2017高等代数第4章课件

Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-§4.4可逆矩三、初等变换法四、初等变换法一、可逆矩阵及矩阵可逆的充分必要条引言一元一次方程ax=c，当a0时，两边乘以1/a，而显然1/a满足

1aa1 设A,C是已知矩阵，X是未知矩阵，则AX=C称为矩阵Zhanglizhuo- 则称A是可逆矩阵(或非奇异矩阵)Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-定义2如果A是可逆矩阵，则适合(1)式的矩阵B于是，如果A可逆，AA-1=A-由(2)式可知，A-1也是可(A-1)-

Zhanglizhuo-【证】如果A是可逆矩阵，则它有逆矩阵A-1AA-从而有AA-1E，从而AA-1=1，因此A0。上述必要条件A0是不是充分条件？即如果A0A可逆Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-第1列，A的第2行元素的代数式写成第2列A的第n行元素的代数式写成第n列，组成矩

n2, nn称它为矩阵A的伴随矩阵，记成A*利用行列式按1

An1

AA

2n

n2

nA0A000A000A

nn

nn

E利用行列式按1即有如下结

于是，如果A0 AAAAAAA 从而A是可逆矩A-11A Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-例1判断A是否可逆？若可逆，求A-1 A 1 33 33 【解

A

120，所以A-1存在 12,

13, 2

同理可得A21=6,A22=-6,A23=2,A31=-4,A32=5,A33=- A 5 2 2 4 2故A-11A1 5 2

53

2

1 【注】利用伴随【注】A可逆的充要条件是AX=O(AX=)只有零(唯一)Zhanglizhuo-因此A0B0，于是A,B都可逆，在AB=E的两端左乘A-1A-1AB=A-由此得出，B=A-1，从而B-1=(A-1)-1=A。 Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-例2判断对角矩阵 0

d2 0000000000

n

dnd

0d1d

2 02 d1 iji【解】由于对单位矩阵E相继施以两次初等行变换ijijj仍得到E

+(-P(j,i(-k))P(j,从而P(ji(k))可逆，并且P(ji(k))-1=P(ji(-k))同理P(ij)P(ij)=E，P(ij)可逆，并且P(ij)-1=P(ij)P(i(k))P(i(1/k))=E，P(i(k))可逆，且P(i(k))-1=P(i(1/k))初等矩阵都可二、可逆矩阵的性质2如果A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A。性质3如果n级矩阵AB都可逆，则AB也可逆，且(AB)-1=B-1A-1【证】(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=EAB可逆，且(AB)-1=B-1A-1。【推广】如果n级矩阵A1,A2,…,Am都可逆，则 Am-1…A1。- - -【证】因A可逆，所以A-1(AT)(A-1)T=(A-所以AT也可逆，且(AT)-1=(A-1)T。【注】若A可逆，数0，则A也可逆，且(A)-1=-1A-1【证】设n级可逆矩阵A 0 J 0 1 性质6矩阵A可逆的充些初等矩阵之P1Pt，使 因此A=(Pt…P1)-1=P-1…P Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-性质7用一个可逆矩阵左(右)乘矩阵A，不改变A【证】设P是可逆矩阵，依性质6，有初等矩阵P1,…,使 从 【注】若Q是可逆矩阵，则rank(AQ)=rank(A)Zhanglizhuo-【证】由题P,Q均为可逆矩阵，依定理 Zhanglizhuo-【证】由题设，A可逆又因E+AB从而E+BA可逆(E+BA)-1=A-1(E+AB)-1AZhanglizhuo- 1

2

【解】A

1

0

2

0 0

0 1 1 1 2 01 0

0

01 2 1A3 1

313

2 1 2 Zhanglizhuo-三、初等变换法矩阵矩阵P1,P2,…,Pm，使得A- (3)式两端右乘

P1P2…PmE=A- 由上述(5),(4)式知，如果用一系列初等行变换把矩阵化为E，则同样的这些初等行变换就可把E化成A-1Zhanglizhuo-(AE)初等行变

(EA-这种求逆矩阵的方法称为初等变换法Zhanglizhuo- 例6设A

1，求A-1 【解】对矩阵(A:E)作初 00AE 0

A- 1 2

3

52=(EA-0 0

1Zhanglizhuo-矩阵P1,P2,…,Pt，使得A-

由(67)式可知，我们可以把A与E上下放在一起，组E

A1Zhanglizhuo-四、初等变换法性质6，存在初等矩阵P1,P2,…,Pm，使得A- 在(3)式两端右乘A，E=P1P2…Pm- (89)式表(AB)初等行变换(EA-Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-例7求矩阵X，使AX=B 5A 1, B 1 【分析】因为A0，因此A可逆，所以X=A-X=A-1B【法一】先求出A-1，再求A-(AE)初等行变【法二】直接求A-

(EA-(AB)初等行变换(EA-0012300123

(AB)

1 3 3

30 30 2即所 X=A-1B 3设B是mn矩阵，A是n级可逆矩阵，则A-1A-在(3)式两端左乘B，BA-1=BP1P2…Pm-1Pm，(10),(11)式表明，

A B

BA1或 (ATBT)初等行变换(E(BA-Zhanglizhuo-解矩阵方程的初设A,C均为可逆矩阵，BAX=BX=A-(AB)初等行变换(EA-XC=BX=BC-C列 B BC1 AXC=BX=A-1BC-(AB)初等行(EA-

列

.A1BC1. Zhanglizhuo-【证】由A2+2A-3E=OA1(A2E)A

1A(A2E)或 所以A为可逆矩A11A3A+2EA2E113Zhanglizhuo-若方阵AA2+2A-3E=O，问A-2E【解】由A2+2A-3E=O得(A+4E)(A-2E)=-1(A+4E(A2E)E,(A+4E1(A2E55 55 故A-2E可逆，A2E11A5同时A+4E可逆，5【注】注意解矩Zhanglizhuo-若方阵A满足A2+2A-3E=O，问A+nE可逆吗(n为整数当n3且n-1时，A+nEAnE1

(n3)(n

Zhanglizhuo-若A为幂零矩阵，满足Am=O，则矩阵E-A(E-A)-1=E+A+A2+…+Am-2+Am-1【证】因为单位矩阵E(E-A)(E+A+A2+…+Am-2+Am-1)=Em-Am=EZhanglizhuo-Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-例10如果方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩若A是幂等矩阵，则对于正整数m(m>1)，矩阵A-mE可逆(A-mE)-1证明方法同例8

m(m

(A(m例11设3阶矩阵AB满足A1BA6ABAA

1

17求矩阵B 【解】由题设A可逆，等式两端右乘A-1，整(A-1-

先化简求 0 B=6(A-1-E)-1

1/

1/ 例1