数学教学改革三十年：现实与实现课件

数学教学改革三十年：现实与实现上海市教育科学研究院——来自“青浦实验的新世纪行动”一、现实：学与教的水平演变1．教师观课视角走向能力为本（调查、心理测量、聚类分析）2．学生能力目标测试喜中有忧（大样本测量、主成分分析）二、实践：两种教学方式的较量1．两种方式的比较（源头和流变）2．简单情境中的认知——数学化（案例：有余数除法）3．复杂情境中的认知——问题解决的策略（案例：设计圆形剧场）三、实现：教师学习事关重大1．把握最有学习价值的知识（案例：勾股定理能够被学生发现吗）2．了解学生容易理解或误解之处（案例：正方形的性质）3．纵横连贯才能纳入“坚固的思想体系”（案例：拆添项分解因式）4．两种教学方式的内容呈现策略（案例：等腰三角形的判定）内容目录谢谢！欢迎批评指正：杨玉东

(200032)上海市茶陵北路21号上海市教科院案例：设计一个圆形剧场中学生解决实际问题能力表现的比较研究问题①：在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝68°，∠C＝32°，问此三角形中哪条边最长？哪条边最短？问题②：建筑中的屋顶人字架之间的角等于80°，人字架与房屋侧面上层的水平圆木之间的每个角均为50°，现有长度不等的木板，问哪儿需要用较长的木板？是与人字架平行的屋顶盖板呢，还是与房屋水平圆木平行的侧面壁板呢？（一）背景：为何关注学生的能力表现“背景干扰现象”（前苏联B.∏.兹科娃）教师的应用题教学策略——采用逐步“隔离”背景的演变方法学生自己能否掌握这种“隔离”方法？他们自己是否具备这种“隔离”实际问题为一个数学问题的能力？学生解决标准题目和解决实际问题之间的能力的差距存在吗？

从“人字形屋”顶逐步隔离成“三角形”

我们的困惑：（二）方法与过程：

如何研究学生的能力表现1.研究问题和对象选择具体研究问题：（1）具备基础知识和基本技能的学生是否在解决实际问题中有良好的数学能力表现？（2）具备相近基础知识和基本技能的学生中，解决过实际问题的学生是否比没有解决过实际问题的学生有更好的数学能力表现？3.评价数学能力表现的工具针对具体设计问题制订了学生的能力表现评价标准。两次数学活动采用的设计问题在类型和结构上相似，一个重要的原因就是可以采用相同的能力标准作为比较研究的工具。

设计一个圆形剧场：多因素制约关系干扰——背景不可剥离

如何满足诸多技术限制条件的同时，尽可能增大放置座位的面积？学生始终要面对的是对各种制约关系的处理。座位要尽可能多，就要尽量增大安排座位的面积区域；但对于舞台直径、辐射通道、圆形通道、座位本身均有技术要求辐射通道要尽可能少，座位才会尽可能多；但每排座位数又不能多于30个比起可剥离背景的应用题，如何克服这种不可剥离背景的制约关系的干扰、作出推理和决策更富挑战性。座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域舞台座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域舞台座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域舞台1.“艰难的20分钟”——理解题意

一位教师感叹：“……竟然‘冷场’这么多时间”两位老师询问：“快20分钟了，究竟要不要给学生一些提示？”数学问题解决能力的缺失工程专用语干扰——可剥离的背景

“中心旋转舞台”、“辐射通道”、“圆形通道”、“座位纵深”背景条件相互牵制——不可剥离的背景－难以辨别出“外圈座位”是解决制约关系的突破口2.简单化为“面积计算”——处理制约关系运用面积方法投入计算：（总面积－圆形通道和辐射通道占用面积－舞台面积）÷每个座位面积把设计任务等同于常规的应用题通道数的难以确定、无法顾及每排座位数不超过30个这一制约条件3.不会使用字母表达——归纳计算公式此设计任务中，学生需要根据半径变化反复计算对应的一圈圈的圆弧长度、再除以座位宽度0.6米来计算座位数。六个小组只有两个小组运用公式表达：总体看来，A、B、C三类学生归纳计算公式的能力与其成绩正相关，但同时发现，中等学生（B类）的表现并不比A类学生差。例如，B1组学生总结出的公式比起A2组更加完整和一般化：B1组：A1组：4.“埋头就算”、讨论拘泥于计算——合作与交流成绩优的学生尤其缺乏合作意识

