高等数学(2版-建工类)定积分的微元法-平面图形的面积-课件

5-5、定积分在几何方面的应用一、定积分的元素法abxyo回顾(求曲边梯形的面积)曲边，以[a,b]为底的曲边梯形的面积A.设函数在[a,b]上连续，求以为15-5、定积分在几何方面的应用一、定积分的元素法abxyo回(3)求和，(4)求极限，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，小窄曲边梯形的面积为则(2)计算的近似值，而第i个(1)把区间[a,b]分成n个长度为的小区间得A的近似值,得A的精确值面积表示为定积分的步骤如下2(3)求和，(4)求极限，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲abxyo面积元素对以上过程进行简化:这种简化以后的定积分方法叫“微元法”的面积，则取面积元素记为则若用表示任一小区间上的窄曲边梯形3abxyo面积元素对以上过程进行简化:这种简化以后的定积分方注意：使用元素法的条件：(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.(2)U对于区间[a,b]具有可加性，则U相应地分成许多即如果把区间[a,b]分成许多部分区间，部分量，而U等于所有部分量之和.则U在[a,b]上的值可由定积分示为(3)在[a,b]中任取得小区间上的部分量与区间长度可以通过x的某函数乘积近似表来计算.4注意：使用元素法的条件：(1)U是与一个变量x的变化区间[a用元素法求量U的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．1.根据具体情况，选取积分变量，如：x.确定x的变化区间[a,b].2.把区间[a,b]分成n个小区间，取一代表区间求出该区间上所求量的部分量的近似表达式量U的微分元素.3.写出定积分的表达式：先作图5用元素法求量U的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．1.根据具1.直角坐标系情形二、平面图形的面积oyx(1)为曲边，以以[a,b]为底的曲边梯形的面积A.(2)由曲线所围图形的面积.xoy其面积元素为：则面积为上曲线下曲线61.直角坐标系情形二、平面图形的面积oyx(1)为曲边，以以(3)为曲边，以以[c,d]为底的曲边梯形的面积A.(4)由曲线所围图形的面积.其面积元素为：则面积为右曲线左曲线xoycdxyocdy+dyyy+dyy7(3)为曲边，以以[c,d]为底的曲边梯形的面积A.(4)由总之oxyxx+dxx+dxx在[a,b]上有正有负，时，时，8总之oxyxx+dxx+dxx在[a,b]上有正有负，时，时解法1.两曲线的交点面积元素选为积分变量可直接由公式得到例1计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.xx+dx问题：积分变量只能选吗？9解法1.两曲线的交点面积元素选为积分变量可直接由公式解法2.两曲线的交点面积元素选为积分变量，10解法2.两曲线的交点面积元素选为积分变量，10解由公式得：可直接从几何意义上得到xy=sinxoy例2求由曲线y=sinx与直线及x轴所围成的平面图形的面积.11解由公式得：可直接从几何意义上得到xy=sinxoy例2求由解两曲线的交点说明：注意各积分区间上被积函数的形式．选为积分变量例3计算由曲线和所围成的图形的面积.12解两曲线的交点说明：注意各积分区间上被积函数的形式．选选为积分变量说明:合理选择积分变量，能使计算简单.例3计算由曲线和所围成的图形的面积.解13选为积分变量说明:合理选择积分变量，能使计算简单.例如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积（相当于定积分的换元）(其中和对应曲线起点与终点的参数值)在(或)上具有连续导数，连续.14如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积（相当于定积分的换解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例4求椭圆的面积.15解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例面积元素曲边扇形的面积为:二、极坐标系情形设由曲线及射线围成一个曲边扇形，求其面积.其中在上连续，且取为积分变量，则积分区间为在上任取一小区间则16面积元素曲边扇形的面积为:二、极坐标系情形设由曲线及射线围成解利用对称性知17解利用对称性知17部分的面积.例6求由曲线和解所求面积为由图形的对称性，所围成的公共23x..解方程组得交点坐标为：18部分的面积.例6求由曲线和解所求面积为由图形的对称性，所围成1919三、小结一、元素法的一般步骤：1.根据具体情况，选取积分变量，如：x.确定x的变化区间[a,b].2.把区间[a,b]分成n个小区间，取一代表区间求出该区间上所求量的部分量的近似表达式量U的元素.3.写出定积分的表达式：也叫微分元素.作图20三、小结一、元素法的一般步骤：1.根据具体情况，选取积分变量二、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.