时间数列分析课程课件

96例：上海市人均国内生产总值年份 人均GDP1991 69551992 86521993 11700 1994 15204 1995 18943 1996 22275 9192939495100001500020000250005000时间数列动态数列时间序列统计数据按时间先后顺序排列而形成的一种数列。

第八章时间数列分析96例：上海市人均国内生产总值年份 人均GDP1991 一、时间数列的种类和编制方法二、时间数列分析指标三、长期趋势的测定四、季节变动的测定五、时间数列预测方法主要内容

第八章时间数列分析一、时间数列的种类和编制方法主要内容第八章时间数列分第一节时间数列的种类与编制方法

一、时间数列的种类第八章按数据的形式不同绝对数时间数列相对数时间数列平均数时间数列按数据的性质与形态不同纯随机型时间数列非纯随机型时间数列第一节时间数列的种类与编制方法一、时间数列的种类第八章第一节时间数列的种类与编制方法

一、时间数列的种类派生时间数列绝对数数列相对数数列平均数数列时期数列时点数列第八章（一）按数据的形式不同分为绝对数、相对数和平均数。第一节时间数列的种类与编制方法一、时间数列的种类派生时年份199219931994199519961997职工工资总额（亿元）3939.24916.26656.48100.09080.09405.3年末职工人数（万人）147921484914849149081484514668男性人口占总人口的比重(％)51.0551.0251.1051.0350.8251.07职工平均工资（元）271133714538550062106470一、时间数列的种类

年份199219931994199519961997职时期指标时间序列具有以下特点：A：可加性，不同时期的总量指标可以相加；B：指标值的大小与所属时间的长短有直接关系C：指标值采用连续统计的方式获得。时期数列与时点数列时期指标时间序列具有以下特点：时期数列与时点数列时期数列与时点数列时点指标时间序列具有以下特点：A：不可加性。不同时点的总量指标不可相加，这是因为把不同时点的总量指标相加后，无法解释所得数值的时间状态。B：指标数值的大小与时点间隔的长短一般没有直接关系。在时点数列中，相邻两个指标所属时间的差距为时点间隔。C：指标值采用间断统计的方式获得。时期数列与时点数列时点指标时间序列具有以下特点：

时间数列的特点派生性—由绝对数列派生而得不可加性可加性、关联性、连续登记不可加性—不同时期资料不可加无关联性—与时间的长短无关联间断登记—资料的收集登记平均相对时期时点特点数列时间数列的特点派生性—由绝对数列派生而得可加性、关联性、纯随机型时间数列非纯随机型时间数列趋势型季节型平稳型数列非平稳型数列周期型纯随机型：非纯随机型：平稳型：各期指标数值变动没有规则，完全由随机因素引起。各期指标数值变动是随机因素和某些确定因素共同作用的结果。各期指标数值基本上在某个固定的水平上波动。（二）按指标数值的性质和形态不同划分一、时间数列的种类

纯随机型时间数列非纯随机型时间数列趋势型季节型平稳型数列非趋势型：季节型：周期型：各期指标数值逐期增加或减少，呈现一定的变化趋势。按月或按季统计各期数值形成的数列，在一年内随季节变化而发生周期性波动的时间数列。以若干年为周期波动变化的数列。它通常是由于经济环境的变化引起的。趋势型：季节型：周期型：各期指标数值逐期增加或减少，呈现一定二、编制时间数列的方法

时间数列的构成要素：(1)现象所属的时间；(2)不同时间的具体指标数值。二、编制时间数列的方法时间数列的构成要素：(1)现象所属1．根据具体的研究任务确定资料的时间单位2．保证各期指标数值的可比性（1）数列的时间跨度或间隔应相等（2）总体范围应一致（3）计算方法、计量单位应该一致（4）指标涵义和经济内容应一致。宏观分析较长时期的发展过程和趋势分析季节性变化年季、月深入具体分析事物发展变化规律日、小时二、编制时间数列的方法

1．根据具体的研究任务确定资料的时间单位2．保证各期指标数常用的时间数列分析指标有水平指标和速度指标两类。第二节时间数列传统分析指标第八章序时平均数增长量和平均增长量水平指标发展速度和增长速度平均发展速度和平均增长速度速度指标常用的时间数列分析指标有水平指标和速度指标两类。第二节时明确几个概念：发展水平时间数列中各期的指标数值最初水平第一期的指标数值最末水平最后一期的指标数值报告期水平所研究期的发展水平用作比较时期的发展水平基期水平第二节时间数列传统分析指标第八章明确几个概念：发展水平时间数列中各期的指标数值最初水平发展水平：时间序列中，各指标数值就是该指标所反映的社会经济现象在所属时间的发展水平。

一、水平指标第八章发展水平：时间序列中，各指标数值就是该指标所反映的社会经济常用的水平指标有序时平均数、增长量和平均增长量1.序时平均数又称动态平均数或平均发展水平

对时间数列中各期发展水平的平均，表明现象在一段时期内的平均水平。由于构成时间数列的指标形式不同，计算方法也不尽相同。绝对数数列相对数数列平均数数列时期数列时点数列常用的水平指标有序时平均数、增长量和平均增长量1.序时平时点数列连续时点数列间断时点数列在社会经济统计中一般是将一天看作一个时点，即以“一天”作为最小时间单位。这样时点数列可认为有连续时点和间断时点数列之分；