教师X：“他们一拿到问题埋头就算……提醒他们和其他组员讨论……”

交流内容拘泥于“计算问题”－讨论聚焦在计算数据－非常关注计算结果的准确性、而非从思路和方法的源头上质疑C1组C2组B1组B2组A1组A2组计算方法等分等分整体整体整体等分报告结果1617个1716个(出错)1649个1650个1649个1614个5.计算结果的实际意义未考虑——学生完成的报告分析六个小组中在完成报告中采用两种不同方法计算6通道方案的座位总数，这两种不同方法对实际问题的应用会产生不同的效果：符合剧场美观的实际需求：等分法（通道通道笔直）不符合剧场美观的实际需求：整体法（辐射通道锯齿状）只有A2组考虑到了剧场设计的美观效果，解释了不用整体法（座位会多出一些）、采用等分法的理由。泊车位区域体操馆泊车位区域泊车位区域泊车位区域不可剥离背景的“多因素制约关系干扰”较复杂

要泊车位尽可能多，就要尽量增大设计泊车位的面积区域；但对于辐射通道、半圆形通道、进出通道、泊车位大小均有技术要求辐射通道要尽可能少，泊车位才可能多；但每排泊车位又不能多于20个泊车位排列方式也制约了车位的数量，增加了“干扰程度”2.为圆形体操馆设计一个停车场：学生问题解决能力对比研究“可剥离背景干扰”更多除了辐射通道、半圆形通道还有泊车位间的“进出通道”、“垂直式停车”、“进出口”等①理解题意时间的比较以学生能够画出正确的草图、以开始投入最外排泊车位计算或泊车位排数计算为“理解题意”的标志，那么两类学生小组花费的时间如下所示：

A类学生B类学生C类学生开设有数学活动课的小组5分11分10分未开设数学活动课的小组36分22分29分③归纳公式表达函数关系水平的比较学生用公式表达函数关系的水平表现水平学生类型Ⅰ.解题有困难，无法找到计算方法Ⅱ.用列表方式或计算器编程反复计算Ⅲ.能够写出一般公式进行计算开设有活动课的学生087未开设活动课的学生3102

学生在计算每排的泊车位时，需要反复运用圆的周长公式计算弧长、然后用弧长除以泊车位宽度计算车位数。学生能否在此过程中能否发现这个函数关系？

从两类学生在使用公式表达函数关系三个水平上的百分比堆积图来看，开设过数学活动课的学生在较高水平III上具有明显优势。④交流与反思内容的比较

一群学生围在一起、相互说话只是外在形式，关键是学生在合作与交流的过程中能否通过倾听与回应来表达和反思自己的观点、能否通过批判与建构来汲取不同观点的有用成分。开设有活动课的学生未开设活动课的学生共同点两类学生询问最多的是有关数据计算方面的问题不同点发现优点如：“他们的车子采用尾对尾的排列方式，节省了一条通道，这个想法很好”（无）提出建议如：“你们的方案是平均分的，其实也可以尝试不平均分”（无）反思不足如：“我们以后得多观察生活中的一些东西，就像停车位的摆放情况”（无）

