2023届浙江高三物理高考复习微专题模型精讲-第27讲卫星（天体）追及相遇模型(含详解)

第27讲卫星(天体)追及相遇模型I真题示例I真题示例(全国高考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是地球火星木星土星天王星海王星轨道半径(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都会出现冲日现象B.在2015年内一定会出现木星冲日C.天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短一.知识回顾如果有两颗卫星在同一轨道平面内两个不同轨道上同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为3a，b卫星的角速度为(Ob，某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示，则当它们转过的角度之差△。=兀，即满足(OaAt-3bAt=7t时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。两卫星相距最远的条件是(oaAt-o)bAt=(2n+l)7t(n=0,l,2,3--)>相距最近的条件是(oaAt-a)bAt=2ri7c(n=0,1,2,3...)o甲 乙二.例题精析例1.如图是在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星。设它们运行的周期分别是Ti、T2(Ti<T2),且某时刻两卫星相距最近。问：(1)两卫星再次相距最近的时间是多少？(2)两卫星相距最远的时间是多少？・・ 、」 、•・.((•••(多选)例2.2020年6月23日，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空，中国终于有了自己的卫星导航系统，未来将向全世界开放，也会成为70多亿人生活的一部分。北斗卫星导航系统有55颗卫星，若其中在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星甲和乙，它们运行的周期分别是2小时、16小时，且某时刻两卫星相距最近。则下列说法中正确的是()A.两颗卫星再次相距最近的时间是个小时7B.两颗卫星相距最远的时间是(16k+4)(k—0,1»2,...)小时C.乙卫星点火加速可以与甲卫星对接D.甲、乙两颗卫星的轨道半径之比为1：4三.举一反三，巩固练习.(多选)如图是在同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星.设它们运行的周期分别是Ti、T2,(Ti<T2),且某时刻两卫星相距最近.( )A.两卫星再次相距最近的时间是1="耳2T1B.两卫星相距最远的时间是tn/1%2T1)C.两卫星再次相距最近的时间是1=“2T1)D.两卫星相距最远的时间是士=孥(其中k=0.1.2…)如图所示，有A、B两颗卫星绕同颗质量未知，半径为R的行星做匀速圆周运动，旋转方向相同，其中A为近地轨道卫星，周期为Ti，B为静止轨道卫星，周期为T2,在某一时刻两卫星相距最近，试用已知量求解下列问题：(引力常量G为已知)(1)经过多长时间，两行星再次相距最近？(2)同步卫星离地面的高度h=?(3)该行星的平均密度p=?2. '"1一二A、B两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动。地球半径为R,A卫星离地面的高度为R，周期为T,B卫星离地面高度为3R,则：(结果可用根式表示)(1)A、B两卫星周期之比是多少？(2)若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过多长时间两卫星再次相距最近？(3)若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过多长时间两卫星相距最远？3.如图所示，A、B是地球的两颗卫星，卫星A、B的圆形轨道位于赤道平面内，运行方向与地球自转方向相同。卫星A离地面高度为7R,卫星B离地面高度为R,R为地球半径，地球表面的重力加速度为g,O为地球中心。(I)求卫星A、B的运行周期之比。(2)若某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？♦•TOC\o"1-5"\h\z■♦♦ 、// '、\、、\ 」:、.、* ，/*'• “嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道。随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道。如图所示，阴影部分表示月球，设想卫星在圆形轨道I上做匀速圆周运动，在圆轨道I上飞行n圈所用时间为t,到达A点时经过短暂的点火变速，进入椭圆轨道II,在到达轨道I【近月B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道III(轨道半径近似为月球半径)，而后卫星在轨道ni上绕月球做匀速圆周运动，在圆轨道ni上飞行n圈所用时间为:，不考虑其他星体对卫星的影响。(1)求月球的平均密度。(2)求卫星从轨道II上远月点A运动至近月点B所用的时间。(3)如果在I、HI轨道上有两颗卫星，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两卫星相距最近(两卫星在月球球心的同侧，且两卫星与月球球心在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们又会相距最近？

