正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳

..●高考明方向掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题．★备考知考情1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考考查的热点．2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题中,综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的判断等问题．3.三种题型都有可能出现,属中低档题.一、知识梳理《名师一号》P62知识点一正弦定理<其中R为△ABC外接圆的半径>变形1:变形2：变形3：注意：<补充>关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化。知识点二余弦定理注意：<补充>〔1关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化。〔2勾股定理是余弦定理的特例〔3在中,用于判断三角形形状《名师一号》P63问题探究问题3判断三角形形状有什么办法？判断三角形形状的两种途径：一是化边为角；二是化角为边,并常用正弦<余弦>定理实施边、角转换．知识点三三角形中常见的结论△ABC的面积公式有：①S＝eq\f<1,2>a·h<h表示a边上的高>；②S＝eq\f<1,2>absinC＝eq\f<1,2>acsinB＝eq\f<1,2>bcsinA＝eq\f<abc,4R>；--知两边〔或两边的积及其夹角可求面积③S＝eq\f<1,2>r<a＋b＋c><r为内切圆半径>．<补充>〔1〔2在三角形中大边对大角,大角对大边．〔3任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边．〔4有关三角形内角的常用三角函数关系式利用及诱导公式可得之〔5在△ABC中的几个充要条件:《名师一号》P63问题探究问题4sinA>sinB⇔eq\f<a,2R>>eq\f<b,2R>⇔a>b⇔A>B.<补充>若或<>或<>《45套》之7--19〔6锐角△ABC中的常用结论为锐角三角形4．解斜三角形的类型《名师一号》P63问题探究问题1利用正、余弦定理可解决哪几类问题？在解三角形时,正弦定理可解决两类问题：<1>已知两角及任一边,求其它边或角；<2>已知两边及一边的对角,求其它边或角．情况<2>中结果可能有一解、二解、无解,应注意区分．余弦定理可解决两类问题：<1>已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；<2>已知三边问题．<补充>已知两边和其中一边的对角〔如用正弦定理或余弦定理均可《名师一号》P63问题探究问题2选用正、余弦定理的原则是什么？若式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理；若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到．补充:一、正弦定理推导必修5证明思路：转化到特殊情形----直角三角形中二、余弦定理推导必修520XXXX高考考查余弦定理的证明18.〔本小题满分12分叙述并证明余弦定理。,,.证明：〔证法一如图,即同理可证,〔证法二已知中,所对边分别为,以为原点,所在直线为轴建立直角坐标系,则,∴,即同理可证,二、例题分析：〔一利用正、余弦定理解三角形例1．〔1《名师一号》P62对点自测1在△ABC中,A＝60°,B＝75°,a＝10,则c等于<>A．5eq\r<2>B．10eq\r<2>C.eq\f<10\r<6>,3>D．5eq\r<6>解析由A＋B＋C＝180°,知C＝45°,由正弦定理得：eq\f<a,sinA>＝eq\f<c,sinC>.即eq\f<10,\f<\r<3>,2>>＝eq\f<c,\f<\r<2>,2>>.∴c＝eq\f<10\r<6>,3>.注意：已知两角及任一边,求其它边或角----正弦定理,解唯一例1．〔2《名师一号》P62对点自测2在△ABC中,若a＝3,b＝eq\r<3>,A＝eq\f<π,3>,则C的大小为________．解析由正弦定理可知sinB＝eq\f<bsinA,a>＝eq\f<\r<3>sin\f<π,3>,3>＝eq\f<1,2>,所以B＝eq\f<π,6>或eq\f<5π,6><舍去>,<因为a>b即A＝eq\f<π,3>>B所以B＝eq\f<π,6>>所以C＝π－A－B＝π－eq\f<π,3>－eq\f<π,6>＝eq\f<π,2>.一解!变式1:在△ABC中,若b＝3,a＝eq\r<3>,A＝eq\f<π,3>,则C的大小为________．答案:sinB>1无解!变式2:在中,已知,解.答案：或两解!变式3:求边？注意：知道两边和其中一边的对角〔如解三角形可用正弦定理先求出角也可用余弦定理先求出边再求解。两种方法均须注意解的个数！可能有一解、二解、无解,应注意区分．练习:<补充>〔2009XX文17已知函数处取最小值。