时点数列的分类逐日排列的时点数据隔一段时间对期末时点数据进行登记时点数列连续时点数列间断时点数列在社会经济统计中一般是时点数列的分类间断时点数列间隔时间相等间隔时间不等每隔相同时间登记一次每两次登记时间间隔不同连续时点数列间隔时间相等间隔时间不等连续每天资料不同持续天内资料不变时点数列的分类间断时点数列间隔时间相等间隔时间不等每隔相同时（1）时期数时间数列1.序时平均数的计算式中，为序时平均数，n为观察值的个数。水平指标（1）时期数时间数列1.序时平均数的计算式中，为序时平例题年份199119921993199419951996国内生产总值（亿元）2161826638346344675658478678851991～1996年平均国内生产总值：时期数列水平指标例题年份19911992199319941995199（2）连续时点数列间隔相等1.序时平均数的计算式中，为序时平均数，n为观察值的个数。水平指标

例如，存款（贷款）平均余额指标，通常就是由报告期内每日存款（贷款）余额之和除以报告期日历数而求得。（2）连续时点数列间隔相等1.序时平均数的计算式中，为序日期6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日收盘价16.2元16.7元17.5元18.2元17.8元解：某股票连续5个交易日价格资料如下：例题水平指标日期6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日收盘价16.2元某单位五天库存现金数如下表：星期一二三四五库存现金（千元）32541现金平均库存额：连续时点数列间隔相等（每天资料）例题水平指标某单位五天库存现金数如下表：星期一二三四五库存现金325（3）连续时点数列间隔不等1.序时平均数的计算水平指标资料登记的时间单位仍然是1天，但实际上只在指标值发生变动时才记录一次。此时需采用加权算术平均数的方法计算序时平均数，权数是每一指标值的持续天数。（3）连续时点数列间隔不等1.序时平均数的计算水平指标某种商品库存量记录如下，计算5月份平均日库存量。

5月份平均日库存量：连续时点数列间隔不等（持续天内不变）例题水平指标日期1－45－108–2021－2627－31库存量（台）5055403530某种商品库存量记录如下，计算5月份平均日库存量。5月份平均（4）间断时点数列间隔相等1.序时平均数的计算水平指标（4）间断时点数列间隔相等1.序时平均数的计算水平指标某种商品库存量记录如下，试计算该商品第二季度的月平均库存量。

间断时点数列间隔相等例题水平指标日期3月末4月末5月末6月末库存量（百件）66726468某种商品库存量记录如下，试计算该商品第二季度的月平均4月份平均库存量=例题水平指标日期3月末4月末5月末6月末库存量（百件）667264685月份平均库存量=6月份平均库存量=4月份平均库存量=例题水平指标日期3月末4月末5月末6月末库为简化计算过程，上述计算步骤可表示为：例题水平指标第二季度月平均库存量=＝67.67（百件）根据上式，可以推导公式为：该公式形式上表现为首末两项观察值折半，故称为“首末折半法”。这种方法适用于间隔相等的间断时点数列求序时平均数。为简化计算过程，上述计算步骤可表示为：例题水平指标第二季度月（5）间断时点数列间隔不等1.序时平均数的计算水平指标（5）间断时点数列间隔不等1.序时平均数的计算水平指标下表列示了我国1990—1999年年末部分年份的人口数资料，计算年平均人口数。

间断时点数列间隔不等例题水平指标年份19901992199519981999年底总人口（万人）114333117171121121124810125909下表列示了我国1990—1999年年末部分年份的人口例题水平指标年份19901992199519981999年底总人口（万人）114333117171121121124810125909例题水平指标年份19901992199519981999年底序时平均数练习题1水平指标某企业5月份每日实有人数资料如下：日期1~9日10~15日16~22日23~31日实有人数780784786783计算5月份每日实有人数的序时平均数。序时平均数练习题1水平指标某企业5月份每日实有人数资料如下：序时平均数练习题1水平指标连续时点数列间隔不等计算5月份平均人数为783人。序时平均数练习题1水平指标连续时点数列计算5月份平均人数为7序时平均数练习题2水平指标某商业企业2004年第二季度某商品库存资料如下，求第二季度的月平均库存额。时间3月末4月末5月末6月末库存量（百件）66726468序时平均数练习题2水平指标某商业企业2004年第二季序时平均数练习题2水平指标间断时点数列间隔相等第二季度的月平均库存额为：序时平均数练习题2水平指标间断时点数列第二季度的月平均库存额3622323间隔年数1837516851140711182899498350年底人数（万人）199519971993199019881985年份1985年～1997年我国第三产业从业人数（年底数）：间断时点数列（间隔不等）22323间隔年数183751685114071118289我国第三产业平均从业人数：我国第三产业平均从业人数：时间1月1日5月31日8月31日12月31日社会劳动者人数362390416420单位：万人某地区1999年社会劳动者人数资料如下：解：该地区该年的月平均人数为：间断时点数列（间隔不等）时间1月1日5月31日8月31日12月31日社会劳动者人数3相对数或平均数时间数列序时平均数相对数是两个有联系的绝对数对比求得，用符号表示即

由相对数或平均数数列计算序时平均数，应当先分别计算构成该相对数或平均数数列的分子数列和分母数列的序时平均数，再对比求得。用公式表示为：

相对数或平均数时间数列序时平均数相对数是两个有联系的相对数或平均数时间数列序时平均数某企业1999年第四季度职工人数资料如下表，计算工人占职工人数的平均比重。

9月末10月末11月末12月末工人人数/人职工人数/人工人占职工比重（％）34244876.3435545677.8535846976.3336447476.79间断时点数列（间隔相等）相对数或平均数时间数列序时平均数某企业1999年第四相对数或平均数时间数列序时平均数9月末10月末11月末12月末工人人数/人职工人数/人工人占职工比重（％）34244876.3435545677.8535846976.3336447476.79即：工人占职工人数的平均比重为76.91%。

相对数或平均数时间数列序时平均数9月末10月末11月末12月相对数或平均数时间数列序时平均数某企业下半年劳动生产率资料如下表，计算平均月劳动生产率和下半年平均职工劳动生产率。