直角坐标系情形曲边梯形的面积oyxxoy其面积为上曲线下曲线21二、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面(注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算)xyoy+dyycdxoyy+dyycd则面积为右曲线左曲线曲边梯形的面积22(注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算)xyoy+dyy5-5、定积分在几何方面的应用一、定积分的元素法abxyo回顾(求曲边梯形的面积)曲边，以[a,b]为底的曲边梯形的面积A.设函数在[a,b]上连续，求以为235-5、定积分在几何方面的应用一、定积分的元素法abxyo回(3)求和，(4)求极限，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，小窄曲边梯形的面积为则(2)计算的近似值，而第i个(1)把区间[a,b]分成n个长度为的小区间得A的近似值,得A的精确值面积表示为定积分的步骤如下24(3)求和，(4)求极限，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲abxyo面积元素对以上过程进行简化:这种简化以后的定积分方法叫“微元法”的面积，则取面积元素记为则若用表示任一小区间上的窄曲边梯形25abxyo面积元素对以上过程进行简化:这种简化以后的定积分方注意：使用元素法的条件：(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.(2)U对于区间[a,b]具有可加性，则U相应地分成许多即如果把区间[a,b]分成许多部分区间，部分量，而U等于所有部分量之和.则U在[a,b]上的值可由定积分示为(3)在[a,b]中任取得小区间上的部分量与区间长度可以通过x的某函数乘积近似表来计算.26注意：使用元素法的条件：(1)U是与一个变量x的变化区间[a用元素法求量U的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．1.根据具体情况，选取积分变量，如：x.确定x的变化区间[a,b].2.把区间[a,b]分成n个小区间，取一代表区间求出该区间上所求量的部分量的近似表达式量U的微分元素.3.写出定积分的表达式：先作图27用元素法求量U的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．1.根据具1.直角坐标系情形二、平面图形的面积oyx(1)为曲边，以以[a,b]为底的曲边梯形的面积A.(2)由曲线所围图形的面积.xoy其面积元素为：则面积为上曲线下曲线281.直角坐标系情形二、平面图形的面积oyx(1)为曲边，以以(3)为曲边，以以[c,d]为底的曲边梯形的面积A.(4)由曲线所围图形的面积.其面积元素为：则面积为右曲线左曲线xoycdxyocdy+dyyy+dyy29(3)为曲边，以以[c,d]为底的曲边梯形的面积A.(4)由总之oxyxx+dxx+dxx在[a,b]上有正有负，时，时，30总之oxyxx+dxx+dxx在[a,b]上有正有负，时，时解法1.两曲线的交点面积元素选为积分变量可直接由公式得到例1计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.xx+dx问题：积分变量只能选吗？31解法1.两曲线的交点面积元素选为积分变量可直接由公式解法2.两曲线的交点面积元素选为积分变量，32解法2.两曲线的交点面积元素选为积分变量，10解由公式得：可直接从几何意义上得到xy=sinxoy例2求由曲线y=sinx与直线及x轴所围成的平面图形的面积.33解由公式得：可直接从几何意义上得到xy=sinxoy例2求由解两曲线的交点说明：注意各积分区间上被积函数的形式．选为积分变量例3计算由曲线和所围成的图形的面积.34解两曲线的交点说明：注意各积分区间上被积函数的形式．选选为积分变量说明:合理选择积分变量，能使计算简单.例3计算由曲线和所围成的图形的面积.解35选为积分变量说明:合理选择积分变量，能使计算简单.例如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积（相当于定积分的换元）(其中和对应曲线起点与终点的参数值)在(或)上具有连续导数，连续.36如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积（相当于定积分的换解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例4求椭圆的面积.37解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例面积元素曲边扇形的面积为:二、极坐标系情形设由曲线及射线围成一个曲边扇形，求其面积.其中在上连续，且取为积分变量，则积分区间为在上任取一小区间则38面积元素曲边扇形的面积为:二、极坐标系情形设由曲线及射线围成解利用对称性知39解利用对称性知17部分的面积.例6求由曲线和解所求面积为由图形的对称性，所围成的公共23x..解方程组得交点坐标为：40部分的面积.例6求由曲线和解所求面积为由图形的对称性，所围成4119三、小结一、元素法的一般步骤：1.根据具体情况，选取积分变量，如：x.确定x的变化区间[a,b].2.把区间[a,b]分成n个小区间，取一代表区间求出该区间上所求量的部分量的近似表达式量U的元素.3.写出定积分的表达式：也叫微分元素.作图42三、小结一、元素法的