〔I求的值；〔Ⅱ在中,分别是角A,B,C的对边,已知求角C。[解析]〔Ⅰf<x>＝2sinx＝sin<x+>.因为f<x>在x＝时取最小值,所以sin<+>=-1,故sin=1.又0＜＜,所以＝,〔Ⅱ由〔Ⅰ知f<x>=sin<x+>=cosx.因为f<A>=cosA=,且A为△ABC的角,所以A＝.由正弦定理得sinB＝=,又b＞a,当时,当时,综上所述,例2．<补充>若满足条件,的有两个,求的取值范围.答案：注意：判断三角形解的个数常用方法：<1>在中,已知。构造直角三角形判断<2>利用余弦定理判断〔一元二次方程正根个数勿忘大边对大角判断已知两边及其中一边对角,判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．②在△ABC中,已知a、b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数,解的个数见下表：图示已知a、b、A,△ABC解的情况．<ⅰ>A为钝角或直角时解的情况如下：<ⅱ>A为锐角时,解的情况如下：=3\*GB3③运用余弦定理转化为关于一元二次方程正根个数问题练习:已知中,若,且三角形有两解,求角的取值范围。答案：由条件知bsinA<a,即2eq\r<2>sinA<2,∴sinA<eq\f<\r<2>,2>,∵a<b,∴A<B,∴A为锐角,∴0<A<eq\f<π,4>.例3．〔1《名师一号》P62对点自测3在△ABC中,a＝eq\r<3>,b＝1,c＝2,则A等于<>A．30°B．45°C．60°D．75°解析由余弦定理得：cosA＝eq\f<b2＋c2－a2,2bc>＝eq\f<1＋4－3,2×1×2>＝eq\f<1,2>,∵0＜A＜π,∴A＝60°.注意：已知三边,求其它边或角---余弦定理例3．〔2《名师一号》P63高频考点例1<2><2014·新课标全国卷Ⅱ>钝角三角形ABC的面积是eq\f<1,2>,AB＝1,BC＝eq\r<2>,则AC＝<>A．5B.eq\r<5>C．2D．1解:由题意知S△ABC＝eq\f<1,2>AB·BC·sinB,即eq\f<1,2>＝eq\f<1,2>×1×eq\r<2>sinB,解得sinB＝eq\f<\r<2>,2>,∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时,AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋<eq\r<2>>2－2×1×eq\r<2>×eq\f<\r<2>,2>＝1.此时AC2＋AB2＝BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意；当B＝135°时,AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋<eq\r<2>>2－2×1×eq\r<2>×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<\r<2>,2>>>＝5,解得AC＝eq\r<5>.符合题意．故选B.注意：已知两边夹角,求其它边或角---余弦定理小结:已知与待求涉及三边和一角的关系---余弦定理例4．〔1《名师一号》P63高频考点例1<1><2014·XX卷>在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a＝2b,则eq\f<2sin2B－sin2A,sin2A>的值为<>A．－eq\f<1,9>B.eq\f<1,3>C．1D.eq\f<7,2>解:∵3a＝2b,∴由正弦定理得eq\f<a,b>＝eq\f<sinA,sinB>＝eq\f<2,3>.∴eq\f<sin2A,sin2B>＝eq\f<4,9>,∴eq\f<2sin2B－sin2A,sin2A>＝2×eq\f<sin2B,sin2A>－1＝2×eq\f<9,4>－1＝eq\f<9,2>－1＝eq\f<7,2>.例4．〔2《名师一号》P62对点自测已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－eq\r<3>ab,则此三角形的最大内角为__________．解析∵a2＋b2－c2＝－eq\r<3>ab,∴cosC＝eq\f<a2＋b2－c2,2ab>＝－eq\f<\r<3>,2>,故C＝150°为三角形的最大内角．注意：〔1关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化。〔2关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化.注意等价转换!!!练习:<2010·天津理>在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2－b2＝eq\r<3>bc,sinC＝2eq\r<3>sinB,则A＝<>A．30°B．60°C．120°D．