1。§4.1圆锥投影五、圆锥投影变形分析及应用§4.1圆锥投影1352、由投影性质决定的变形特点（1）等角圆锥投影：经线长度比与纬线长度比相等（m=n），角度没有变形，但面积变形较大（P=m2）。（2）等面积圆锥投影：经线长度比与纬线长度比互为倒数（mn=1），面积没有变形，但角度变形较大。（3）等距离圆锥投影：变形介于等角投影与等面积投影之间，经线长度比保持为1（m=1），纬线长度比与面积比相等（n=P）。§4.1圆锥投影2、由投影性质决定的变形特点§4.1圆锥投影136

3、圆锥投影的应用地球上广大陆地位于中纬度地区，并且圆锥投影经纬线形状简单，最适于制作中纬度沿东西方向延伸的地图。（1）等角圆锥投影：多用于方向保持正确的图种，如我国的百万分一地形图、中国全图、分省地图等。（2）等面积圆锥投影：多用于面积比保持正确的图种，如分布图、类型图、区划图等自然资源图与社会经济图。（3）等距离圆锥投影：多用于各种变形要求适中的图种，如原苏联出版的《苏联全图》采用此投影。§4.1圆锥投影3、圆锥投影的应用§4.1圆锥投影1374、标准纬线的选择（1）如果制图区域纬差不大，可采用单标准纬线圆锥投影。单标准纬线的选择非常简单，只需要制图区域南北边纬线的纬度S，N取中数，并凑整即可。（2）如果制图区域纬差较大，应采用双标准纬线圆锥投影。双标准纬线的选择可以使用下列近似公式求得。

应用该式推求标准纬线，基本符合边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件。§4.1圆锥投影4、标准纬线的选择§4.1圆锥投影138§4.2方位投影一、方位投影的一般公式及其分类二、等角方位投影三、等面积方位投影四、等距离方位投影五、透视方位投影六、方位投影变形分析与应用§4.2方位投影一、方位投影的一般公式及其分类139一、方位投影的一般公式及其分类1、方位投影的定义假设一个平面与地球面相切或相割，根据某种条件（如等角、等面积、透视等）将地球上的经纬线投影到该平面上，即得到方位投影。§4.2方位投影一、方位投影的一般公式及其分类§4.2方位投影140AzimuthalProjection§4.2方位投影AzimuthalProjection§4.2方位投影1412、方位投影的分类（1）按平面与地球面的切割关系分：

切方位投影、割方位投影（2）按平面和地球面的位置关系分：

正轴方位投影、横轴方位投影、斜轴方位投影（3）按投影的变形性质分：

等角方位投影、等积方位投影、任意方位投影§4.2方位投影2、方位投影的分类§4.2方位投影142（4）按投影的透视关系分④外心透视方位投影⑤正射透视方位投影①球心透视方位投影②内心透视方位投影③球面透视方位投影§4.2方位投影（4）按投影的透视关系分④外心透视方位投影①球心透视方位投影1433、方位投影的一般公式

以正轴方位投影为例纬线投影后为同心圆，其半径ρ是纬度的函数，函数形式由投影性质和投影条件决定。经线投影后为同心圆的直径，两经线间的夹角δ与相应经差λ相等。

为了扩大方位投影的应用，我们引进球面极坐标的概念，通过地理坐标与球面极坐标的换算，仍然利用正轴方位投影的公式，可以很方便地实现斜轴和横轴投影的计算以及经纬网的构成。§4.2方位投影3、方位投影的一般公式§4.2方位投影144为了计算方便，我们视球体为正球体，这样我们便可以采用由球面三角推导出的地理坐标（，λ）与球面极坐标（Z，α）之间的转换公式。假定新极点坐标（0，λ0），计算斜轴或横轴方位投影时，可分别采用以下两组公式计算球面极坐标：正轴和横轴都是斜轴的特例斜轴横轴§4.2方位投影为了计算方便，我们视球体为正球体，正轴和横轴145投影平面与地球面的位置关系如图所示，以Q为极点的等高圈和垂直圈分别代替纬圈和经圈。这时过A点等高圈的天顶距Z相当于90°－，过A点垂直圈的方位角α相当于λ，有：以通过Q′点的经线的投影作X轴，过Q′点与经线投影相垂直的直线作为Y轴，则平面直角坐标公式为：§4.2方位投影投影平面与地球面的位置关系如图所示，以Q为极146设平面梯形A`B`C`D`是地球面上微分梯形ABCD的投影，根据垂直圈和等高圈长度比的定义，有：主方向，即μ1=a,μ2=b，根据面积比和角度变形定义有：由于本投影的垂直圈和等高圈投影后仍保持互相垂直，所以垂直圈和等高圈方向就是§4.2方位投影设平面梯形A`B`C`D`是地球面上微分梯形ABCD147现将方位投影的一般公式汇集如下：在这组公式中，由于ρ的函数形式未定，需要根据投影条件进一步确定。§4.2方位投影现将方位投影的一般公式汇集如下：在这组公式中148二、等角方位投影根据等角条件ω=0，即μ1=μ2，来确定ρ=f（Z）的函数形式：在该公式中，仍然有常数K需要确定，下面我们讨论确定常数K的方法。§4.2方位投影二、等角方位投影在该公式中，仍然有常数K需要149