与未开设活动课的学生仅仅质疑计算问题相比，开设有活动课的学生在随后的集体汇报交流中还倾向于发现他人优点、提出建议和反思自身不足。1、教师观课视角走向能力为本1982年主要视角2007年主要视角目的要求根据教学大纲和教材内容，制定明确具体的教学目的按照班级实际和学生情况，使提出的教学要求恰如其分整节课的每一环节始终围绕着教学目的和要求展开，不能脱离教学主题关注技能、认知和情感，体现学生发展的目标把握学科本质，明确具体要求教学要求适合学生最近发展区尊重个性差异，面向全体学生内容组织突出重点，主次结合抓住关键，突破难点讲究教学层次，注重内容布局、连接顺序和张弛节奏的设计内容选择与目的要求相适应重点突出、容量适度且具弹性合理的知识建构方式与难点、关键的处理教学训练的有层次安排概念教学从学生原有知识出发，通过观察、类比、归纳、推理等方法形成正确概念运用适当的变式训练，使学生深刻而灵活地掌握和应用概念适当归纳，把新概念纳入学生的知识体系之中，并重视复习巩固突出基本概念，表述清晰，学生理解程度高基本技能定位正确，学生能有效掌握避免不必要的重复讲述和大运动量训练根据学生反应随时调节教学的节奏与步调（1）教师观课视角十点变化【资料】能力培养重视数学问题思考过程和方法的教学，让学生逐步掌握原理，举一反三教师通过教学指引和示范，积极影响和促进学生在智力、能力和学习品质等某些侧面的发展注重学生学习方法和学习习惯的培养利用课堂生成资源，鼓励学生质疑问难、独立思考学习情境中让学生尝试、探索、创造性解决问题针对学生行为变化灵活应变师生配合注意情感活动和认知活动的结合，创设问题情境，激发学生的认识兴趣以全班学生的可接受程度为依据，并注意从教育与发展的角度，让各类学生都能积极思维教师指导适当，学生热情配合，课堂气氛和谐教态亲切自然，接纳学生的感情学生思维活跃，能充分表达自己的观点和意见引导以学生为主体的活动，包括学生自我评价和调控师生、生生双向交流与沟通得当教法特点把教与学，讲述和探究合理地结合起来及时了解教学效果，随时调节教学其它经验和理论的正确运用注重基础知识和基本技能的启发式教学创设学习情境，引导体验探究倡导小组合作式的学习合适与必须的模型、演示或多媒体的运用教学效果学生在获得和应用知识方面显示良好的反应提问与书面检查正确率高听课教师对这节课的直觉印象好教学目的及其预定的具体要求达成度高学生在各种教学活动中热情投入，潜能得到发挥课堂时间充分利用，活动成本相对较低有利于提高后续学习的水准⑥原先主要采用“教师引导”、“学生配合”的师生合作方式，学生仍是配角；如今要求引导以学生为主体的活动，使学生真正成为学习的主人。⑦原先只是由教师及时了解教学效果，随时反馈调节；如今已进步到可由学生作自我评价和调控。⑧原先尚未提及模型、演示或多媒体的运用；如今随着现代教育技术的逐步普及，不仅广泛使用，还提出了“合适”与“必须”的更高要求。⑨原先教学效果评价仅关注当堂反应、检查和“直觉印象”；如今还关注到学生“潜能发挥”和是否有利于提高“后续学习水准”。⑩另外，如今还注意到改革进程中出现的深层次问题，如如何把握学科本质和最有学习价值的知识；关于技能训练的定位，以及避免不必要的重复讲述和大运动量训练，减轻学生过重负担；还有如何充分利用课堂时间，相对降低活动成本等。（2）权重方案侧重能力培养目的要求内容组织概念教学能力培养师生配合教法特点教学效果1982年方案0.17050.14320.16700.11740.13940.11270.14982007年方案0.17210.15520.12610.15420.13080.11560.1460权重方案25年前后比较1982年36名教师权重方案的模糊聚类结果2007年47名教师权重方案的模糊聚类结果2、学生能力目标测试喜中有忧1950年代布卢姆主编的《教育目标分类学》奠定了现代教学目标分类的基础，该书把认知目标分成知识、领会、运用、分析、综合、评价6种水平。威尔逊(J.W.Wilson)曾把布卢姆的目标分类原则引入数学学科，设计了计算、领会、运用、分析4个层次的认知目标。后来有人明确指出了布卢姆分类理论在连续性与层次性方面存在漏洞。1990年与2007年，“青浦实验”采用大样本测试结果，从初中二年级学生在数学学习中大量外显行为所表征的教学目标中析取其内隐的主要因素，由此确定目标框架的层次并研究分类的连续性。研究运用因素分析的方法。（1）两度因素分析实验建立四层次架构测试F1F2F3h210.7880.2040.1540.68620.7920.1660.1780.68730.6710.4530.0480.65840.6410.4740.1040.64750.4720.5330.1610.53360.4870.5580.0650.55370.4280.4100.4000.512表中1、2、3、4、5、6、7依次代表知识、计算、领会、运用、分析、综合、评价7种分测试。内隐主因素依次为：F1—记忆为主，F2—理解为主，F3—评判为主。这三个因素占总方差的比例分别为56.1％、3.49%和1.42%，三者相加占总方差的61.08%。1990年3000样本因析结果得到的公共因素负荷矩阵由图可见：综合与分析，尽管测试难度差别较大，但还是属于同一思维水平；同样，应用与领会看来也可以合并；至于计算与知识，在当时强调记住课本内容前提下，也可合并为同一目标。6种测试变量在两因素平面上的矢量表示运用领会综合分析知识计算测试F1F2h210.90990.27530.903720.77950.48260.840530.57380.68090.792940.58000.68660.807850.26610.91730.91232007年4349样本因析结果得到的公共因素负荷矩阵表中1、2、3、4、5依次代表计算、概念、领会、运用、分析5种分测试。内隐主因素依次为：F1—记忆为主，F2—理解为主。这两个因素占总方差的比例分别为75.78％和9.37%，两者相加占总方差的85.14%。较低认知水平较高认知水平①计算——