II一2014年3月8日马航客机MH370失联，多国卫星在搜寻中发挥了重要作用.如图所示为某两颗搜寻卫星的运行示意图，A是地球的同步卫星.另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h,已知地球半径为R,地球自转周期为T.地球表面的重力加速度为q,O为地球中心.（1）求卫星B的运行角速度3;（2）若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近?线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近?第27讲卫星(天体)追及相遇模型I真题示例I真题示例(全国高考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日：5月11日土星冲日：8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是地球火星木星土星天王星海王星轨道半径(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都会出现冲日现象B.在2015年内一定会出现木星冲日C.天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短答案：BD解析：考察角追及和万有引力定律。由引力提供向心力可知inra)2相邻两次冲日的时间间隔———其中。。表示的是地球的公转角速度，a)x表示的是行星.的公转角速度。将第一式中一做的结果代入到第二式中有设行星的半径是地球半径的k倍，则上式可化为设行星的半径是地球半径的k倍，则上式可化为27r上式中y=刀三，也就是地球绕太阳公转的周期，即一年的时间。IGM小丁，e -vL53 、， 1.5x1.2 ,cl”对于火星k=1.5,t=一7 丫» Y=1-257a/TF-I1-5x1.2-1对于木星k=5.2,y=1.09y5.2>2对于木星k=5.2,y=1.09y2x2.3-1至此可知，后面的行星冲日时间间隔大约都是1年，但又大于1年，因为只有2-8时才恰恰为一年。知识回顾如果有两颗卫星在同一轨道平面内两个不同轨道上同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为3“6卫星的角速度为某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示，则当它们转过的角度之差△〃=n,即满足3"Xt—3bxt=Ji时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。两卫星相距最远的条件是w.,At-t=(2/7+1)n(/7=0,1,2,3-),相距最近的条件是t~3bA(/7=o,1,2,3…)。甲 乙二.例题精析例1.如图是在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星。设它们运行的周期分别是Ti、T2(Ti<T2),且某时刻两卫星相距最近。问：(1)两卫星再次相距最近的时间是多少？(2)两卫星相距最远的时间是多少？【解答】解：(1)依题意，T|<T2,根据开普勒第三定律可知，==k,周期大

的轨道半径大，故在外层轨道的卫星运行一周所需的时间长。27r设经过At两卫星再次相距最近，则它们运行的角度之差△e=2m27r2巩一ct—-2tt12解得t=(2)两卫星相距最远时，它们运行的角度之差△0=(2k+1)n(k=0,1,2,•,,)r27r 27r即一t-^t=(2k+l)n(k=0,1,2,…)At2解得t=第喏(k=0,1,2-)o2T1)答：(1)两卫星再次相距最近的时间是型-0(2)两卫星相距最远的时间是"U送(k=0,1,2…)。2(Rf)(多选)例2.2020年6月23日，''北斗三号”最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空，中国终于有了自己的卫星导航系统，未来将向全世界开放，也会成为70多亿人生活的一部分。北斗卫星导航系统有55颗卫星，若其中在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星甲和乙，它们运行的周期分别是2小时、16小时，且某时刻两卫星相距最近。则下列说法中正确的是( )A.两颗卫星再次相距最近的时间是半小时B.两颗卫星相距最远的时间是(16k+4)(k=0,1,2,…)小时C.乙卫星点火加速可以与甲卫星对接D.甲、乙两颗卫星的轨道半径之比为1：4【解答】解：A、设两颗卫星运行的周期分别为「、27TAt27TAtT2,设经过At时间两卫星再次相距最近，则它们运行的角度之差△0=2n,即——-——=2mTiT2解得△t=¥小时，故A正确；B、两卫星相距最远时，它们运行的角度之差△e=(2k+l)ir(k=0、1、2……)，即生丝一生竺=%T2(2k+l)n(k=0、1、2 ),解得41=丹把(k=0、1、2 )小时，故B错误；GMm v2C、乙卫星点火加速，v突然增大，—<m—乙卫星将做离心运动，不可能与甲卫星对接,丫乙 T故c错误;

D、根据开普勒第三定律可知，W，解得口=±故D正确。呼瑶r24故选：AD。三.举一反三，巩固练习.（多选）如图是在同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星.设它们运行的周期分别是Ti、T2.（Ti<T2）,且某时刻两卫星相距最近.（ ）两卫星再次相距最近的时间南=晚两卫星再次相距最近的时间南=晚B.两卫星相距最远的时间是"城餐C.两卫星再次相距最近的时间是"忌治D.两卫星相距最远的时间是t=警.林（其中k=012・♦）27r【解答】解：AC、两卫星再次相距最近时，转动的角度相差2ir,即:27r2n-yr-t—2n12解得：1=岸和。故c错误，A正确。BD、两卫星相距最远时，转动的角度相差（2k+l）tt（其中k=0.1.2…），即:—t-^t=(2k+l)n,(k=0.L2…)解得：t=驾±口^-(k=0.12“)。故B错误，D正确。TxT2 2T2-Tx故选：ADo2.如图所示，有A、B两颗卫星绕同颗质量未知，半径为R的行星做匀速圆周运动，旋转方向相同，其中A为近地轨道卫星，周期为Ti，B为静止轨道卫星，周期为T2,在某一时刻两卫星相距最近，试用已知量求解下列问题：（引力常量G为已知）（1）经过多长时间，两行星再次相距最近？（2）同步卫星离地面的高度h=?（3）该行星的平均密度p=?【解答】解：（1）卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力有:GMm 47r2rr2 T2