分子是时期数列，分母是间断时点数列（间隔相等）6月7月8月9月10月11月12月（a）总产值/万元（b）月末职工人数/人（c）劳动生产率/（元/人）8746019489147019579448019799648020001024902103984802021914501957相对数或平均数时间数列序时平均数某企业下半年劳动生产平均月劳动生产率的计算序时平均数即：平均月劳动生产率为2003.5元/人。

6月7月8月9月10月11月12月（a）总产值/万元（b）月末职工人数/人（c）劳动生产率/（元/人）8746019489147019579448019799648020001024902103984802021914501957平均月劳动生产率的计算序时平均数即：平均月劳动生产率为200下半年平均职工劳动生产率的计算序时平均数即：下半年平均职工劳动生产率为12021元/人。

6月7月8月9月10月11月12月（a）总产值/万元（b）月末职工人数/人（c）劳动生产率/（元/人）8746019489147019579448019799648020001024902103984802021914501957下半年平均职工劳动生产率的计算序时平均数即：下半年平均职工劳月份三四五六七工业增加值（万元）11.012.614.616.318.0月末全员人数（人）20002000220022002300已知某企业的下列资料：要求计算：①该企业第二季度各月的劳动生产率；②该企业第二季度的月平均劳动生产率；③该企业第二季度的劳动生产率。

月份三四五六七工业增加值11.012.614.616解：①第二季度各月的劳动生产率：四月份：五月份：六月份：解：①第二季度各月的劳动生产率：四月份：五月份：六月份：③该企业第二季度的劳动生产率：②该企业第二季度的月平均劳动生产率：③该企业第二季度的劳动生产率：②该企业第二季度的月平均劳动生平均数相对数间隔不等间隔相等间断持续天内指标不变每天资料连续时点时期序时平均数时间数列平均数相对数间隔间隔间持续天内每天资料连时时期（1）增长量

增长量是总量指标报告期水平与基期水平之差，表明该指标在一定时期内增加或减少的绝对数量。逐期增长量累计增长量各期水平与上一期水平之差a1-a0,a2-a1,…,an-an-1

各期水平与某一固定基期水平之差a1-a0,a2-a0,…,an-a0

基期不同2.增长量和平均增长量水平指标（1）增长量增长量是总量指标报告期水平与2.增长量和平均增长量水平指标累计增长量等于各期逐期增长量之和相邻两个累计增长量之差等于相应的逐期增长量2.增长量和平均增长量水平指标累计增长量等于各期逐期增长量1990－1999年国内生产总值单位：亿元

1990－1999年国内生产总值单位：亿元

对于受季节因素影响较明显的社会经济指标，为了表明它们增长变化的绝对数量，还可以计算同比（年距）增长量。例如，去年3月的产值100万，今年3月的产值300万，同比增长量为多少？同比增长量=本期发展水平-上年同期发展水平月度或季度对于受季节因素影响较明显的社会经济指标，为了表（2）平均增长量总量指标在一段时期内平均每期增减的绝对数量。水平法：总和法

它可以保证以基期水平为基础，每期按平均增长量增长，n期之后计算的理论水平同第n期的实际水平完全相等。用平均增长量推算的各期理论水平之和等于各期实际水平之和。（2）平均增长量总量指标在一段时期内平均每期增减的绝对数量平均增长量的计算平均增长量的计算常用的速度指标有：发展速度增长速度平均发展速度平均增长速度

二、速度指标第八章常用的速度指标有：发展速度增长速度平均发展速度平均增长速度1.发展速度和增长速度（1）发展速度定基发展速度环比发展速度基期不同报告期水平与基期水平之比，可以用百分数或倍数表示。可以看出：定基发展速度等于各环比发展速度的连乘积相邻两个定基发展速度之比等于相应的环比发展速度1.发展速度和增长速度（1）发展速度定基发展速度环比发展国内生产总值计算表国内生产总值计算表

对于受季节因素影响较明显的社会经济指标，为了消除季节因素的影响，表明它们增长变化的程度，还可以计算同比发展速度和同比增长速度。同比增长速度

=

(本期发展水平-去年同期发展水平)/去年同期发展水平

=

同比发展速度-1同比发展速度=本期发展水平/上年同期发展水平例如，本年第2季度产值比去年第2季度产值，本年6月份产值比去年6月份产值。例如，去年3月的产值100万，今年3月的产值300万，同比发展速度和同比增速度分别为多少？对于受季节因素影响较明显的社会经济指标，为了消（2）增长速度增长速度＝发展速度－1当报告期水平低于基期水平时，发展速度增长速度当报告期水平高于基期水平时，发展速度大于1增长速度大于0小于1小于0（2）增长速度增长速度＝发展速度－1当报告期水平低于基期水国内生产总值计算表国内生产总值计算表2.平均发展速度平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数，用于描述现象在整个观察期内平均发展变化的程度。计算平均发展速度的常用方法是水平法，根据各期的环比发展速度采用几何平均法计算出来的。

为平均发展速度；n为环比发展速度的个数，它等于观察数据的个数减1

2.平均发展速度平均发展速度是各个时期环比发展已知国内生产总值1990～1999年环比发展速度见下表，计算平均发展速度。已知国内生产总值1990～1999年环比发展速度见下表，计算从水平法计算平均发展速度的公式中可以看出，实际上只与序列的最初观察值和最末观察值有关，而与其他各观察值无关，这一特点表明，水平法旨在考察现象在最后一期所达到的发展水平。因此，如果我们所关心的是现象在最后一期应达到的水平，采用水平法计算平均发展速度比较合适。