为了确定常数K，我们设投影平面割于地球Zk的一条等高圈上，即μ2K=1，有：§4.2方位投影为了确定常数K，我们设投影平面割于地球Zk的一条等高150现将等角割方位投影的公式汇集如下：§4.2方位投影现将等角割方位投影的公式汇集如下：§4.2方位投影151当ZK＝0时，即得到等角切方位投影的公式对于正轴情况下，只需要用λ代替α，用90°－代替Z，即得到正轴等角方位投影公式。§4.2方位投影当ZK＝0时，即得到等角切方位投影的公式对于正轴情况152三、等面积方位投影根据等面积条件P=1，即μ1μ2=1，来确定ρ=f（Z）的函数形式：§4.2方位投影三、等面积方位投影§4.2方位投影153现将等面积方位投影的公式汇集如下：对于正轴情况下，只需要用λ代替α，用90°－代替Z，即得到正轴等面积方位投影公式。§4.2方位投影现将等面积方位投影的公式汇集如下：对于正轴情154四、等距离方位投影根据等距离条件，即μ1=1，来确定ρ=f（Z）的函数形式：§4.2方位投影四、等距离方位投影§4.2方位投影155现将等距离方位投影的公式汇集如下：对于正轴情况下，只需要用λ代替α，用90°－代替Z，即得到正轴等距离方位投影公式。§4.2方位投影现将等距离方位投影的公式汇集如下：对于正轴情156五、透视方位投影透视方位投影是用透视原理来确定ρ=f（Z）的函数形式，如图所示：§4.2方位投影五、透视方位投影§4.2方位投影157现将透视方位投影的公式汇集如下：在这组公式中，由于视点D的位置还没有设定，需要根据视点D的位置进一步确定透视关系。§4.2方位投影现将透视方位投影的公式汇集如下：在这组公式中158根据视点与球心的相对距离D，透视方位投影可分为：1、当D=∞时，正射投影。2、当R<D<∞时，外心投影。3、当D=R时，球面投影。4、当0<D<R时，内心投影。5、当D=0时，球心投影。§4.2方位投影根据视点与球心的相对距离D，透视方位投影可分为：§4.2159根据投影面与地球的相对位置（0，λ0），透视方位投影可分为：1、当0=90°时，正轴投影。2、当0=0°时，横轴投影。3、当0°<0<90°时，斜轴投影。§4.2方位投影根据投影面与地球的相对位置（0，λ0），透视方位投160六、方位投影变形分析与应用1、由切割关系决定的变形特点①方位投影的各种变形均是天顶距Z的函数，与方位角α无关。同一等高圈上的变形是相同的。②在切方位投影中，切点Q上没有变形，其变形随着远离Q点而增大。③在割方位投影中，所割的等高圈上μ2=1，其他变形自所割等高圈向内、向外增大。§4.2方位投影六、方位投影变形分析与应用§4.2方位投影1612、由投影性质决定的变形特点①等角方位投影：垂直圈长度比与等高圈长度比相等（μ1=μ2），角度没有变形，但面积变形较大（P=μ12）。②等面积方位投影：等高圈长度比与垂直圈长度比互为倒数（μ1μ2=1），面积没有变形，但角度变形较大。③等距离方位投影：变形介于等角投影与等面积投影之间，垂直圈长度比保持为1（μ1=1），等高圈长度比与面积比相等（μ2=P）。

