自动控制理论-第2章

第二章系统的数学模型自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第1页!基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第2页!数学模型——描述系统中各变量关系的数学形式与方法。是经典控制与现代控制理论的基础。微分方程传递函数结构图（方框图）信号流图频率特性状态空间描述等自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第3页!动态物理系统建立微分方程拉氏变换求解微分方程分析系统性能系统设计传递函数分析系统性能系统设计自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第4页!列写基本步骤：分析各元件的工作原理，明确输入、输出量建立输入、输出量的动态联系消去中间变量标准化微分方程单变量线性定常系统：输出在左，输入在右，降阶排列。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第5页!例2-1-3自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第6页!将微分方程标准化自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第7页!线性方程的求解：研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法和数值求解。在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。[拉氏变换求微分方程解的步骤]：①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。线性方程的求解自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第8页!

为什么要引入Laplace变换？

控制系统的微分方程，是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应，这种方法比较直观，尤其是借助于电子计算机，可迅速而准确地求解结果。但是，如果系统中某个参数变化或者结构形式改变，则需要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析与设计。用拉氏变换将线性常微分方程转化为易处理的代数方程，可以得到系统在复数域中的数学模型，称为传递函数。它不仅可以表征系统动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论广泛应用的频率法和根轨迹法，就是在传递函数基础上建立起来的。因此，拉氏变换成为自动控制理论的数学基础。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第9页!动态物理系统建立微分方程代数方程微分方程时域解复域解时域复域Laplace变换代数运算Laplace反变换积分运算烦！易！自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第10页!一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：⑴t<0时，f(t)=0；⑵t≥0时，f(t)分段连续；⑶。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第11页!常用函数的拉氏变换自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第12页!常用函数的拉氏变换自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第13页!常用函数的拉氏变换自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第14页!常用函数的拉氏变换自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第15页!常用函数的拉氏变换自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第16页!常用函数的拉氏变换单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：其他函数可以查阅相关表格获得。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第17页!典型信号的拉氏变换（2）自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第18页!⑹终值定理：⑺卷积定理：自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第19页!求拉普拉斯反变换的部分分式展开法若可以部分分式展开为则可以查表得到反变换自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第20页!S平面上的零极点分布

表示零点表示极点为实数零极点，

为共轭复数零极点

自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第21页!

（1）系数叫做极点上的留数，用（）乘上方程（1）的两边，并且令，即可求得的值。

自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第22页!例解：由于分子阶次m大于分母阶次n，用分母除分子，得：则：自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第23页!例自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第24页!自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第25页!2.掌握Laplace变换几个基本定理（1）线性定理:（2）微分定理:若初始条件均为0，则自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第26页!3.掌握Laplace反变换基本方法常见形式，部分分式展开成：则由线性定理可知：部分分式展开法：1、只包含不同极点2、包含重极点3、具有共轭复数极点自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第27页!系统微分方程输入r(t)输出c(t)系统微分方程的拉氏变换输入R(s)输出C(s)=输入R(s)*系统微分方程的拉氏变换输出C(s)输出c(t)=输出C(s)的拉氏反变换自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第28页!例:求下列微分方程的解x(t):解：设对方程两边取拉普拉斯变换，则得

利用初始条件，可得

解得

取拉普拉斯逆变换，最后可得

自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第29页!取拉普拉斯逆变换，最后可得：这就是所求微分方程得解。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第30页!2.3传递函数自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第31页!利用传递函数：不必求解微分方程就可以研究零初始条件下系统在输入作用下的动态过程。了解系统参数或结构变化时对系统动态过程的影响---分析可以将对系统性能的要求转化为对传递函数的要求---综合自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第32页!线性定常系统在零初始条件下,根据拉氏变换的微分定理,有⑵微分定理：自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第33页!自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第34页!关于传递函数的几点说明:(1)适用于线性定常系统；(2)是抽象的数学模型,不反映具体物理属性；(3)实际物理系统对应的传递函数，分子分母均是s的有理多项式；(4)实际物理系统对应的传递函数m＜n；(5)虽然传递函数定义为输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，但是传递函数是一个系统的固有特性，与系统的具体输入和输出无关。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第35页!传递函数的几种标准表达方式:零极点模型若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若为共轭复极点，则：或其系数由或求得；自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第36页!传递函数的几种标准表达方式:时间常数模型或：自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第37页!（二）惯性环节：时域动态方程：传递函数：当输入为单位阶跃函数时,有，可解得： ，式中：k为放大系数，T为时间常数。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第38页!