从水平法计算平均发展速度的公式中可以看出，实际上只与3.平均增长速度平均增减速度说明现象逐期增减的平均程度。平均增减速度与平均发展速度仅相差一个基数，即：

平均增减速度为正值，表明现象在某段时期内逐期平均递增的程度，也称为平均递增率；若为负值，表明现象在某段时间内逐期平均递减的程度，也称为平均递减率。3.平均增长速度平均增减速度说明现象逐期增减的平均程4.速度指标的分析与应用（1）当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度。比如，假如某企业连续五年的利润额分别为5万元、2万元、0万元、－3万元、2万元，对这一序列计算速度，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析。（2）在有些情况下，不能单纯就速度论速度，要注意速度与基期绝对水平的结合分析。4.速度指标的分析与应用（1）当时间序列中的观察值出假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表。年份甲企业乙企业利润额（万元）增长率（％）利润额（万元）增长率（％）19961997500600–206084–40假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关67如果不看利润额的绝对值，仅就速度对甲、乙两个企业进行分析评价，可以看出乙企业的利润增长速度比甲企业高出1倍。如果就此得出乙企业的生产经营业绩比甲企业要好得多，这样的结论就是不切实际的。

因为速度是一个相对值，它与对比的基期值的大小有很大关系。大的速度背后，其隐含的增长绝对值可能很小；小的速度背后，其隐含的增长绝对值可能很大。这就是说，由于对比的基点不同，可能会造成速度数值上的较大的差异，进而造成速度上的虚假现象。

如果不看利润额的绝对值，仅就速度对甲、乙两个企业进行68上述例子表明，由于两个企业的生产起点不同，基期的利润额不同，才造成了二者速度上的较大差异。从利润的绝对额来看，两个企业的速度每增长1%所增加的利润绝对额是不同的。在这种情况下，我们需要将速度与绝对水平结合起来进行分析，通常要计算增长1％的绝对值来弥补速度分析中的局限性。增长1％绝对值表示速度每增长1%而增加的绝对数量，其计算公式为：甲企业速度每增长1％，增加的利润额为5万元，而乙企业则为0.6万元，甲企业远高于乙企业。这说明甲企业的生产经营业绩不是比乙企业差，而是更好。上述例子表明，由于两个企业的生产起点不同，基期的利润69季度1999年2000年一二三四一二三四季末职工人数（人）3639424447495456总产值（万元）222.3405.6①各年平均职工人数(另知1998年第四季度末职工人数为34)②各年平均每一职工创造产值(劳动效率)③从人数及劳动生产率的增长速度上分析影响总产值增长的主要原因。练习题季度1999年2000年一二三四一二三四季末职工人数3639①03年平均职工人数=04年平均职工人数=②03年每一年职工创造产值=222.3/39=5.7（万元）04年每一年职工创造产值=405/50=8.1（万元）①03年平均职工人数=04年平均职工人数=②03年每712003年2004年04年比03年增长%人数（人）总产值（万元）劳动效率（元/人）39222.35.750405.08.128.282.242.1可见：04年总产值比03年增加82.2%，主要是由于劳动效率提高所致。2003年2004年04年比03年增长%人数（人）3950272案例美国内华达职业健康诊所是一家私人医疗诊所，这个诊所专攻工业医疗，并且在该地区经营已经超过15年。1991年初，诊所进入了增长的阶段。在其后的26个月里，该诊所每个月的账单收入从57000美元增长到超过300000美元。直至1993年4月6日，当诊所的主建筑物被烧毁时，诊所一直经历着戏剧性的增长。

案例美国内华达职业健康诊所是一家私人医疗诊所，这个诊诊所的保险单包括实物财产和设备，也包括出于正常商业经营的中断而引起的收入损失。确定实物财产和设备在火灾中的损失额，受理财产的保险索赔要求是一个相对简单的事情。但是确定在进行重建诊所的7个月中，收入的损失额是很复杂的，它涉及业主和保险公司之间的讨价还价。对如果没有发生火灾，诊所的账单收入“将会有什么变化”的计算，没有预先制定的规则。诊所的保险单包括实物财产和设备，也包括出于正常商业经为了估计失去的收入，诊所用一种预测方法，来测算在7个月的停业期间将要实现的营业增长。在火灾前的账单收入的实际历史资料，将为拥有线性趋势和季节成分的预测模型提供基础资料。这个预测模型使诊所得到损失收入的一个准确的估计值，这个估计值最终被保险公司所接受。这是一个时间数列分析方法在保险业务中的成功案例。为了估计失去的收入，诊所用一种预测方法，来测算在7个1.时间数列包含的四种因素变动长期趋势变动季节变动循环变动（周期波动）随机变动（不规则变动或剩余变动）不可解释的变动可解释的变动

第三节长期趋势的测定第八章一、时间数列的构成与分解1.时间数列包含的四种因素变动长期趋势变动季节变动（1）长期趋势变动(T)

由各个时期普遍存在并长期起作用的基本因素影响的变动，是对未来状况进行判断和预测的主要依据。最基本、最根本的变动

如，现代社会城镇人口占总人口的比重呈现不断上升的趋势。（1）长期趋势变动(T)由各个时期普遍存（2）季节变动（S）

由季节性因素（自然季节变幻和社会习俗等因素）影响的变动，具有规律性和周期性。

季节变动的周期通常在一个年度之内，当采用年度数据时，季节性影响就被掩盖了。

如，铁路、航空等客运量一般在春运和旅游旺季呈现高峰。（2）季节变动（S）由季节性因素（自然季节（3）循环变动（C）

以若干年为周期的波动变化。通常是由于经济环境变化引起的。如：经济增长中：“繁荣－衰退－萧条－复苏－繁荣”—商业周期。固定资产或耐用消费品的更新周期等。（3）循环变动（C）以若干年为周期的波动变化。通常是（4）随机变动（I）不规则变动或剩余变动

时间数列中除了上述三种变动之外剩余的一种变动，是由于偶然性因素的影响而表现出的不规则波动,故也称为不规则变动。随机变动的成因：—自然灾害、意外事故、政治事件；—大量无可言状的随机因素的干扰。（4）随机变动（I）不规则变动或剩余变动时2.时间数列的经典模式

