2022-2023学年九年级上学期数学同步精讲（北师大版）1.4《特殊平行四边形》重难题型

1.4《特殊平行四边形》重难题型同步教材划重点【知识网络】菱形知识点01平行四边形.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形..性质：(1)对边平行且相等；(2)对角相等；邻角互补；(3)对角线互相平分；(4)中心对称图形..面积：S平行四边形=底*高.判定：边：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形.边与角：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：(7)对角线互相平分的四边形是平行四边形.【点石成金】平行线的性质：(1)平行线间的距离都相等；(2)等底等高的平行四边形面积相等.知识点02菱形.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形..性质：(1)具有平行四边形的一切性质；(2)四条边相等；(3)两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角;(4)中心对称图形，轴对称图形..面积：S菱形=底.高二对角线;对角线.判定： /\一组邻边相等的平行四边形是菱形；D(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)四边相等的四边形是菱形.知识点03矩形.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形..性质：(1)具有平行四边形的所有性质；(2)四个角都是直角；(3)对角线互相平分且相等；

(4)中心对称图形，轴对称图形.3.面积：S矩形=长、宽.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.【点石成金】由矩形得直角三角形的性质：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.知识点04正方形.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形..性质：(1)对边平行；(2)四个角都是直角；(3)四条边都相等；(4)对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；(5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；(6)中心对称图形，轴对称图形..面积：S正方形=边长X边长=；X对角线X对角线.判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；一组邻边相等的矩形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形：(4)对角线互相垂直的矩形是正方形；(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；(6)四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典例分析】【典例1】已知，4ABC中，ZBAC=45°,以AB为腰以点B为直角顶点在4ABC外部作等腰

直角三角形ABD,以AC为斜边在AABC外部作等腰直角三角形ACE,连结BE、DC,两条线段相交于点F,试猜想NEFC的度数并说明理由.【解析】【解析】解法•：作DH〃BE交EA延长线于H,连接CH作CG〃BE交易证四边形BEHD作CG〃BE交在△CEH与4EAB中CE=AE<ZCEH=ZEAB=90HE=BD=AB.-.△CEHsAEAB(SAS).-.CH=BE=DH,ZCHE=ZABEZCHD=90ZEFC=ZCDH=45AB的延长线于G,连接DG,,•,△ABC与AACE都是等腰直角三角形,.".ZEAB=ZCAE+ZCAB=90°.又NAEC=90°,.'.AB/ZCE....四边形BECG为平行四边形，,\CE=GB,又AE=EC,；.GB=AE.SABGD^AAEB中，DB=AB,ZDBG=ZBAE=90",GB=AE,ABGD^AAEB(SAS)1.\ZGDB=ZABE,BE=DG.•••平行四边形BGCE,NABE=NAGC,BE=GC,

Z.ZGDB=ZAGC,GC=DG.ZDGC=ZDGA+ZAGC=ZDGA+ZGDB=90°于是△CZX7是等腰直角三角形，问题得解.所以NEFC=NDCG=45°问题得解.【总结】通过做平行线，构造平行四边形，再证明全等，使【变式1】如图，在aABC中，NACB=90°,NB>NA,点D为边AB的中点，DE〃BC交AC于点E,CF〃AB交DE的延长线于点F.（1）求证：DE=EF；（2）连结CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,求证：ZB=ZA+ZDGC.【点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC,再证明DE=、3C,进而得到EF='cB,即可证|||1）卜：-卜万：2 2（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得NADG=NG,再证明NB=NDCB,NA=NDCA,然后再推出N1=NDCB=NB,再由NA+NADG=N1可得NA+NG=NB.【解析】证明：（1）VDE/7BC,CF〃AB,二四边形DBCF为平行四边形，DF=BC,VD为边AB的中点，DE〃BC,DE=-BC,,EF=DF-DE=BC--CB=-CB,2 2 2

/.DE=EF；(2)VDB//CF,ANADG二NG,ZACB=90°,D为边AB的中点，CD=DB=AD,AZB=ZDCB,ZA=ZDCA,DG±DC,ZDCA+Z1=90°,ZDCB+ZDCA=90°,Z1=ZDCB=ZB,NA+NADG=N1,/A+NG二NB.【总结】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出/ADG=NG,Z1=ZB.掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.【典例2］如图，平行四边形ABCD中，AB±AC,AB=1,BC=石.对角线AC,BD相交于点0,将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC,AD于点E,F.(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数.【点拨】(1)当旋转角为90°时，ZA0F=90",由AB_LAC,可得AB〃EF,即可证明四边形ABEF为平行四边形；(2)证明△AOFgZXCOE即可：(3)当EFJ_BD时，四边形BEDF为菱形,又由AB_LAC,AB=L年=有,易求得OA=AB,即可得NA0B=45°,求得NA0F=45°,则可得此时AC绕点0顺时针旋转的最小度数为45°.【解析】(1)证明：当NA0F=90°时，AB〃EF,