周期T=2nJ器,某时刻两卫星相距最近，则可知经过时间t两卫星再次相距最近时，A卫星比BE星多转过2n弧度，,. 27r2n即有：（———）t=2nAt2得丁1丁2T2-T1,（2）卫星做匀速圆周运动万有引力提供向心力有:GMm4712r——=m——r2T2A为近地轨道卫星，周期为Ti，23所以行星质量M=驾-GTi同步卫星周期为T2,所以同步卫星离地面的高度h=-R»同步卫星周期为T2,所以同步卫星离地面的高度h=-R»（3）根据密度的定义得:行星的平均密度p=y_行星的平均密度p=y~GTi°答：（1）经过尹-，两行星再次相距最近。同步卫星离地面的高度h=T2f同步卫星离地面的高度h=(2)（3）该行星的平均密度p=箫。3.A、B两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动。地球半径为R,A卫星离地面的高度3.为R,周期为T,B卫星离地面高度为3R,则：（结果可用根式表示）（1）A,B两卫星周期之比是多少？（2）若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过多长时间两卫星再次相距最近?（3）若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过多长时间两卫星相距最远？【解答】解：（1）地球半径为R,A卫星离地面的高度等于R,B卫星离地面高度为3R,所以Ra=2R,Rb=4R由开普勒第三定律可知解得：Ta：Tb=1：2V2o(2)设经过t时间，两卫星再次相距最近2n2n此时A比B多转一圈，即(———)1=2tttaTb解得：t=牛1其中：Ta=T则t=肚箸T。(3)设经过t'时间，两卫星相距最远此时A比B多转(n+0.5)圈，n=0、1,2 2n2n(———)t,=(n+0.5)2n,n=0>1、2 TaTb解得：t'=片生(2n+l)T,n=0、1、2 答：(1)A、B两卫星周期之比是1：2V2o8+2V2(2)若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过一匚丁两卫星再次相距最近。(3)74+V2若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过一2」(2n+l)T,n=0、1、2……，两卫7星相距最远。4.如图所示，A、B是地球的两颗卫星，卫星A、B的圆形轨道位于赤道平面内，运行方向与地球自转方向相同。卫星A离地面高度为7R,卫星B离地面高度为R,R为地球半径，地球表面的重力加速度为g,O为地球中心。(1)求卫星A、B的运行周期之比。(2)若某时刻A、B两卫星相距最近(0、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？JVJfJL r £»ILA【解答】解：由万有引力提供I可心力：Gk=m=murr=m(―)2r解

O)A=gR

(7R+R)(2)由O)A=gR

(7R+R)(2)由3=gR

(R+R)3得它们再一次相距最近时，一定是B比A多转了一圈，有:(3B-3a)t=2ir由以上各式可得：t由以上各式可得：t=327r叵

~~小丁答：(1)求卫星A、B的运行周期之比为8：1。(2)若某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过它们再一次相距最近。“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道。随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道。如图所示，阴影部分表示月球，设想卫星在圆形轨道I上做匀速圆周运动，在圆轨道I上飞行n圈所用时间为t,到达A点时经过短暂的点火变速，进入椭圆轨道H,在到达轨道H近月B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道HI(轨道半径近似为月球半径)，而后卫星在轨道HI上绕月球做匀速圆周运动，在圆轨道IIL上飞行n圈所用时间为，不考虑其他星体对卫星的影响。(1)求月球的平均密度。(2)求卫星从轨道II上远月点A运动至近月点B所用的时间。(3)如果在I、III轨道上有两颗卫星，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两卫星相距最近(两卫星在月球球心的同侧，且两卫星与月球球心在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们又会相距最近?

【解答】解：(I)设月球的质量为M,半径为R,“嫦娥一号”的质量为m,卫星在圆轨道山上的运动周期为：73=普由万有引力提供向心力有：G爷=m*联立解得：p=当gt11927m2又根据：M=p联立解得：p=当gt11927m2(2)设卫星在轨道I上的运动周期为Ti，在轨道1上，由万有引力提供向心