时间数列的上述四种变动按一定的方式组合形成一定的模式，称之为时间数列的经典模式或传统模式。2.时间数列的经典模式时间数列的上述四种变

按对四种因素变动相互关系的假设不同，可分为加法模式和乘法模式。加法模式

若假设四种因素变动是相互独立的，时间数列便是各因素引起变动相加之和。Y=T+S+C+IY、T、S、C、I均为同计量单位的绝对数指标，Y主要由T决定，S、C、I是对长期趋势所产生的偏差，或是正值，或是负值。加法模式中，各因素的分解用减法进行。如T=Y–(S+C+I)C+I=Y–(T+S)按对四种因素变动相互关系的假设不同，可分为加乘法模式

若假设四种因素变动是相互交错影响的关系，时间数列便是各因素引起变动的乘积。Y=T·S·C·I

在乘法模式中，只有T是与Y同计量单位的绝对数，其余变动（S、C、I）均为以长期趋势为基础的比率，在1上下波动。乘法模式中，各因素的分解用除法进行。如T=Y/(S·C·I)S·I=Y/(T·C)主要采用乘法模式

上述包括四种因素变动的模式是时间数列的完备模式，事实上四种变动并非同时存在。乘法模式若假设四种因素变动是相互交错影响的1.长期趋势的修匀方法 随手法时距扩大法和序时平均法移动平均法随手法：拟合趋势线的最简单的一种经验判断法。它是依据观察和经验，在时间数列的实际资料散点图上直接画出趋势直线或趋势曲线，使趋势线穿插于散点之中。二、长期趋势（T）的测定1.长期趋势的修匀方法 随手法时距扩大法和序时平均法移动平时距扩大法：把时间数列中各期指标数值按较长的时距加以归并，形成一个新的简化了的时间数列，以消除原数列中季节因素和偶然因素的影响，显示出长期趋势。

一季度二季度三季度四季度1997年13.113.97.98.61998年10.811.59.7111999年14.617.51618.22000年18.42016.918【例题】某地区1997年-2000年鲜蛋季度销售量(万吨)资料如下：时距扩大法：把时间数列中各期指标数值按较长的时距加以归并，形时间数列分析课程

一季度二季度三季度四季度全年合计1997年13.113.97.98.643.51998年10.811.59.711431999年14.617.51618.266.32000年18.42016.91873.3时距扩大法适应于时期数列而不适应于时点数列一季度二季度三季度四季度全年合计1997年13.113.9应用时距扩大法时需要注意以下几个问题：第一，扩大的时距多大取决于现象自身的特点。对于呈现周期波动的动态数列，扩大的时距应与波动的周期相吻合；对于一般的动态数列，则要逐步扩大时距，以能够显示趋势变动的方向为宜。第二，时距扩大太大，将造成信息的损失。如果扩大得不够，便不能消除偶然因素的影响；扩大过了头，反而会掩盖现象发展变化的趋势。第三，扩大的时距要一致，相应的发展水平才具有可比性。应用时距扩大法时需要注意以下几个问题：第四，时期数列各项指标数值的大小与其所属时期长短有紧密关联，时距扩大，指标数值相应增大。所以，单纯扩大时距，只能用于时期数列，不能用于时点数列.因为在时点数列中，时距扩大，指标数值不一定增大，必须在扩大时距的基础上通过原有的时点数字求出序时平均数，这样才能反映出客观现象发展的长期趋势。第四，时期数列各项指标数值的大小与其所属时期长短有紧密关联，序时平均法：将全部数列资料分成若干段，计算各段的序时平均数，形成新的简化了的时间数列，以消除原数列中季节因素和偶然因素的影响，显示出长期趋势。

一季度二季度三季度四季度平均数1997年13.113.97.98.610.8751998年10.811.59.71110.751999年14.617.51618.216.5752000年18.42016.91818.325序时平均法：将全部数列资料分成若干段，计算各段的序时平均数，序时平均法既适应于时期数列也适应于时点数列序时平均法既适应于时期数列也适应于时点数列移动平均法：基本思想和原理：通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，分别计算出一系列移动平均数，这些平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到一定的修匀作用，削弱了原序列中短期偶然因素的影响，从而呈现出现象发展的变动趋势。可以用来分析预测销售情况、库存、股价或其他趋势。分为简单移动平均法和加权移动平均法两种。移动平均法：基本思想和原理：通过扩大原时间序列的时间间隔，并原数列新数列y1y4y2y3y5y6原数列新数列y1y4y2y3y5y6在进行长期趋势修匀时，移动平均法下移动跨度越大，得出移动平均数项数就越少，两端数值缺项。原数列新数列y1y4y2y3y5y6原数列新数列y1y4y2原数列移动平均新数列（1）简单移动平均—奇数项移动平均原数列移动平均新数列（1）简单移动平均—奇数项移动平均时间数列分析课程偶数项的中心化简单平均数要经过两次移动计算才可得出。例如：移动项数N＝4时，计算的移动平均数对应中项在两个时期的中间（2）简单移动平均—偶数项移动平均偶数项的中心化简单平均数要经过两次移动计算才可得出。（2）简由于这样计算出来的平均数的时期不明确，故不能作为趋势值。解决办法：对第一次移动平均的结果，再作一次移动平均由于这样计算出来的平均数的时期不明确，故时间数列分析课程偶数项“移动法则”：1.要取“2n+1”项；2.采用“首尾取半法”计算移动平均数；3.作为n+1