操作性记忆水平③领会——说明性理解水平②概念——概念性记忆水平④分析——探究性理解水平领会与运用，虽然表征的方式不同，但还是属于同一思维层次，的确可合并。在目标分类公共因素简约为记忆——理解的两维平面上，教学目标可区分为大致等距的四层次架构，如表所示。5种测试变量在两因素平面上的矢量表示1990年与2007年，前后相隔17年，取得了具有时代价值的大量数据资料，它是一段历史的见证。前期7种认知水平，后期归并为5种水平，测试题中约有1/3保持原貌，另有2/3提高了难度。被测学生计算知识/概念领会运用分析综合评价总得分率(%)1990300067.1963.9647.1141.3323.8444.2829.1745.27%2007434984.0775.2854.8251.0028.9658.83%●尽管总体难度有很大提高，但多数分测试成绩与总分都有较大幅度的提高，总平均得分率从45.27%提升到58.83%，课堂教学的实效有了显著提高，十余年来的进步有目共睹。（2）学生认知水平显著提高（3）点面、城乡差距明显缩小●早年青浦地区少量先进典型与巨大落后面并存的局面已经改变，从学生认知水平看过去所谓的点与面、城与乡的差

距明显缩小。●计算与概念层面的水平大幅度提高；领会水平的目标已经基本达成；但分析水平，即分析问题和解决问题的能力，尚无明显提高，应成为今后数学课堂和教学改革要着力突破的重点内容。（4）问题解决能力风景依旧数学教学目标水平测试17年前后比较【资料】学生性别差异的比较●从能倾类型分析，1990年男生的探究能力、理解能力总体优于女生，女生则在记忆能力上占有优势。2007年出现明显的反过来的走势。这些突出变化，值得进一步研究。 已有知识新的知识建立联系 合理实质

奥苏贝尔：知识固着点的性质换一个形式检验我国教师：合适的“潜在距离”正确的“变式演练”

作“铺垫”是成功的奥秘是有效手段接受式学习（书中学，明言知识为主）1、两种方式的比较

已有“工具”新的“任务”自行整合

参与度完成度活动式学习（做中学，默会知识为主）皮亚杰：活动内化理论教师：探究学习、问题解决学习、项目学习等（过程档案分析）（“作品”分析）……（1）注重技巧的原行为①商、余数的“名数”易错易混，因此先要区分包含除与等分除

17(人)÷8(人)=2(桌)……1(人)17(人)÷2(桌)=8(人)……1(人)●纠缠于枝节，未突出“有余数”这个要点②“试商”是关键性技巧，因此先要训练括号里最大能填几

6×()＜4113×()＜41●技巧性铺垫，未关注试商的实际意义③最后要学生寻找规律，学生都说“不知道”●忘记了对小学生来说“数学就是生活”16÷5=3……117÷5=3……218÷5=3……319÷5=3……4余数(1、2、3、4)与除数(5)比较大小，得出余数小于除数2、简单情境中的认知——数学化课例：除法就是分豆子……代数项图Ⅰ图Ⅱ图Ⅲ图Ⅳ…a214916b249