又AF〃BE,四边形ABEF为平行四边形.(2)证明：:四边形ABCD为平行四边形,；.AO=CO,ZFAO=ZECO,ZAOF=ZCOE..,.△AOF^ACOE.*.AF=CE(3)四边形BEDF可以是菱形.理由：如图，连接BF,DE,...EF与理由：如图，连接BF,DE,...EF与BD互相平分.由(2)知△AOFgZ\COE,得OE=OF,...当EF1BD时,四边形BEDF为菱形.在Rt^ABC中，AC= =1=2,,,.OA=1=AB,又AB_LAC,/.ZAOB=45",AZAOF=45",.••AC绕点。顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形.【总结】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.【变式2】如图，四边形ABCD是菱形，CE_LAB交AB的延长线于点E,CFLAD交AD的延长线于点F,求证：DF=BE.［点拨］A RF.连接AC,根据菱形的性质可得AC平分NDAE,CD=BC,再根据角平分线的性质可得CE=FC,然后利用HL证明RtACDF^RtACBE,即可得出DF=BE.【解析】证明：连接AC,

•.•四边形ABCD是菱形，；.AC平分NDAE,CD=BC,VCE±AB,CF±AD,.•.CE=FC,ZCFD=ZCEB=90°在RtACDF与Rt^CBE中，fCD=CBIcf=ce'.\DF=BE.ARtACDF^RtACBE(HL),.\DF=BE.【总结】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并口每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.同时考查了全等三角形的判定与性质【典例3】在DABCD中，对角线AC、BD相交于点0,BD=2AB,点E、F分别是0A、BC的中点.连接BE、EF.A DA D图① 图⑵ (1)求证：EF=BF；(2)在上述条件下，若AC=BD,G是BD上一点，且BG：GD=3：1,连接EG、FG,试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论.【点拨】(1)根据平行四边形性质推出BD=2B0,推出AB=BO,根据三线合一定理得出BE,AC,在4BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可：(2)根据矩形性质和己知求出G为01)中点，根据旧中位线求出卜：(；〃AD,EG=，BC,求2出EG〃BC,EG=-BC,求出BF=EG,BF/7EG,EG=GF,得出平行四边形，根据菱形的判定推2出即可.【解析】

(1)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形,/.BD=2B0,VBD=2AB,/.AB=BO,*.'E为OA中点,/.BE±AC,/.ZBEC=90°,•••F为BC中点,.,.EF=BF=CF,即EF=BF；(2)四边形EBFG是菱形，证明：连接CG,四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,二四边形ABCD是矩形，，AD=BC,AB=CD,AD〃BC,BD=2BO=2OD,/.BD=2AB=2CD,.•.OC=CD,VBG：GD=3：1,OB=OD,.*.G为OD中点，.'.CG±OD（三线合一定理），BPZCGB=90°,为BC中点，.".GF=-BC=-AD,2 2为OA中点，G为OD中点,AEG>7AD,EG=-AD,2：.EG//BC,EG=-BC,2为BC中点,.\BF=-BC,EG=GF,2即EG〃BF,EG=BF,...四边形EBFG是平行四边形,VEG=GF,...平行四边形EBFG是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).【总结】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.【典例4】如图1,已知AB〃CD,AB=CD,ZA=ZD.(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)E是AB边的中点，F为AD边上一点，/DFC=2NBCE.【解析】(1)证明：VAB/7CD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形，VZA=ZD,ZA+ZD=180°,AZA=90°,四边形ABCD为矩形，(2)解：①延长DA,CE交于点G,:四边形ABCD是矩形，AZDAB=ZB=90",AD〃BC,AZGAE=90°,NG=NECB,是AB边的中点,.'.AE=BE,2g二NECB在AAGE和aBCE中，＜NGAE=NB二90°，AE二BE.'.△AGE^ABCE(AAS),AAG=BC,VDF=1.6,F为AD中点，ABC=3.2,JAG=BC=3,2,AFG=3.2+1.6=4.8,VAD#BC,ZDFC=ZBCF,ZDFC=2ZBCE,AZBCE=ZFCE,VAD/7BC,AZBCE=ZG,ACF=FG=4.8；②若CE=4,CF=5,由①得：AG=BC,CF=FG,GE=CE=4,AG=AD,ACG=8,AF+BC=AF+AG=FG=CF=5：故答案为：5；设DF=x,根据勾股定理得：CD=CF2-DF=CG2-DG2,即52-x2=82-(5+x)2,7解得：x二一，5,c732・・DG=5+———，55.*•AD——DG——»2 59，AF-AD-DF二一；59故答案为：一.5D【总结】本题考查/矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度.【变式3】已知：如图，D是AABC的边AB上一点，CN〃AB,DN交AC于点M,MA=MC.①求证：CD=AN；②若NAMD=2NMCD,求证：四边形ADCN是矩形./ \ 【点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出ndac=nnca,/V然后利用“角边角”证明AAMD和ACMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CN,然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的•个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出NMCD=NMDC,再根据等角对等边可得MD=MC,然后证明AC=DN,再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证.【解析】证明：①；CN〃AB,.,.ZDAC=ZNCA,在△AMD和4CMN中，[NDAC=NNCA•：\ma=mc,[^AMD=ZCMN：.AAMD^ACMN(ASA),.,.AD=CN,XVAD/7CN,四边形ADCN是平行四边形,/.CD=AN；②•.•NAMD=2NMCD,ZAMD=ZMCD+ZMDC,.,.ZMCD=ZMDC,.,.MD=MC,由①知四边形ADCN是平行四边形，.•.MD=MN=MA=MC,r.AC=DN,...四边形ADCN是矩形.【总结】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等.【典例4】如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DE_LAC于点E,DF_1BC于点F.(1)求证：DE=DF；(2)当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？请说明理(1)由CD垂直平分线AB,可得AC=CB,得出NACD=NBCD,再由NEDC=NFDC=90°,可证得△ACDg^BCD,得出CE=CF即可；(2)先证明四边形CEDF是矩形，再证出因此AB=2CD时，四边形CEDF为正方形.【解析】(1)证明：；CD垂直平分线AB,/.AC=CB..••△ABC是等腰三角形，VCD1AB,ZACD=ZBCD.VDE1AC,DF±BC,ZDEC=ZDFC=90°NEDC=NFDC,rZACD=ZBCD在ADEC与ADFC中，＜CD=CDZEDC=ZFDC.'.△DEC^ADFC(ASA),.,.DE=DF；(2)解：当AB=2CD时，四边形CEDF为正方形.理由如下:VAD=BD,AB=2CD,.'.AD=BD=CD..•.NACD=45°,NDCB=45°,/.ZACB=ZACD+ZBCD=90°,...四边形DECF是矩形.XVDE=DF,【总结】此题主要考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定、矩形的判定等知识点；熟练掌握正方形的判定，证明三角形全等是解决问题(1)的关键.【变式4】如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF_LAE交NDCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.=ZHAD=ZDCE=90°,推出NHAE=NCEF,根据△HEB是以NB为直角的等腰宜角三角形,得至l]BH=BE,ZH=45°,HA=CE,根据CF平分NDCE推出N1I=NFCE,根据ASA证△【从£丝ZXCEF即可得到答案.【解析】