项的长期趋势值。偶数项“移动法则”：1.要取“2n+1”项；时间数列分析课程——555814.5528415.8———566074.0566061.0539793.7496847.3—580819200354813320025692702001580780200046933119994404311998n=4n=3移动平均数产量（y吨）年份例如——555814.5528415.8———566074对各期指标值进行加权后计算的平均数。（3）加权移动平均法注意事项：一般计算奇数项加权移动平均数；权数以二项展开式为基础。中间项的权数最大，两边对称，逐期减小。对各期指标值进行加权后计算的平均数。（3）加权移动平均法注意时间数列分析课程时间数列分析课程如：N=5时，应以（a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的系数1，4，6，4，1为权数：如：N=5时，应以时间数列分析课程移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项数越多，平滑修匀作用越强；由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的项数少，N为奇数时，趋势值数列首尾各少项；N为偶数时，首尾各少项；局限：不能完整地反映原数列的长期趋势，不便于直接根据修匀后的数列进行预测。移动平均法的特点移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项数越多，平滑修匀作用越原数列三项移动平均五项移动平均四项移动平均原数列三项移动平均五项移动平均四项移动平均采用移动平均法分析长期趋势时，需要注意的问题：移动平均对数列具有平滑修匀作用，平均项数（N）越大，对数列的平滑修匀作用越强；移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置对于偶数项移动平均需要进行“中心化”当N为奇数，只需一次移动平均；当N为偶数，需再进行二项移动平均即移正平均（或中心化）；移动间隔的长度应长短适中如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度若时间序列是季度资料，应采用4项移动平均若为月份资料，应采用12项移动平均采用移动平均法分析长期趋势时，需要注意的问题：移动平均对数2.长期趋势的数学模型以时间t为自变量构造回归模型用最小平方法求解参数：2.长期趋势的数学模型以时间t为自变量构造回归模型用最小平时间时期数数列t1t2t3t4t5t6t71234567y1y2y3y4y5y6y7课后练习题P3038.9第（1）（2）问时间时期数数列t1t2t3t4t5t6t71234567y1汽车产量直线趋势计算表年份时间标号t产量(万辆)Yit×Ytt2趋势值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合计1711453.5818411.9621091453.58【例】利用表中的数据，根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程，计算出1981～1998年各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较汽车产量直线趋势计算表年份时间标号t产量(万辆)Yit×（计算结果）根据上表得a

和

b

结果如下汽车产量的直线趋势方程为$Yt

=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004

×20=180.51(万辆)2000年汽车产量的预测值为（计算结果）根据上表得a和b结果如下汽车产线性模型法(趋势图)05010015020019811985198919931997汽车产量趋势值

汽车产量直线趋势（年份）汽车产量（万辆）线性模型法(趋势图)05010015020019811985年份tGDP(y)tyt21986198719881989199019911992199319941995199619971998123456789101112137610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.07610.616982.628344.039328.851045.566886.289145.7115623.2146547.9179937.0216902.4257456.4300677.0149162536496481100121144169合计91182505.81516487.3819【例】已知某省GDP资料（单位：亿元）如下，拟合直线趋势方程，并预测1999年的水平。年份tGDP(y)tyt2198617610.67610解：解：预测：预测：0

1234567求解a、b的简捷方法0123-1-2-3取时间数列中间项为原点a’-a01234567求解a、b的简捷方法0123-1-2-3取当t=0时，有N为奇数时，令t=…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…N为偶数时，令t=…，-5，-3，-1，1，3，5，…当t=0时，有N为奇数时，令t=…，-3，-2，-年份ttGDP(y)tyt2198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213-6-5-4-3-2-101234567610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0-45663.6-42456.5-37792.0-29496.6-20418.2-11147.7014452.932566.253981.178873.6107273.5138774.03625169410149162536合计910182505.8238946.7182年份ttGDP(y)tyt219861-67610.6-解：预测：解：预测：

第四节季节变动的测定第八章一、按月（或按季）平均法

测定季节变动（S）的方法是计算各月（或各季）的季节指数（季节比率），通常用系数或百分数来表示，在1上下波动。

适用于无明显长期趋势或允许不考虑长期趋势的时间数列季节变动的测定。第四节季节变动的测定第八章一、按月（或按季）平均法（1）先将各年同月（或季）的数据按年排列；（3）将各月（或季）的平均数分别除以总平均数，即得到各月的季节指数。（2）计算各年同月（或季）的平均数及总平均数；按月（或按季）平均法-----基本步骤：P284例8-14（1）先将各年同月（或季）的数据按年排列；（3）将各月（或（一）同期平均法季节比率是通过对若干年资料的数据，求出同月份的平均水平与全数列总平均月份水平，然后对比得出各月份各季节比率。为了较准确的观察季节变动情况，一般用连续三年以上的发展水平资料，加以平均分析。其计算步骤如下：（一）同期平均法根据各年按月（季）的动态数列资料计算出各年同月（季）的平均水平。计算各年所有月（季）的总平均水平。将各年同月（季）的平均水平与总平均水平进行对比，即得出季节比率季节比率是进行季节变动分析的重要指标，可用来说明季节变动的程度。其计算公式为：把各月（季）季节比率绘制成季节变动曲线图，可以更直观地显示出季节的变动趋势。根据各年按月（季）的动态数列资料计算出各年同月（季）的平均水某地区各月毛线销售量季节变动计算表单位：百千克月份年份123456789101112合计第一年150