§4.2方位投影2、由投影性质决定的变形特点§4.2方位投影162

3、方位投影的应用方位投影应用广泛，特别是在编制《航海图》、《航空图》和《世界地图集》中多有应用。

①就制图区域形状而言，适宜于具有圆形轮廓的地区。②就制图区域地理位置而言，两极地区：正轴投影；赤道地区：横轴投影；其它地区：斜轴投影。

§4.2方位投影3、方位投影的应用§4.2方位投影163§4.3圆柱投影一、圆柱投影的一般公式及分类二、等角圆柱投影三、高斯-克吕格投影四、通用横轴墨卡托投影五、等面积圆柱投影六、等距离圆柱投影七、圆柱投影变形分析与应用§4.3圆柱投影一、圆柱投影的一般公式及分类164一、圆柱投影的一般公式及分类1、圆柱投影的定义假设一个圆柱面与地球面相切或相割，根据某种条件（如等角、等面积、透视等）将地球上的经纬线投影到圆柱面上，然后沿圆柱面的一条母线（经线）切开展平，即得到圆柱投影。§4.3圆柱投影一、圆柱投影的一般公式及分类§4.3圆柱投影165CylindricalProjection§4.3圆柱投影CylindricalProjection§4.3圆柱1662、圆柱投影的分类（1）按圆柱面与地球面的切割关系分：

切圆柱投影、割圆柱投影（2）按圆柱面和地球面的位置关系分：

正轴圆柱投影、横轴圆柱投影、斜轴圆柱投影（3）按投影的变形性质分：

等角圆柱投影、等积圆柱投影、任意圆柱投影§4.3圆柱投影2、圆柱投影的分类§4.3圆柱投影1673、圆柱投影的一般公式以正轴圆柱投影为例纬线投影后为平行直线，其间距x是纬度的函数，函数形式由投影性质和投影条件决定。经线投影后也为平行直线，且与纬线正交，各经线的间距y与相应经差λ成正比。以某一经线的投影作X轴，以赤道的投影作Y轴，则平面直角坐标公式为：§4.3圆柱投影3、圆柱投影的一般公式以某一经线的投影作168设平面矩形A`B`C`D`是地球面上微分梯形ABCD的投影，根据经纬线长度比定义，有：在正轴圆柱投影中，经纬线投影后仍保持互相垂直，所以经纬线方向就是主方向，即m=a,n=b，根据面积比和角度变形定义，有：§4.3圆柱投影设平面矩形A`B`C`D`是地球面上微分梯形169现将圆柱投影的一般公式汇集如下：在这组公式中，由于x的函数形式未定，y中还有待定系数，需要根据投影条件进一步确定。§4.3圆柱投影现将圆柱投影的一般公式汇集如下：在这组公式中170二、等角圆柱投影根据等角条件ω=0，即m=n，来确定x=f（）的函数形式：§4.3圆柱投影二、等角圆柱投影§4.3圆柱投影171公式中仍有常数α需要确定。§4.3圆柱投影公式中仍有常数α需要确定。§4.3圆柱投影172常数α需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确定，在割圆柱投影中，圆柱面割于赤道南北两条同名纬线±K上，则：当K=0=0°时，圆柱面切于赤道上，割圆柱投影变为切圆柱投影，则ac是地球椭球体的长半径。§4.3圆柱投影常数α需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确定173现将等角圆柱投影的一般公式汇集如下：当K=0°时，圆柱面切于赤道上，这时α=ac，ac是地球椭球体的长半径。§4.3圆柱投影现将等角圆柱投影的一般公式汇集如下：当K=174§4.3圆柱投影§4.3圆柱投影175等角圆柱投影：荷兰地图学家墨卡托（MercatorGerardus1512～1594）于1569年创建，故又名墨卡托投影。它不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使等角航线在图上表现为直线，这一特性对航海具有重要的实用价值。

等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经纬线以外，等角航线都是以极点为渐近点的螺旋曲线。

大圆航线：是地球表面上通过两点间的大圆弧线，即两点间的最短距离线。§4.3圆柱投影等角圆柱投影：荷兰地图学家墨卡托（Merca176三、高斯-克吕格投影1、高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）的定义是以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。

该投影由德国数学家、天文学家高斯（C.F.Gauss，1777～1855）及大地测量学家克吕格（J.Krüger，1857～1923）共同创建。§4.3圆柱投影三、高斯-克吕格投影该投影由德国数学家、天文学家高斯1772、高斯-克吕格投影的三个条件（1）中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴。（2）投影具有等角性质。（3）中央经线投影后保持长度不变。3、高斯-克吕格投影的直角坐标公式长度比公式和子午线收敛角公式（略）。§4.3圆柱投影2、高斯-克吕格投影的三个条件§4.3圆柱投影178这是高斯-克吕格投影6°带内长度变形表§4.3圆柱投影这是高斯-克吕格投影6°带内长度变形表§4