初中数学北师大八年级下册三角形的证明-八年级下册《等腰三角形》PPT

证明命题的一般步骤:与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”);(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.

回顾与思考1驶向胜利的彼岸

回顾与思考2基本事实:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.ABCA′B′C′在△ABC与△A′B′C′中∵AB=A′B′（已知）,

BC=B′C′（已知）,

AC=A′C′（已知）,∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.

回顾与思考3基本事实:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.在△ABC与△A′B′C′中∵AB=A′B′（已知）,

∠A=∠A′（已知）,

AC=A′C′（已知）,∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.ABCA′B′C′●●驶向胜利的彼岸

回顾与思考4基本事实:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.在△ABC与△A′B′C′中∵∠A=∠A′（已知）,

AB=A′B′（已知）,

∠B=∠B′（已知）,∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.驶向胜利的彼岸ABCA′B′C′●●●●●●

回顾与思考5基本事实:全等三角形的对应边相等、对应角相等.在△ABC与△A′B′C′中∵△ABC≌△A′B′C′（已知）∴AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′

（全等三角形的对应边相等）;∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′（全等三角形的对应角相等）.驶向胜利的彼岸●●●●●●ABCA′B′C′●●●●●●

回顾与思考6推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.证明:∵∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）∴∠B=∠B′（三角形内角和定理）.

在△ABC与△A′B′C′中∵∠A=∠A′（已知）,AB=A′B′（已知）,∠B=∠B′（已证）,∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.驶向胜利的彼岸ABCA′B′C′●●●●●●已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠C=∠C′,AB=A′B′.求证:△ABC≌△A′B′C′.分析:要证明△ABC≌△A′B′C′,只要能满足基本事实（SSS）、（SAS）、（ASA）中的一个即可.根据三角形内角和定理易知,第三个角必对应相等.

回顾与思考7推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.在△ABC与△A′B′C′中∵∠A=∠A′（已知）,

∠C=∠C′（已知）,

AB=A′B′（已知）,∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.′ABCA′B′C′●●●●●●证明后的结论,以后可以直接运用.

等腰三角形的性质你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一).你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗?

议一议P21定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB12ACBD

议一议P22定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB已知:如图,在△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C.分析:要证明∠B=∠C,只要能使∠B、∠C为两个全等三角形的一对对应角即可.因此，需要作辅助线“过点A作高线AD”.在Rt△ABD与Rt△ACD中∵AB=AC（已知）,AD=AD（公共边）,∴△ABD≌△ACD（HL）.D你还有其他证法吗?胜利属于敢想敢干的人.证明:过点A作AD⊥BC,交BC于点D.∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.

议一议P23定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB如图,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等边对等角).证明后的结论,以后可以直接运用.

命题的证明

想一想P41推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一).已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠1=∠2.求证:BD=CD,AD⊥BC.分析:要证明BD=CD,AD⊥BC,只要能证明△ABD≌△ACD即可.由基本事实(SAS)易证.在△ABD与△ACD中∵AB=AC（已知）,∠1=∠2（已知）

AD=AD（公共边）,∴△ABD≌△ACD（SAS）.∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=900

（全等三角形的对应边,对应角相等）.∴AD⊥BC（垂直意义）.证明:ACBD12几何的三种语言

议一议P33推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一).如图,在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC（三线合一）.证明后的结论,以后可以直接运用.

ACBD12如图,在△ABC中,∵AB=AC,BD=CD(已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC（三线合一）.如图,在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC(已知).∴BD=CD,∠1=∠2（三线合一）.轮换条件∠1=∠2,BD=CD,AD⊥BC可得三线合一的三种不同形式的运用.1.如图,在△ABD中,C是BD上的一点,且AC⊥BD,AC=BC=CD.(1)求证:△ABD是等腰三角形;(2)求∠BAD的度数.

随堂练习P41ABDC理解证明的必要性和规范性.理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项.你对“执果索因”,“由因导果”理解与运用有何进步.规范性中的条理清晰,因果相应,言必有据的要求是否内化为一种技能.几何的三种语言融会贯通的水平是否有所提高.关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器.你准备如何提高证明命题的能力呢?小结拓展结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!