90

402610

812

20

35

85

340

360

1176第二年230150

6040201032

40

70150

420

480

1702第三年280120

803012

937

48

84140

470

500

820合计6603601809642278110818937512301350

4698月平均数220120

603214

927

36

63125

410

450130.5季节比率(%)168.58

91.95

45.9824.5210.73

6.9020.69

27.59

48.28

95.79

314.18

344.83

1200例某地区各月毛线销售量季节变动计算表单位：百千克月时间数列分析课程季节变动

(趋势图)01001502001234图11-7农业生产资料零售额季节变动（季度）季节指数（%）季节变动

(趋势图)01001502001234图11-7

长期趋势剔除法的基本思想：先将时间数列中的长期趋势予以剔除，然后再计算季节指数。

适用于具有明显长期趋势或必须考虑长期趋势的时间数列季节变动的测定。二、长期趋势剔除法

方程趋势剔除法和移动平均趋势剔除法长期趋势剔除法的基本思想：先将时间数列中的长方程趋势剔除法（1）根据原数列的趋势特点，计算得到原数列的趋势方程；（4）将重新按月（季）排列，求得同月（季）的平均指数，即得到校正前的季节指数；（3）用除法剔除长期趋势，即，-----基本步骤：（5）将求得的平均指数相加，各季的季节指数之和应为

400%，各月的季节指数之和应为1200%，如果其和不等于400%或1200%，应计算校正系数进行校正。

校正系数=或=（2）根据趋势方程计算得到每一期的趋势值T；P285例8-15方程趋势剔除法（1）根据原数列的趋势特点，计算得到原数列

移动平均趋势剔除法（1）根据各年的月（或季）数据，计算12个月（或四个季度）移动平均值，得到趋势值T；（3）将重新按月（季）排列，求得同月（季）的平均指数，即得到校正前的季节指数；（2）用除法剔除长期趋势，即，-----基本步骤：（4）将求得的平均指数相加，各季的季节指数之和应为

400%，各月的季节指数之和应为1200%，如果其和不等于400%或1200%，应计算校正系数进行校正。

校正系数=或=移动平均趋势剔除法（1）根据各年的月（或季）数据，计算【例题】某厂1998年-2000年围巾季度销售量(万条)资料如下：要求：用移动平均趋势剔除法测定数列的季节变动。

一季度二季度三季度四季度1998年21663182551999年24575223782000年2889926399【例题】某厂1998年-2000年围巾季度销售量(万条)资料移动平均剔除长期趋势计算表季度销售量(万条)

Yt四项移动

平均二项移动

平均Tt趋势值剔除

Yt/Tt*100%98.1216

263138

318145.25141.62512.714255148.25146.75173.7699.1245149.25148.75164.71275180164.62545.56322190.75185.37511.874378196.75193.75195.102000.1288197.75197.25146.01299203200.37549.41326

4399

移动平均剔除长期趋势计算表季度销售量(万条)

Yt四项移动

剔除长期趋势后季节比率计算表年份一季度二季度三季度四季度合计98年%

12.7096173.7649

99年%164.70645.558111.8678195.0968

2000年%146.00849.4074

平均数%155.3647.482712.2887184.4308399.559校正系数1.00111.00111.00111.0011

季节指数%155.5347.5612.30184.63400剔除长期趋势后季节比率计算表年份一季度二季度三季度四季度合计为方便计算，把上例月资料改为季资料：单位：百千克季度年份一二三四第一年28044

67

785第二年440701421050第三年480511691120为方便计算，把上例月资料改为季资料：单位：百千克季度销售量y(百千克)四项移动平均二项移动平均（趋势值）T趋势值剔除除法y/T×100%=S·I第一年Ⅰ

280--Ⅱ

44--Ⅲ

67314

21.34Ⅳ

785337.25232.77第二年Ⅰ

440349.875125.76Ⅱ

70392.375

17.84Ⅲ

142430.5

32.98Ⅳ

1050433.125242.42第三年Ⅰ

480434.125110.57Ⅱ

51446.25

11.43Ⅲ

169---Ⅳ

1120---294334340.5359.25425.5435.5430.75437.5455移动平均趋势剔除计算表季度销售量y四项移动平均二项移动平均趋势值剔除除法y/T×1销量趋势剔除后按季度平均计算表第一季第二季第三季第四季合计第一年--

21.34

232.77第二年

125.76

17.84

32.98

242.42第三年

110.57

11.43--合计

236.33

29.27

54.32

475.19平均

118.165

14.635

27.16

237.60

397.56校正比例

1.0061

1.0061

1.0061

1.0061季节比率S.I.

118.89

14.72

27.33

239.05

400销量趋势剔除后按季度平均计算表第一季第二季第三季第四季合计第一、平稳型数列的预测方法1．简单平均法根据过去已有的t期观察值来预测下一期数值的预测方法。设时间数列已有的t期观察值为，则期的预测值为。当期结束后，便有了期的实际值，可以计算出第期的预测误差为。

第五节时间数列的预测方法第八章一、平稳型数列的预测方法1．简单平均法根据过去已有的t期观察期的预测值为依此类推。

简单平均法只能用来预测最近一期的数值。另外，它将远期数值和近期数值看作对未来同等重要。

但从预测的角度来看，近期数值要比远期数值对未来影响更大，所以简单平均法适合于对较为平稳的时间数列的预测。期的预测值为依此类推。简2．移动平均法

对简单平均法的一种改进，它是通过对时间数列逐期移动求得平均数作为预测值。简单移动平均法加权移动平均法只能预测最近一期数值2．移动平均法对简单平均法的一种改进，它是（1）简单移动平均法

简单移动平均法是将最近k（移动间隔）期数据简单平均，作为下一期的预测值。则，期的简单移动平均预测值为：同理，期的简单移动平均预测值为：依此类推。（1）简单移动平均法简单移动平均法是将最近（2）加权移动平均法

简单移动平均法在预测时，将每个观察值都赋予相同的权数，即认为远期数值和近期数值对未来的影响是相同的，但实际上，多数情况下，近期数值要比远期数值对未来影响更大，加权移动平均法就是考虑了这种不同的影响，从而给各期数值赋予了不同的权数。（2）加权移动平均法简单移动平均法在预测时同理，期的简单移动平均预测值为：依此类推。

