高一数学第三09.讲稿及达

第三讲数的单调性与最Dx1，x2x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上Dy＝f(x)的单调区间．y＝f(x)IMMM题型一例 (1)判断函数f(x)＝ax(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性 (2)y＝x2＋x－6 (1)设－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝ax1－12 12axx2－ax－ax ax－xxx＝1 2 1 1212又(2)u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6y＝uu＝x2＋x－6的复合函数．u＝x2＋x－6≥0x≤－3x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)y＝u在[0，＋∞)∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为思维升华(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用y＝f[g(x)]y＝f[g(x)]必为减函数．

＋x(a>0)在(0，＋∞) f(x)－f(x)＝(xa

a x1－x2(xxx x1

＝ 12x0<x1<x2≤a时，0<x1x2<axf(x1)－f(x2)>0f(x1)>f(x2)f(x)在(0，a]上是减函数；当a≤x1<x2时，x1x2>ax1－x2<0，f(x)在[a，＋∞)综上可知，函数 a(a>0)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上为增函数题型二例2如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是

．a 1

答 解 (1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为

，且－a1思维升华已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该＝若f(x)＝－x2＋2ax与 a在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( ＝ 答案(1)D解析(1)f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得 ∵y＝1(－1，＋∞)上为减函数，∴由g 题型三例 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1)＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时 x证明x1，x2∈(0，＋∞)x1>x2，则x2x>1时，f(x)<0fx1<0f(x1)－f(x2)<0 由f(x1)＝f(x)－f(x)得 912f(12 思维升华(1)fxx1，x2f(x1)－f(x2)0的大小，或fx1fx2xx2函数函数 ＝

答 解

1

即1

＝ 典例：f(x)m、n∈Rf(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1x>0f(x)>1.(1)求证：f(x)R上是增函数；思维点拨(1)f(x2)－f(x1)0比较大小．(2)是本题的切入点．要构造出(1)证明x1，x2∈R∵x>0∴f(x)R ∵f(x)R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，a∈(－3,2)．答题模第一步：(定性)f(x)在给定区间上的单调性；))

＝f(x2－x1)－1f(M)<f(N)的形式．解决M、Nf(x)所在的单调区间的约束.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大的区间，后者是前者“最大”x若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)f(x)＝1.x第三 达标训练已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是

答 解 当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数 a≠0时，由

0<a≤4a f(x)R上的减函数，则满足

的实数x的取值范围是 答 ，即x解 依题意得 ，即x

xx>1定义新运算“”：当a≥b时 答 解 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1<x≤2时∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．∴f(x)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调增区间 答 解 设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或所以函数的定义域为t＝x2－2x－3x＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调y＝t在[0，＋∞)上单调递增． 答 解 由已知可得

解得－3<a<－1a的取值范围为

(2,)上是增函数，那么a的取值范围 ＝答 ＝ 解

＝a－x＋2a

已知函数 若 2]，求a的值在，上的值域是， 在，上的值域是，证明x2>x1>0∵f(x)－f(x

＝ ＝

x1

在，上的值域是 在在，上的值域是 在∴ 已知函数 2，x 2－( 2 2x2－x1 ＝－x1＋1x2＋1f(x1)－f(x2)＜0f(x1)＜f(x2)，1 f(x)在区间[0,2]f(1 x，

是R上的减函数，那么a的取值范围是 答

解 由题意得

f(x)＝

a>0f(x)在(1，＋∞)a 证明任取x<x<－2，则f(x)－f(x x1 x2 2x1－x

，即 f(x)－f(x x1－x2 ax2－x1 .∵a>0，x－x ∴f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．

x∈[1，＋∞)，f(x)>0a 2x1≤x1<x2f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)(1－12x1∵1≤x1<x2，∴x2－x1>0,2x1x2>2