再见1等腰三角形第2课时等腰三角形中哦一些结论——

你会证明吗？1.等腰三角形两底角的平分线相等。等腰三角形中哦一些结论——

你会证明吗？2.等腰三角形两腰上的中线、高线相等191、等边三角形的内角都相等吗?为什么?∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C(在同一个三角形中等边对等角)∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°探索星空：探究性质一⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.等边三角形的性质⑴等边三角形的三边都相等ABC）（60°60°已知：△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作∠BAC的平分线AD在△BAD和△CAD中，∠1=∠2∠B=∠C，AD=AD∴△BAD≌△CAD（AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）ABCD12等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。2、等腰三角形的判定方法有下列几种：

。3、反证法1、等边三角形的性质小结①定义，②判定定理1等腰三

角形第3课时一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.开启智慧ACB600ACB600ACB600你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？驶向胜利的彼岸命题的证明

我能行1定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.证明:∵AB=AC,∠B=600(已知),∴∠C=∠B=600.(等边对等角).∴∠A=600(三角形内角和定理).∴∠A=∠B（等式性质）.∴AC=CB（等角对等边）.∴AB=BC=AC（等式性质）.∴△ABC是等边三角形.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=600.求证:△ABC是等边三角形.ACB600几何的三种语言

回顾反思1驶向胜利的彼岸定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.在△ABC中,∵AB=AC,∠B=600(已知).∴△ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).这又是一个判定等边三角形的根据.ACB600驶向胜利的彼岸命题的证明

我能行2定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.证明:∵∠A=∠B(已知),∴BC=AC(等角对等边).

又∵∠B=∠C(已知),∴AB=AC(等角对等边).∴AB=BC=AC(等式性质).∴△ABC是等边三角形.已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.求证:△ABC是等边三角形.ACB几何的三种语言

回顾反思2驶向胜利的彼岸定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C(已知),∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).这又是一个判定等边三角形的根据.ACB600600600驶向胜利的彼岸命题的猜想

我能行3操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？300300300300结论:在直角三角形中,300角所对的直角边等于斜边的一半.能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.由此你想到，在直角三角形中,300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？300300驶向胜利的彼岸命题的证明

我能行4定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300(已知),∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).又∵∠ACB=900(已知),∴∠ACD=900(平角定义).在△ABC与△ADC中∵BC=DC（作图）,∠ACB=∠ACD（已证）,AC=AC（公共边）,∴△ABC≌△ADC（SAS）,∴AB=AD.∴△ABD是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)∴BC=BD=AB(等式性质).已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300.求证:BC=AB.证明:如图,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.300ABCD几何的三种语言

回顾反思3驶向胜利的彼岸这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据.定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300.∴BC=AB(在直角三角形中,300角所对的直角边等于斜边的一半).ABC300学无止境

例题欣赏1驶向胜利的彼岸分析:如图,在△ABC中AB=AC=2a,∠B=∠ACB=150,CD⊥AB于D.求:CD=?解:∵∠B=∠ACB=150(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=150+150=300(三角形的一个外角,等于和其不相邻的两内角的和).∴CD=AC=×2a=a(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).ACBD150150例2.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a.求:腰上的高.含300角的直角三角形

随堂练习2驶向胜利的彼岸1.已知:如图,在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D.求证:BD=AB.分析:因为∠A=300,所以BC=AB.要证明BD=AB,只要能使BD=BC即可,此时若∠BCD=300就可以了.而由“双垂直三角形”即可求得.你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?ACBD

随堂练习32.已知:如图,点P,Q在BC上,且BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H.(1)求证:AB=AC;(2)试在图中标出各个角的度数;(3)求出图中各线段的长度,并说明理由.驶向胜利的彼岸胜利属于敢想敢干的人！你能与同学们交流探索证题的全过程吗?ABCPQH反过来怎么样——逆向思维命题:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300，是真命题吗?如果是,请你证明它.驶向胜利的彼岸心动不如行动300ABC已知:如图,在△ABC中，∠ACB=900,BC=AB.求证:∠A=300.反过来怎么样——逆向思维在△ABD中,∵∠ACB=900(已知),CD=BC，∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).又∵BC=AB(已知),BC=BD(作图),∴AB=BD(等量代换).∴AB=BD=AD(等式性质）.∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义).∴∠B=600(等边三角形意义).∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).驶向胜利的彼岸心动不如行动300ABCD证明:如图,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.回味无穷等边三角形的判定:定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.特殊的直角三角形的性质:定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.老师提醒:反证法你还认识吗?小结拓展习题1.4

独立作业11.已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形.证明1:∵△ABC等边三角形(已知),∴∠A＝∠B=∠C＝600.又∵DE∥BC(已知),∴∠1=∠B=600,∠2=∠C=600(两直线平行,同位角相等).∴∠A=∠1=∠2(等量代换).∴△ADE是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形).BECDA12习题1.4

独立作业22.房梁的一部分如图所示,其中BC⊥AC,∠A=300,AB=7.4m,点D是AB的中点,DE⊥AC,垂足为E.求:BC,DE的长.解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=7.4m(已知),∴BC=AB=7.4÷2＝3.7(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半),又∵AD=AB=7.4÷2＝3.7(中点意义),∴DE=AD=3.7÷2＝1.85(在直角三角形中