加权移动平均法是将最近k期数据加权平均，作为下一期的预测值。则，期的加权移动平均预测值为：P290例8-17同理，期的简单移动平均预测值为：依此类推

实际上，一旦选定了平滑系数，只需要两项信息（和）就可以计算预测值。3．指数平滑法

以时期的预测值与实际值的线性组合作为期的预测值。其预测模型为：平滑系数实际上，一旦选定了平滑系数，只需要两

由于开始计算时，我们没有第1期的预测值，通常可以设等于第1期的实际值，即，因此第2期的预测值为：第3期的预测值为：第4期的预测值为：由于开始计算时，我们没有第1期的预测值，通常

一般而言，当时间数列有较大的随机波动时，宜选择较大的，以便能跟上近期的变化，当时间数列比较平稳时，宜选择较小的。可见，预测值是以前所有实际值的加权平均。依此类推，

使用指数平滑法时，关键的问题是确定一个合适的平滑系数，因为不同的会对预测结果产生不同的影响。

实际工作中，可以选择不同的值进行几种方案的试算，对不同的值下的预测误差进行比较，取误差最小的

值建立预测模型。一般而言，当时间数列有较大的随机波动时，宜选二、线性趋势数列的预测方法

当现象的发展具有线性趋势变化时，可以用线性趋势方程加以描述。二、线性趋势数列的预测方法当现象的发展具有线三、时间数列的自相关性和自回归预测法自相关指时间数列前后各期数值之间的相关关系。测定自相关关系的指标便是自相关系数1.自相关系数时间延迟为1的自相关系数：三、时间数列的自相关性和自回归预测法自相关指时间数列前后各时间编号t123456789101112销售量（百辆）505253535556585960616162【例题】某公司12年自行车销售量资料如下表所示，要求计算自相关系数r1。时间编号t123456789101112销售量（百辆）505时间延迟为2的自相关系数：时间延迟为k的自相关系数：

利用时间数列的自相关系数，我们可以对时间数列的性质和特征作出判断时间延迟为2的自相关系数：时间延迟为k的自相关系数：-12.判别准则（1）时间数列所有自相关系数r1，r2……，rk都近似于零时，该时间数列为随机型时间数列。r1r2r3r4r5r6r701r原数列yt0r值-12.判别准则（1）时间数列所有自相关系数r1，r2……（2）r1较大，r2、r3渐次减小，r4开始趋近于零，表明该时间数列为平稳型时间数列。r1r2r3r4r5r6r701-1rr值原数列yt0（3）r1最大，r2、r3等逐渐递减，但不等于零，表明该时间数列为趋势型时间数列。r1r2r3r4r5r6r701-1rr值原数列yt0（2）r1较大，r2、r3渐次减小，r4开始趋近于零，表明（4）r值有周期性变化，每隔几个便有一个高峰，表明该时间数列为季节型时间数列。r1r2r3r4r5r6r701-1rr值原数列yt01季度2季度3季度4季度（4）r值有周期性变化，每隔几个便有一个高峰，表明该时r13.自回归预测法当时间数列存在一定程度的自相关，就可以建立时间数列的自回归模型，通过前期数值计算后期数值或预测未来，这就是自回归预测方法。自回归模型也有线性和非线性之分。一元线性自回归方程为：3.自回归预测法当时间数列存在一定程度的自相关

一季度二季度三季度四季度1997年13.113.97.98.61998年10.811.59.7111999年14.617.51618.22000年18.42016.918要求：用移动平均法修匀数列。【作业1】某地区1997年-2000年鲜蛋季度销售量(万吨)如下：一季度二季度三季度四季度1997年13.113.97.98

一季度二季度三季度四季度1997年13.113.97.98.61998年10.811.59.7111999年14.617.51618.22000年18.42016.918要求：拟合线性模型，测定数列的长期趋势。【作业2】某地区1997年-2000年鲜蛋季度销售量(万吨)如下：一季度二季度三季度四季度1997年13.113.97.98【作业3】某厂1998年-2000年围巾季度销售量(万条)如下：要求：用按季平均法测定数列的季节变动。

一季度二季度三季度四季度1998年21663182551999年24575223782000年2889926399【作业3】某厂1998年-2000年围巾季度销售量(万条)如【作业1】某酿酒公司某年1-7月份的酒销售量如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月销售量（吨）300350320340330360310要求：1）用简单平均法预测8月份的销售量；

2）若八月份的实际销售量为350吨，计算8月份的预测误差，并预测9月份的销售量；

3）用简单移动平均法对8月份和9月份的销售量进行预测，已知移动间隔为4；

4）若给近期至远期的数值分别赋予4，3，2，1的权数，用加权移动平均法对8月份和9月份的销售量进行预测，已知移动间隔为4；

5）已知平滑系数为0.65，请用指数平滑法对9月份的销售量进行预测，8月份的预测值同第（4）问。

【作业1】某酿酒公司某年1-7月份的酒销售量如下表所示：月

一季度二季度三季度四季度1997年13.113.97.98.61998年10.811.59.7111999年14.617.51618.22000年18.42016.918【作业2】某地区1997年-2000年鲜蛋季度销售量(万吨)资料如下要求：用移动平均趋势剔除法测定数列的季节变动。一季度二季度三季度四季度1997年13.113.97.98时间时期销售量/万吨1997.1113.11997.2213.91997.337.91997.448.61998.1510.81998.2611.51998.379.71998.48111999.1914.61999.21017.51999.311161999.41218.22000.11318.42000.214202000.31516.92000.4161810.87510.39.710.1510.7511.713.214.77516.57517.52518.1518.37518.32510.5875109.92510.4511.22512.4513.987515.67517.0517.837518.262518.35时间时期销售量/万吨1997.1113.11997.2213季度时期数t季度销售量YtYt^21997.1113.113.111997.2213.92