150°解:由余弦定理得：cosA＝eq\f<b2＋c2－a2,2bc>,由题知b2－a2＝－eq\r<3>bc,c2＝2eq\r<3>bc,则cosA＝eq\f<\r<3>,2>,又A∈<0°,180°>,∴A＝30°,故选A.注意：已知三边比例关系---余弦定理〔二三角形的面积例1．〔1《名师一号》P62对点自测6<2014·XX卷>在△ABC中,A＝60°,AC＝4,BC＝2eq\r<3>,则△ABC的面积等于________．解析由题意及余弦定理得cosA＝eq\f<b2＋c2－a2,2bc>＝eq\f<c2＋16－12,2×4×c>＝eq\f<1,2>,解得c＝2.所以S＝eq\f<1,2>bcsinA＝eq\f<1,2>×4×2×sin60°＝2eq\r<3>.故答案为2eq\r<3>.注意：知道两边和其中一边的对角〔如解三角形可用正弦定理先求出角也可用余弦定理先求出边再求解。两种方法均须注意解的个数！本例用余弦求边更快捷.例1．〔2《名师一号》P63高频考点例3<2014·XX卷>在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c＝eq\r<3>,cos2A－cos2B＝eq\r<3>sinAcosA－eq\r<3>sinBcosB.<1>求角C的大小；<2>若sinA＝eq\f<4,5>,求△ABC的面积．解:<1>由题意得eq\f<1＋cos2A,2>－eq\f<1＋cos2B,2>＝eq\f<\r<3>,2>sin2A－eq\f<\r<3>,2>sin2B,即eq\f<\r<3>,2>sin2A－eq\f<1,2>cos2A＝eq\f<\r<3>,2>sin2B－eq\f<1,2>cos2B,sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2A－\f<π,6>>>＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2B－\f<π,6>>>.由a≠b,得A≠B,又A＋B∈<0,π>．得2A－eq\f<π,6>＋2B－eq\f<π,6>＝π,即A＋B＝eq\f<2π,3>,所以C＝eq\f<π,3>.<2>由c＝eq\r<3>,sinA＝eq\f<4,5>,eq\f<a,sinA>＝eq\f<c,sinC>,得a＝eq\f<8,5>.由a<c,得A<C,从而cosA＝eq\f<3,5>,故sinB＝sin<A＋C>＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f<4＋3\r<3>,10>.所以△ABC的面积为S＝eq\f<1,2>acsinB＝eq\f<8\r<3>＋18,25>.[规律方法]三角形面积公式的应用原则<1>对于面积公式S＝eq\f<1,2>absinC＝eq\f<1,2>acsinB＝eq\f<1,2>bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．<2>与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．〔三三角形形状的判定例1．〔1《名师一号》P63高频考点例2在△ABC中a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA＝<2b＋c>sinB＋<2c＋b>sinC.<1>求A的大小；<2>若sinB＋sinC＝1,试判断△ABC的形状．解:<1>由已知,根据正弦定理得2a2＝<2b＋c>·b＋<2c＋b>c,即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA,故cosA＝－eq\f<1,2>,∵0<A<180°,∴A＝120°.<2>由<1>得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝eq\f<3,4>.又sinB＋sinC＝1,解得sinB＝sinC＝eq\f<1,2>.∵0°<B<60°,0°<C<60°,故B＝C＝30°,A＝120°.∴△ABC是等腰钝角三角形．法二：因为A＝120°,且A+B＋C=180°所以sinB＋sinC＝1即sin〔60°-C＋sinC＝1可求得C=30°例1．<2><补充>根据所给条件,判断△ABC的形状．1>若acosA＝bcosB,则△ABC形状为________．2>若eq\f<a,cosA>＝eq\f<b,cosB>＝eq\f<c,cosC>,则△ABC形状为________．解析：<1>解法一:由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB即sin2A＝sin2B或或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．解法二:由余弦定理得acosA＝bcosB⇒a·<eq\f<b2＋c2－a2,2bc>>＝b·<eq\f<a2＋c2－b2,2ac>>⇒a2c2－a4－b2c2＋b4＝0,∴<a2－b2><c2－a2－b2>＝0∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0∴a＝b或c2＝a2＋b2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．