有一个0值极点。k表示比例系数，T称为时间常数。

（三）积分环节：时域动态方程：传递函数：0S平面Im0自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第39页!上述传递函数有两种情况：当时，可分为两个惯性环节相乘。即：传递函数有两个实数极点：自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第40页!（五）微分环节：微分环节的时域形式有三种形式：①②③分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第41页!（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。如右图所示。其传递函数为：延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：或r(t)tc(t)t自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第42页!例.如图所示的RLC无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试求输入电压ui(t)与输出电压uo(t)之间的传递函数。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第43页!对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的步也是最重要的一步。建模方法：1.解析法（理论建模）2.实验法（系统辨识）定常系统：系统物理参数不随时间变化；集总参数系统：系统物理参数不随空间位置变化；本书研究的系统基本均为定常、集总参数系统。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第44页!2.1控制系统微分方程的建立自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第45页!由②：，代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。①②[解]：据基尔霍夫电路定理：输入输出LRCi[例2-1-1]：写出RLC串联电路的微分方程。例2-1-1自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第46页!自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第47页!T称为时间常数，为阻尼比。显然，上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。令，即，则式可写成同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第48页!2.2拉普拉斯变换自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第49页!拉普拉斯法是一种解线性微分方程的简单运算方法。1、微分、积分可用复数平面内的代数运算来取代。2、线性微分方程可转成复变量s的代数方程。3、微分方程的解可用拉普拉斯变换表和部分分式展开法求得。4、拉普拉斯法解微分方程时可同时获得解的瞬态分量和稳态分量。5、拉普拉斯法可用图解法预测系统的性能，无须实际求解系统的微分方程。

自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第50页!拉普拉斯变换设函数f(t)当时有定义，而且积分在s(s=σ+jω)的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为

我们称上式为函数f（t）的拉普拉斯变换式，记为F(s)=L[f(t)]=即L[f(t)]=F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换（或称为象函数）。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第51页!常用函数的拉氏变换自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第52页!常用函数的拉氏变换自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第53页!常用函数的拉氏变换自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第54页!常用函数的拉氏变换自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第55页!常用函数的拉氏变换自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第56页!常用函数的拉氏变换单位脉冲A=1,称为δ(t)函数,拉氏变换为1。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第57页!数学预备知识：拉氏变换典型信号的拉氏变换（1）自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第58页!⑴线性性质：⑵微分定理：⑶积分定理：（设初值为零）⑷时滞定理：⑸初值定理：②性质：拉氏变换的性质自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第59页!拉普拉斯反变换从拉普拉斯变换F(s)求时间函数f(t)的反变换过程称为拉普拉斯反变换。拉普拉斯反变换的符号是，可以通过下列反演积分，从F(s)求得拉普拉斯反变换：对t>0式中，c为实常量，它选择的实部比F(s)所有奇点的实部都大。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第60页!当s=-z1,s=-z2,s=-zm…….时，F(s)=0所以称s=-z1,s=-z2,s=-zm为F(s)的零点当s=-p1,s=-p2,s=-pn…….时，F(s)=∞所以称s=-p1,s=-p2,s=-pn为F(s)的极点自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第61页!只包含不同极点的F(s)的部分分式展开

展开为自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第62页!

=t>=0例自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第63页!２、包含多重极点的F（s）的部分分式展开式

设A(s)=0只含r重实根，则F(s)可写成：其中：自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第64页!自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第65页!拉氏变换与反变换重点1.掌握典型环节Laplace变换与反变换形式自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第66页!（4）终值定理:（3）积分定理:若初始条件均为0，则自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第67页!5、线性微分方程的求解：

研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。系统微分方程输入r(t)输出c(t)自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第68页!解线性定常微分方程步骤：1.对微分方程中的每一项进行拉普拉斯变换，将微分方程转变为s的代数方程,.然后整理代数方程，即可得到应变量拉普拉斯变换的表达式。2.微分方程的时间解可通过求应变量的拉普拉斯反变换得到。自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第69页!例：求下列微分方程的解x(t)：解：设，对方程两边取拉普拉斯变换并考虑初始条件，得：解得：为了求X(s)的逆变换，将它们写成部分分式的形式：自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第70页!

这一方法将在第三章中使用！自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第71页!

传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。系统的传递函数可以通过系统的微分方程进行拉氏变换得到。

自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第72页!传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。式中：r(t)—输入，c(t)—输出为常系数设系统或元件的微分方程为：自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第73页!设系统或元件的微分方程为：对方程两边取拉氏变换：自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第74页!注意:但是:自动控制理论-第2章共84页，您现在浏览的是第75页!传递函数的几种标准表