安徽省安庆一中高二数学新课标必修五同步课件：34第1课时基本不等式

3.4

基本不等式：第1课时基本不等式3.4基本不等式：第1课时基本不等式

国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举行，它的会标是什么？国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大第24届国际数学家大会

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．第24届国际数学家大会会标是根据中国古代1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的代数、几何背景.(重点）2.基本不等式的简单应用.1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的代数、几何背1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？BACDEFGH探究点1探究基本不等式1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？BACDEBACDEFGH则正方形ABCD的面积是________，这4个直角三角形的面积之和是_________，设AE=a,BE=b,a2+b22ab>BACDEFGH则正方形ABCD的面积设AE=a,BE=b,当且仅当a=b时，等号成立，当且仅当a=b时，等号成立，一般地，对于任意实数a，b，我们有当且仅当a=b时，等号成立.3.你能给出它的证明吗？【提升总结】一般地，对于任意实数a，b，我们有当且仅当a=b时，等号成立特别地，我们用,分别代替可得4.你能用不等式的性质直接推导吗？通常我们把上式写作特别地，我们用,分别代替可得4.你能用不等式的性质直接推导吗证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.

证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,基本不等式：注意：（1）a,b均为正数；（2）当且仅当a=b时取等号.【提升总结】基本不等式：注意：（1）a,b均为正数；【提升总结】DABCE如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,则CD=＿＿,半径为＿＿.DABCE如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CD小于或等于圆的半径.用不等式表示为上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.几何意义：半径不小于半弦.CD小于或等于圆的半径.用不等式表示为上述不等式当且仅当点C可以叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式可以叙述为:叫做正数a，b的算术平均数，基本不等例1当

时，的最小值为

，此时

.21探究点2基本不等式在求最值中的应用例1当时，的最小值为，此时21探分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.例2(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，例2(1)用解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱

结论1

两个正数积为定值，则和有最小值.当xy的值是常数时，当且仅当x=y时，x+y有最小值【提升总结】结论1两个正数积为定值，则和有最小值.当xy的值是常数分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xym2.即求xy的最大值.例2(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，例2(2)一解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，

则2(x+y)=36,x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y结论2

两个正数和为定值，则积有最大值.当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值【提升总结】结论2两个正数和为定值，则积有最大值.当x+y的值是常数注意：①各项皆为正数；②和为定值或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”，二“定”，三“等”.最值定理结论1

两个正数积为定值，则和有最小值.结论2

两个正数和为定值，则积有最大值.注意：①各项皆为正数；一“正”，最值定理结论1两个正数积例3某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?分析：水池呈长方体形，高为3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.例3某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为480由容积为4800m3

，可得3xy=4800,因此xy=1600.由基本不等式与不等式的性质，可得解：设底面的长为xm，宽为ym,水池总造价为z元，根据题意，有由容积为4800m3，可得3xy=4800,因此xy

所以，将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.所以，将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造1.在下列函数中，最小值为2的是（）

A.B.C.D.C1.在下列函数中，最小值为2的是（）C安徽省安庆一中高二数学新课标必修五同步课件：34第1课时基本不等式103.已知且则的最大值为_____.

解：103.已知且1.两个重要的不等式（1）（2）基本不等式2.不等式的简单应用：主要是求最值，把握“六字方针”，即“一正，二定，三等”.1.两个重要的不等式2.不等式的简单应用：主要是求最值，

在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。——郁达夫在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生长在3.4

基本不等式：第1课时基本不等式3.4基本不等式：第1课时基本不等式

国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举行，它的会标是什么？国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大第24届国际数学家大会

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．第24届国际数学家大会会标是根据中国古代1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的代数、几何背景.(重点）2.基本不等式的简单应用.1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的代数、几何背1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？BACDEFGH探究点1探究基本不等式1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？BACDEBACDEFGH则正方形ABCD的面积是________，这4个直角三角形的面积之和是_________，设AE=a,BE=b,a2+b22ab>BACDEFGH则正方形ABCD的面积设AE=a,BE=b,当且仅当a=b时，等号成立，当且仅当a=b时，等号成立，一般地，对于任意实数a，b，我们有当且仅当a=b时，等号成立.3.你能给出它的证明吗？【提升总结】一般地，对于任意实数a，b，我们有当且仅当a=b时，等号成立特别地，我们用,分别代替可得4.你能用不等式的性质直接推导吗？通常我们把上式写作特别地，我们用,分别代替可得4.你能用不等式的性质直接推导吗证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.

证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,基本不等式：注意：（1）a,b均为正数；（2）当且仅当a=b时取等号.【提升总结】基本不等式：注意：（1）a,b均为正数；【提升总结】DABCE如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,则CD=＿＿,半径为＿＿.DABCE如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CD小于或等于圆的半径.用不等式表示为上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.几何意义：半径不小于半弦.CD小于或等于圆的半径.用不等式表示为上述不等式当且仅当点C可以叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式可以叙述为:叫做正数a，b的算术平均数，基本不等例1当

时，的最小值为

，此时

.21探究点2基本不等式在求最值中的应用例1当时，的最小值为，此时21探分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.例2(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，例2(1)用解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱

结论1

两个正数积为定值，则和有最小值.当xy的值是常数时，当且仅当x=y时，x+y有最小值【提升总结】结论1两个正数积为定值，则和有最小值.当xy的值是常数分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xym2.即求xy的最大值.例2(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，例2(2)一解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，

则2(x+y)=36,x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y结论2

两个正数和为定值，则积有最大值.当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值【提升总结】结论2两个正数和为定值，则积有最大值.当x+y的值是常数注意：①各项皆为正数；②和为定值或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”，二“定”，三“等”.最值定理结论1

两个正数积为定值，则和有最小值.结论2

两个正数和为定值，则积有最大值.注意：①各项皆为正数；一“正”，最值定理结论1两个正数积例3某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?分析：水池呈长方体形，高为3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.例