<2>由正弦定理得eq\f<sinA,cosA>＝eq\f<sinB,cosB>＝eq\f<sinC,cosC>即tanA＝tanB＝tanC,∵A、B、C∈<0,π>,∴A＝B＝C,∴△ABC为等边三角形．注意：利用正、余弦定理进行边角互化<1>关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化。<2>关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化。[规律方法]依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法：<1>利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状．<2>利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．《加加练》P9第6题已知中,则为〔A.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：B《计时双基练》P252第2题〔四三角形的综合问题例1．<补充>在△ABC中,sin<C-A>=1,sinB=.<Ⅰ>求sinA的值；<Ⅱ>设AC=EQ\r<6>,求△ABC的面积.解：〔Ⅰ由,且,∴,∴,∴,又,∴ABC〔ⅡABC∴,又∴注意:关注三角形内角和、特殊角、三角恒等变换公式、知两边夹角求面积公式的选择。例2．<补充>已知中,角所对的边分别为,,,求的取值范围解法一：正弦定理〔结合三角最值当且仅当即时等号成立法二：余弦定理〔结合不等式由得即当且仅当时等号成立又三角形两边之和大于第三边注：这是一道好题,刚好都能运用"正余弦定理求解最值问题"的两种主要方法解决。小结：借助正弦定理,转化为角的正弦值,利用三角函数最值求解借助余弦定理,转化为边的关系,利用均值不等式求解余弦定理注意两数和〔差与这两数的平方和、两数的积的关系的运用练习:《加加练》P11第11题已知△ABC中,外接圆半径是1,且满足,则△ABC面积的最大值为答案：《计时双基练》P251第6题<补充>已知向量,,为锐角的内角,其对应边为,,.〔Ⅰ当取得最大值时,求角的大小；〔Ⅱ在〔Ⅰ成立的条件下,当时,求的取值范围.解：〔Ⅰ,时,即时,取得最大值,∴〔Ⅱ由正弦定理可知,24ma注意：正弦定理：<其中R为△ABC外接圆的半径>为锐角三角形★注意：为锐角三角形讲评：1、《计时双基练》P252基础11---多个三角形问题<2014·XX卷>如图,在平面四边形ABCD中,AD＝1,CD＝2,AC＝eq\r<7>.<1>求cos∠CAD的值；<2>若cos∠BAD＝－eq\f<\r<7>,14>,sin∠CBA＝eq\f<\r<21>,6>,求BC的长．解<1>由余弦定理可得cos∠CAD＝eq\f<AD2＋AC2－DC2,2AD·AC>＝eq\f<1＋7－4,2×1×\r<7>>＝eq\f<2\r<7>,7>,∴cos∠CAD＝eq\f<2\r<7>,7>.<2>∵∠BAD为四边形内角,∴sin∠BAD>0且sin∠CAD>0,则由正余弦的关系可得sin∠BAD＝eq\r<1－cos2∠BAD>＝eq\f<3\r<21>,14>,且sin∠CAD＝eq\r<1－cos2∠CAD>＝eq\f<\r<21>,7>,由正弦的和差角公式可得sin∠BAC＝sin<∠BAD－∠CAD>＝sin∠BADcos∠CAD－sin∠CADcos∠BAD＝eq\f<3\r<21>,14>×eq\f<2\r<7>,7>－eq\f<\r<21>,7>×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<\r<7>,14>>>＝eq\f<3\r<3>,7>＋eq\f<\r<3>,14>＝eq\f<\r<3>,2>,再由△ABC的正弦定理可得eq\f<AC,sin∠CBA>＝eq\f<BC,sin∠BAC>⇒BC＝eq\f<\r<7>,\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<21>,6>>>>×eq\f<\r<3>,2>＝3.2、《45套》之7--19〔2---方程的思想课后作业计时双基练P251基础1-6；课本P63变式思考1、3补充练习1、2、3计时双基练P251基础7-11；培优1-4课本P63变式思考2三、课本P64典例、※对应训练补充练习4、5预习第七节补充练习:1、〔2009XX文17已知函数处取最小值。〔I求的值；〔Ⅱ在中,分别是角A,B,C的对边,已知求角C。[解析]〔Ⅰf<x>＝2sinx＝sin<x+>.因为f<x>在x＝时取最小值,所以sin<+>=-1,故sin=1.又0＜＜,所以＝,〔Ⅱ由〔Ⅰ知f<x>=sin<x+>=cosx.因为f<A>=cosA=,且A为△ABC的角,所以A＝.由正弦定理得sinB＝=,又b＞a,当时,当时,综上所述,2、已知中,若,且三角形有两解