探究:AE=EF证明：为等腰直角三角形，.\ZH=ZHEB=45°,BH=BE.又...CF平分NDCE,四边形ABCD为正方形，.'.ZFCE=-ZDCE=45",2.*.ZH=ZFCE.由正方形ABCD知/B=90°,NHAE=90°+/DAE=90°+ZAEB,而AE_LEF,.,.ZFEC=90°+ZAEB,，ZHAE=ZFEC.由正方形ABCD知AB=BC,.,.BH-AB=BE-BC,.*.HA=CE,/.△AHE^AECF(ASA),.,.AE=EF.【总结】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.【跟踪训练】1.如图，在oABCD中，E,F两点在对角线BD上运动（E,F不重合），且保持BE=DF,连接AE,CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由.【解析】解：【解析】解：AE=CF,AE〃CF.理由如下:•.•四边形ABCD是平行四边形,/.AB=CD,AB/7CD.NABE=NCDF.又；BE=DF,/.AABE^ACDF..\AE=CF,ZAEB=ZCFD.VZAEB+ZAED=ZCFD+ZCFB=180",AZAED=ZCFB..,.AE/7CF,.如图，在菱形ABCD中，ZB=60",动点E在边BC上，动点F在边CD上.(1)如图①，若E是BC的中点，ZAEF=60°,求证：BE=DF；(2)如图②，若NEAF=60°,求证：ZXAEF是等边三角形.

ADAADABECBEC① ② 【解析】证明：（1）连接AC.•・・在菱形ABCD中，NB=60°,AB=BC=CD,.\ZBCD=180°-ZB=120°,AABC是等边三角形.又YE是BC的中点，，AE，BC.:/AEF=60°,AZFEC=90°-ZAEF=30°./.ZCFE=180°-ZFEC-ZBCD=180°-30°-120°=30°./.ZFEC=ZCFE..\EC=CF.ABE=DF.⑵连接AC.由（1）知AABC是等边三角形，・・・AB=AC,ZACB=ZBAC=ZEAF=60°.AZBAE=NCAF.VZBCD=120°,ZACB=60°,.\ZACF=60°=ZB..'.△ABE^AACF.AAE=AF.AAAEF是等边三角形..在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F,垂足为0.⑴如图①，连接AF,CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长.(2)如图②，动点P,Q分别从A,C两点同时出发，沿4AFB和4CDE各边匀速运动一周，即点P自A-FfB-A停止，点Q自CfDfEfC停止.在运动过程中，已知点P的速度为5cm/s,点Q的速度为4cm/s,运动时间为ts,当以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边AAD/7BC.【解析】解：(I)：四边形ABCD是矩形,AAD/7BC.【解析】解：(I)：四边形ABCD是矩形,AZ0AE=Z0CF,ZAE0=ZCF0.〈EF垂直平分AC,垂足为0,A0A=0C..•.△AOE^ACOF